2023-2024学年湖北省高中名校联盟高三上学期第一次联合测评数学试题含答案

  湖北省高中名校联盟2024届高三第一次联合测评

数学

本试卷共4页，22题。满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知复数z满足，则（    ）

A. B. C. D.

3.从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率是（    ）

A. B. C. D.

4.设命题p：若数列是公差不为0的等差数列，则点必在一次函数图象上；命题q：若正项数列是公比不为1的等比数列，则点必在指数函数图象上.下列说法正确的是（    ）

A.p、q均为真命题 B.p、q均为假命题 C.p真q假 D.p假q真

5.某人从A地到B地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.3，0.3，0.4，乘火车迟到的概率为0.2，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.4，则这个人从A地到B地迟到的概率是（    ）

A.0.16 B.0.31 C.0.4 D.0.32

6.已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.牛奶的温度降至还需 D.牛奶的温度降至还需

7.已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（    ）

A. B. C. D.

8.记，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知一组样本数据，，…，（）均为正数，且.，若由生成一组新的数据，，…，，则这组新数据与原数据的（    ）可能相等.

A.极差 B.平均数 C.中位数 D.标准差

10.已知O为抛物线的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（    ）

A.若直线l过焦点F，则N，O，P三点不共线

B.若直线l过焦点F，则

C.若直线l过焦点F，则抛物线C在M，N处的两条切线的交点在某定直线上

D.若，则直线l恒过点

11.已知正四面体的棱长为2，下列说法正确的是（    ）

A.正四面体的外接球表面积为

B.正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值

C.正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为

D.正四面体在正四面体的内部，且可以任意转动，则正四面体的体积最大值为

12.若是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，，都有，则下列说法正确的是（    ）

A.一定为正数  B.2是的一个周期

C.若，则 D.若在上单调递增，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.的展开式中的系数是______.

14.已知的两条直角边分别为3，4，以斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体体积是______.

15.小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有n层（，），设第1层的“环境满意度”为1，且第k层（，）比第层的“环境满意度”多出；又已知小王有“恐高症”，设第1层的“高层恐惧度”为1，且第k层（，）比第层的“高层恐惧度”高出倍.在上述条件下，若第k层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为，，记小王对第k层“购买满意度”为，且，则小王最想买第______层住宅.

（参考公式及数据：，，，）

16.已知，，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当取到最小值时，点P坐标为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知函数.

（Ⅰ）若函数是偶函数，求实数m的值；

（Ⅱ）若，使得.成立，求实数m的取值范围.

18.（12分）

西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了10箱西梅，其中有4箱测定为一等品.

（Ⅰ）现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；

（Ⅱ）以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望.

19.（12分）

如图，在四棱柱中，底面和侧面均为矩形，，，，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.

20.（12分）

已知数列满足，

（Ⅰ）判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；

（Ⅱ）若数列的前10项和为361，记，数列的前n项和为，求证：.

21.（12分）

已知双曲线与直线有唯一的公共点M.

（Ⅰ）若点在直线l上，求直线l的方程；

（Ⅱ）过点M且与直线l垂直的直线分别交x轴于，y轴于两点.是否存在定点G，H，使得M在双曲线上运动时，动点使得为定值.

22.（12分）

已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若两个不相等的正实数a，b满足，求证：；

（Ⅲ）若，求证：.

湖北省高中名校联盟2024届高三第一次联合测评

数学试卷参考答案与评分细则

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.A【解析】由，，得.故选A.

2.B【解析】，故选B.

3.A【解析】从5条线段中任取3条，可能的情况有：，，，，，，，，，共有10种可能，其中，能构成三角形的只有，，共3种可能，所以，能构成三角形的概率为.选A.

4.C【解析】若数列是公差不为0的等差数列，则，故点必在一次函数图像上，故p真；若，则数列是公比为2的等比数列，，不恒在指数函数图像上，故q假.故C正确.

5.B【解析】设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”，则，，，，，，，由全概率公式得：.选B.

6.D【解析】由条件及公式，得，故，AB错误；又由，，得，故牛奶的温度从降至需，从降至还需.故选D.

7.C【解析】连接，设，则，，

在中

，，

，

在中，，

，又，，故选C.

8.D【解析】设，则在R上单调递增，故，即；设，，则，

在.单调递减，故，即；综上得，，故D正确.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.BC【解析】极差分别为和，，，故A错误；由知，当时，平均数相等，故B正确；当时，中位数分别为与，同理可知当时，中位数相等，当时，中位数分别为与，同理可知当时，中位数相等，故C正确；由.，知，，标准差不可能相等，故D错误.综上，选BC.

10.BCD【解析】设直线，联立方程，得

设，，则

选项A若直线l过焦点F，则

，，

又

，，三点共线，A错

选项B由抛物线的定义和平行线的性质知：

，

又，，所以B对；

选项C抛物线C在点M处的切线为

抛物线C在点N处的切线为，联立得

解得：

抛物线在点M，N处的切线的交点在定直线上，所以C对

选项D因为，，

将韦达定理代入得：

所以直线l恒过点，所以D对

11.ABD【解析】A.棱长为2的正四面体的外接球与棱长为的正方体的外接球半径相同，设为R，则：，所以，所以A对

B.设四面体内任意一点到四个面的距离分别为，，，，设四面体的高为

d，由等体积法可得：，所以为定值.所以B对

C.设中点为D，连接，，则为求，，所以正弦值为，所以C错

D.要使正四面体在四面体的内部，且可以任意转动，则正四面体的外接球在四面体内切球内部，当正四面体的外接球恰好为四面体内切球时，正四面体的体积最大值，由于正四面体的外接球与内切球半径之比为，所以正四面体的外接球半径为，设正四面体为a，则，所以，故体积，所以D对

因此：正确答案为ABD

12.BCD【解析】因为符合条件，故A.错误；因为偶函数的图象关于直线对称，所以，故B正确；因为对任意，，都有，所以对任意，取得；若，即，故，由2是的周期得，故C正确；假设，由及，，得，，故.这与在.上单调递增矛盾，故D正确.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.-40【解析】，所以的系数为

14.【解析】由勾股定理知斜边为5，斜边上的高为，该几何体为两个同底面的圆锥，底面半径为，两个圆锥的高之和为5，所以该几何体体积为

15.10

【解析】依题意，，且，；，所以

.

【注】利用，（）求解更易.

，故小王对第k层住宅的购买满意度.

【方法一】由.即解得，所以同理有，小王最想购买第10层住宅.

【方法二】设，，则故时单调递增；时单调递减.由于，故最大，小王最想购买第10层住宅.

16.【解析】设

则，

取，

则

此时，直线：

令，则，

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【解析】（Ⅰ）由函数是偶函数知，.

故，即，

化简得，恒成立.

故，实数m的值为1.

（Ⅱ）若，使得，则，

即，能成立.

于是，，

由指数函数单调性，得

故实数m的取值范围为.

【方法二】若，使得，则，

即，能成立.

于是，，，

由指数函数单调性，得

解得，故实数m的取值范围为.

18.【解析】（1）设抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品为事件，

则；因此，从这10箱中任取3箱，恰好有1箱是一等品的概率为，

（2）由题意可知，从这10箱中随机抽取1箱恰好是一等品的概率，

由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，则

，，

，，

所以的分布列为

.

19.（Ⅰ）证明：四边形和四边形均为矩形，

，

又平面

平面，

，.

（Ⅱ）设，

，

，，

过C点作垂直交于点M，由（1）可知平面，

平面

，

平面，设与平面所成的角为，

又，

平面，到平面的距离等于3

在平行四边形中，

，

，

与平面所成角的正弦值，

20.【解析】（Ⅰ）数列成等比数列.

根据得；

，，，即数列成等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，

故

由，得.

显然，，单调递增，且，

故，，.

，，

当时，

综上，知.

21.【解析】（1）联立，则

又点在直线上，所以：，

时，，则：

所以：，即，则

当时，；所以：直线l的方程：

（Ⅱ）联立，则，

因为，M是双曲线与直线的唯一公共点，

所以，化简得，

解得点M的坐标为，即为

于是，过点M且与l垂直的直线为，

可得，，，

即，，

于是

即P的轨迹方程为：

所以存在定点，，使得当点M运动时，为定值13

22.【解析】（Ⅰ）函数的定义域是.

由，得在上单调递减；

由，得在上单调递增，

综上知，的单调递减区间是，单调递增区间是.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得在的值域为，

在上的值域为.注意到，.

不妨设则欲证，即证.

由于由（Ⅰ）得在上单调递增，

故只需证，

由已知，即证，也即

【方法一】令，.

，

由，在单调递增，得

单调递增且.

由于，故满足.

由单调递增知：

当时，.单调递减，值域为；

当时，单调递增，值域为；

设，，则，单调递减，

故，即，

取，得，即

综上，得，即，得证.

【方法二】（重新同构）

令，即，证：，

由于，从而.

故要证成立，只需在单调递增成立即可.

，

令，，则，

在单调递减，，，

故在单调递增成立，原命题成立.

【方法三】（比值代换）由对称性，不妨设，，

则

由于，欲证，

即证：，即证：

【方法四】（切、割线放缩）1、由于故，即；

2、由方法二知，，

故，即，故，；

由1、2知，故成立，原命题成立.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知.

（1）当时，在上单调递增，故.

（2）当时，由，取，

得（）时，