2024届湖南省益阳市南县第一中学高三8月月考数学试题含答案

这是一份2024届湖南省益阳市南县第一中学高三8月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024届湖南省益阳市南县第一中学高三8月月考数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意化简集合，结合交集运算知识即可得到答案.【详解】由题意得，，又因为，所以.故选：B2．在复平面上，复数的共轭复数对应的向量是（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】A【分析】根据共轭复数的定义，并结合复数的几何意义，可得答案.【详解】由复数，则其共轭复数，即复数对于的向量.故选：A.3．设，若，则（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据二项式展开式的通项公式求，列方程求.【详解】二项式的展开式的通项为，所以，，又，所以，所以，故选：B.4．已知正数、满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知等式变形可得，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为正数、满足，在等式两边同时除以可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：B.5．在平面直角坐标系中，锐角的大小如图所示，则（    ）  A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】根据题意，由条件可得，从而得到，然后将原式化简，代入计算，即可得到结果.【详解】因为点是角终边的一点，所以，所以，由可知，，所以.故选：B6．已知直线是圆的对称轴，过点A作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（    ）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】首先将圆心坐标代入直线方程求出参数a，求得点A的坐标，由切线与圆的位置关系构造直角三角形从而求得.【详解】圆即，圆心为，半径为r=3，由题意可知过圆的圆心，则，解得，点A的坐标为，，切点为B则，.故选:C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.7．在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（    ）A．0.475 B．0.525 C．0.425 D．0.575【答案】B【分析】运用全概率公式及对立事件概率公式计算即可.【详解】设A=“发送的信号为0”， B=“接收到的信号为0”，则=“发送的信号为1”， =“接收到的信号为1”，所以，，，，，，所以接收信号为0的概率为：，所以接收信号为1的概率为：.故选：B.8．定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据可求出、的值，分析可知函数是周期为的周期函数，计算出、的值，结合函数周期性和奇偶性的性质可求得的值.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且当时，，由，①且，②由①②可得，整理可得，解得，此时，，可得，故当时，，，合乎题意，因为，则，所以，函数是周期为的周期函数，所以，，在等式中，令可得，可得，，因此，.故选：B. 二、多选题9．下列说法正确的是（    ）A．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量y平均减少1.5个单位B．一组数据的第百分位数为C．若随机变量，，则D．设随机事件A和，若，，，则【答案】BCD【分析】对于A，根据回归直线方程解析式可判断；对于B，由第百分位数可求；对于C，由正态分布的性质可解；对于D，由全概率公式，可求，从而判断.【详解】对于A，根据回归直线方程解析式，当解释变量每增加1个单位时，响应变量y平均减少0.8个单位，A错误；对于B，改组数据共10个，则，所以第百分位数为，B正确；对于C，由于，，则，C正确；对于D，由全概率公式，，D正确.故选：BCD10．已知函数，则下列判断正确的是（    ）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．在区间上单调递增D．当时，【答案】BC【分析】AB选项，化简得到，代入和，检验是否是对称轴和对称中心；C选项，求出，从而得到C正确；D选项，求出，得到.【详解】A选项，，当时，，故的图象不关于直线对称，A错误；B选项，当时，，故的图象关于点对称，B正确；C选项，时，，因为在上单调递增，故在区间上单调递增，C正确；D选项，时，，故，D错误.故选：BC11．下列计算中正确的是（    ）A．B．若，则C．D．都是锐角，，，则或【答案】AB【分析】利用辅助角和二倍角公式化简可得A正确；将写成的形式，利用诱导公式及二倍角公式可得B正确；由角的范围将根号下式子化简即可得，可知C错误；利用都是锐角可分别求出其正弦、余弦值，再由代入即可得，即D错误.【详解】对于A，由二倍角和辅助角公式可得，所以A正确；对于B，依题意知，所以，即B正确；对于C，由可得，因此；所以，即C错误；对于D，因为都是锐角，，所以可得，易知，又，所以，因此，即D错误；故选：AB12．如图，正方体的棱长为2，若点在线段上运动，则下列结论正确的是（    ）  A．直线可能与平面相交B．三棱锥与三棱锥的体积之和为C．的周长的最小值为D．当点是的中点时，与平面所成角最大【答案】BD【分析】对于A，根据线面平行和面面平行推出平面，故A错误；对于B，根据等体积法求出两个三棱锥的体积之和可得B正确；对于C，将平面与平面展成同一平面，根据点共线时，最小，计算可得C错误；对于D，当点是的中点时，可证平面，从而可得D正确；【详解】对于A，连，，，，，因为，平面，平面，所以平面，同理得平面，又平面，，所以平面平面，因为平面，所以平面，故A错误；  对于B，过点作，垂足为，作，垂足为，易得，因为平面，所以平面，，因为平面，所以平面，因为，，所以，所以.故B正确；  对于C，的周长为，，则最小时，的周长最小，将平面与平面展成同一平面，如图：当点共线时，最小，作，交的延长线于，则，，则，所以，即的周长的最小值为，故C错误；  对于D，当点是的中点时，，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，所以与平面所成角为，为最大角，故D正确.故选：BD【点睛】关键点点睛：C选项中将平面与平面展成同一平面，根据点共线求的最小值是解题关键. 三、填空题13．已知直角三角形的斜边为，向量，，则实数      .【答案】【分析】根据向量垂直的坐标运算公式直接计算.【详解】因为直角三角形的斜边为，所以，又因为，，所以，解得.故答案为：14．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是    ．【答案】[2，6]【分析】写出命题的否定，利用不等式对应的二次函数的图像与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围.【详解】由命题“”的否定为“”，因为命题“”为假命题，则“”为真命题，所以，解得，则实数的取值范围是.故答案为：.15．已知正数满足，则函数的定义域为     .【答案】【分析】根据指、对数的运算可求得的值，然后列出不等式求解即可得到函数的定义域.【详解】因为，则，可得，则，解得或（舍去），所以，可得，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.16．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是            ．【答案】【分析】根据题意，结合正弦函数的图象和性质即可求解.【详解】由题意，当时，不能满足在上极值点比零点多，当时，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，由的部分图象如下图所示：  则，解得，即，故答案为：. 四、解答题17．已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和.【答案】(1)或(2) 【分析】根据条件先求出的通项公式，再求出的通项公式即可.【详解】（1）设公差为，则，即解得或 ，所以或；（2）因为数列为递增数列，，，， 所以；所以.18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)求的大小；(2)若角的平分线交于点，，，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意利用余弦定理边化角可得，再利用三角恒等变换运算求解；（2）根据题意可得，利用等面积法运算求解.【详解】（1）因为，由正弦定理得，又因为，则，所以，整理得，且，可知，所以，即.（2）由角的平分线交于点，可得，且，则，即，解得.19．如图，三棱柱中，是的中点，平面.  (1)求证：；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据线面垂直判定定理先证平面，然后由线面垂直的性质可得；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解可得.【详解】（1）因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.（2）由（1）知两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示，  不妨设，则，则，所以，可得，设平面的法向量为，由得取，得，又，设平面的法向量为，由得取，得所以，所以，平面与平面夹角的余弦值为.20．已知函数，.(1)若，求在区间上的最大值和最小值；(2)设，求证：恰有2个极值点；(3)若，不等式恒成立，求的最小值.【答案】(1).(2)证明见解析(3) 【分析】（1）求得，令，可得，求得函数的单调区间，结合极值的概念与计算，即可求解；（2）求得，结合，得到方程有两个不同的根，结合极值点的定义，即可求解；（3）根据题意转化为，不等式恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解.【详解】（1）解：由函数，可得，令，可得，则的关系，如图下表：12 0 极大值综上可得，函数.（2）解：由函数，可得，因为，所以方程有两个不同的根，设为且，则有 极小值极大值综上可得，函数恰有2个极值点.（3）解：因为，所以，不等式恒成立，设，可得，所以的关系，如图下表：1 0 极大值所以，所以实数的最小值为.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．21．为了加强居民对电信诈骗的认识，提升自我防范的意识和能力，某社区开展了“远离电信诈骗，保护财产安全”宣传讲座.已知每位居民是否被骗相互独立，宣传前该社区每位居民每次接到诈骗电话被骗的概率为0.1.(1)假设在宣传前某一天，该社区有3位居民各接到一次诈骗电话.（i）求该社区这一天有人被电信诈骗的概率；（ii）该社区这一天被电信诈骗的人数记为，求的分布列和数学期望.(2)根据调查发现，居民每接受一次“防电诈”宣传，其被骗概率降低为原来的10%，假设该社区每天有10位居民接到诈骗电话，请问至少要进行多少次“防电诈”宣传，才能保证这10位居民都不会被骗?（我们把概率不超过0.01的事件称为小概率事件，认为在一次试验中小概率事件不会发生）（参考数据：，，，）【答案】(1)（i）0.271；（ii）分布列见解析，0.3(2)至少要宣传2次才能保证这10位居民都不会被骗 【分析】（1）用概率乘法即可得出被电信诈骗的概率；服从二项分布，求出可以取0，1，2，3时的概率，列出分布列即可得出数学期望；（2）宣传次之后每个人每次接到电话被骗的概率为，10位居民有人被骗，则，即，解不等式可得，再由函数的单调性即可得出结论.【详解】（1）（i）记事件：该社区这一天有人被骗，则，∴该社区这一天有人被电信诈骗的概率为0.271.（ii）可以取0，1，2，3，由题意，，  ，， ；∴的分布列如下：01230.7290.2430.0270.001∴；（2）设宣传次之后每个人每次接到电话被骗的概率为，事件：10位居民有人被骗，则.即,又函数单调递减，当时，；当时，,∴，即至少要宣传2次才能保证这10位居民都不会被骗.22．已知双曲线C：经过点，右焦点为，且，，成等差数列.(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：上的射影为N，O为坐标原点，设的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，，证明：是定值.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意和可得，然后根据点在双曲线上即可求解；（2）依题意可设PQ：，将直线方程与圆锥曲线方程联立得到，利用韦达定理和已知条件求出的表达式，然后求出的表达式，化简即可求证.【详解】（1）因为，，成等差数列，所以，又，所以.将点的坐标代入C的方程得，解得，所以，所以C的方程为.（2）依题意可设PQ：，由，得,  设，，，则.，，则，而，所以，所以是定值.