2024届江苏省南通市如皋中学高三创新实验班夏令营数学试题含答案

2024届江苏省南通市如皋中学高三创新实验班夏令营数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】通过解指数和对数不等式求得集合A,B，再利用补集的定义直接求解即可.

【详解】，

则

故选D.

【点睛】本题主要考查了指数与对数不等式的求解及集合补集的运算，属于基础题.

2．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，，，再计算共轭复数得到答案.

【详解】复数，在复平面内对应的点分别为，，故，，

，故.

故选：.

【点睛】本题考查了复数的除法，共轭复数，复数对应的点，意在考查学生对于复数知识的综合应用.

3．向量， 则在上的投影向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用投影向量的定义求解.

【详解】解：因为向量，

所以 在上的投影向量是,

故选：C

4．声音的等级（单位：Db）与声音强度x（单位：）满足．火箭发射时，声音的等级约为；一般噪音时，声音的等级约为，那么火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的（    ）

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍

【答案】C

【分析】根据声音的等级（单位：Db）与声音强度x（单位：）满足．分别求得火箭发射时和一般噪音时的声音强度求解.

【详解】解：因为火箭发射时，声音的等级约为，

所以，解得；

因为一般噪音时，声音的等级约为，

所以，解得，；

所以火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的倍，

故选：C

5．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设双曲线的右焦点为，由双曲线方程可求出，b，c的值，利用双曲线的定义以及三点共线即可求出的周长的最小值．

【详解】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则，

所以，且，所以，

的周长为，

当且仅当M，P，A三点共线时取等号，

则周长的最小值为．

故选：B．

6．已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（    ）

A． B． C． D．4

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答.

【详解】连接，由切圆于知，，

因为直线与平行，则，，而圆半径为，

于是，由四边形面积，得，

所以.

故选：C

7．正项等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用数列前项和的意义，正项等比数列的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】依题意，，

而是公比为的正项等比数列，因此，

所以“”是“”的充要条件.

故选：C

8．已知， ，则

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由已知可得 

，故选D.

二、多选题

9．下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（    ）

A．样本的标准差 B．样本的中位数

C．样本的极差 D．样本的平均数

【答案】AC

【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.

【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；

由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；

由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；

由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；

故选：AC.

10．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则（    ）

A．对于圆O，其“太极函数”有1个

B．函数是圆O的一个“太极函数”

C．函数不是圆O的“太极函数”

D．函数是圆O的一个“太极函数”

【答案】BD

【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案.

【详解】解：对于A选项，圆O，其“太极函数”不止1个，故错误；

对于B选项，由于函数，当时，，当时，，故为奇函数，故根据对称性可知函数为圆O的一个“太极函数”，故正确；

对于C选项，函数定义域为，，也是奇函数，故为圆O的一个“太极函数”，故错误；

对于D选项， 函数定义域为，，故为奇函数，故函数是圆O的一个“太极函数”，故正确.

故选：BD

11．定义在上的函数满足，当时，，则满足（    ）

A． B．是奇函数

C．在上有最大值 D．的解集为

【答案】ABD

【分析】利用赋值法可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C选项的正误；利用函数的单调性解不等式，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，令，可得，解得，A对；

对于B选项，函数的定义域为，

令，可得，则，

故函数是奇函数，B对；

对于C选项，任取、且，则，

即，所以，

所以，函数为上的减函数，

所以，在上有最大值，C错；

对于D选项，由于为上的减函数，由，可得，解得，D对.

故选：ABD.

12．已知异面直线与直线所成角为，平面与平面的夹角为，直线与平面所成的角为，点为平面外一定点，则下列结论正确的是（    ）

A．过点且与直线所成角均为的直线有3条

B．过点且与平面所成角都是的直线有4条

C．过点作与平面成角的直线，可以作无数条

D．过点作与平面成角，且与直线成的直线，可以作3条

【答案】BC

【分析】利用异面直线所成角的定义判断A；利用线面角的意义判断B；利用圆锥母线与底面所成角的意义判断BD作答.

【详解】因为异面直线与直线所成角为，显然过点分别与直线平行的直线的夹角为，

在直线确定的平面内过点与都成角的直线只有1条，

所以过点与直线所成角均为的直线只有1条，A错误；

因为平面与平面的夹角为，则过点与平面所成角都是和的直线各有一条，

若过点与平面所成角都是，则在直线的两侧各有一条，在直线的两侧各有一条，因此共条，B正确；

以为顶点，母线与底面成角的圆锥底面所在平面为，满足点在外，且过点的直线与平面成角，如图，

圆锥每条母线与平面都成角，因此可以作无数条，C正确；

过点作，交平面于点，过点及圆锥底面圆心的直线与圆锥底面圆交于点，

显然，设为圆锥底面圆周上任意一点，

于是，因此圆锥母线中与直线成的直线有2条，即与直线成的直线有2条，D错误.

故选：BC

【点睛】方法点睛：该题考查立体几何综合应用，属于难题，关于角度的方法有：（1）异面直线所成角：平移异面直线至有交点，则异面直线所成角即为平移后相交直线所成角；（2）线面角：过线上一点做面的垂线，连接垂足及线与面的交点形成线段，则线与该线段所成角即为线面角；（3）面面角：过面面交线上一点在两个面中分别做交线的垂线，则两垂线的夹角即为面面角.

三、填空题

13．将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，，恰有1个空盒子，则放法有           种.

【答案】40

【分析】放置方法：6个球放入3个盒子，按球的个数分成三种情况：（1，2，3），（2，2，2），（1，1，3），第一步选空盒子，然后把放入三个盒子．

【详解】第一步选空盒子，第二步6个球放入3个盒子，按球的个数分成三种情况：（1，2，3），（2，2，2），（1，1，3）进行放置，方法数为：．

故答案为：40．

14．已知棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则棱台的体积为        .

【答案】28

【解析】直接利用棱台的体积公式，求出棱台的体积．

【详解】

故答案为：28．

【点睛】本题考查棱台的体积，考查计算能力，是基础题．

15．已知函数在上的值域为，则的取值范围为         .

【答案】

【分析】根据给定条件，化简函数，再利用正弦函数性质结合已知值域，列式求解作答.

【详解】依题意，，

由，得，

函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为，

因为函数在上的值域为，则有，解得，

所以的取值范围为.

故答案为：

16．已知椭圆的左焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A，B两点（点B在x轴上方），且，则椭圆的离心率为           .

【答案】

【分析】利用椭圆焦点坐标，求解直线方程，利用且转化求解椭圆的离心率即可．

【详解】解：设，由题意知，的斜率为，则直线方程为，

设，联立直线和椭圆的方程得 ，

整理得，则，，

且，可得 ，则， ，

所以，可得，所以

故答案为：．

【点睛】关键点睛:

本题的关键是由向量的关系得两点的纵坐标的关系，结合韦达定理进行求解．

四、解答题

17．已知函数

（1）求的极值；

（2）若，求的值，并证明：

【答案】（1）当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值；（2）1，证明见解析.

【分析】(1)先求导函数,再对参数进行分类讨论,即可求出极值.

(2)由(1)得,,即故要证只要证

构造函数，求导即可求解.

【详解】解：（1）

①当时，，在上单调递增.

在上无极值.

②当时，令得；令得.

在上单调递减，在上单调递增.

的极小值为，无极大值.

综上，当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值.

（2）由（1）可知，①当时，在上单调递增，而，

当时，，即不恒成立.

②当时，在上单调递减，在上单调递增.

令，则

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减.

设，下面证明

当时，，即

只要证

令，则

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增.

式成立，即成立.

18．的内角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角；

（2）求的最小值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解；

（2）根据，利用三角恒等变换，将问题转化为，利用正弦函数的性质求解.

【详解】（1）因为，

由正弦定理得，即，

由余弦定理得，

因为，

所以．

（2）因为，

所以

，

因为，

所以，则，

所以，当且仅当时等号成立，

所以的最小值为．

19．如图，在正四棱柱中，，M是棱上任意一点．

(1)求证：；

(2)若M是棱的中点，求异面直线AM与BC所成角的余弦值．

【答案】(1)证明过程见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；

（2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值.

【详解】（1）证明：以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

因为，

所以，，

，

，

所以；

（2）M是棱的中点，故，

则，

设异面直线AM与BC所成角的大小为，

则，

故异面直线AM与BC所成角的余弦值为.

20．已知数列中，，.

(1)求的值，并猜想数列的通项公式；

(2)证明数列是等差数列.

【答案】(1)，；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据给定的递推公式，分别令，即可求解的值，猜想得出数列的通项公式.

（2）将给定的递推公式两边取倒数，再利用等差数列的定义推理作答.

【详解】（1）在数列中，，，

令，得；令，得；令，得；

所以，猜想数列的通项公式为.

（2）由，，得，，即，

所以数列是以为首项，为公差的是等差数列.

21．现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分. 前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局. 在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜. 在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方. 经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为.

(1)假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；

(2)当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第个回合拥有发球权的概率为. 假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.

【答案】(1)

(2)，甲队开球的概率大于乙队开球的概率．

【分析】（1）甲队在前3个回合中恰好获得2分，分为3种情况，依次求出对应的概率，即可求解；

（2）根据已知条件，结合等比数列的性质，以及全概率公式，即可求解．

【详解】（1）在前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况如下：胜胜负，胜负胜，负胜胜，共3种情况，

对应的概率分别为，，，

所以甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；

（2）根据全概率公式得，

即，

易知，所以是以为首项，为公比的等比数列，

所以，故，

因为，所以，

而在每一个回合中，甲、乙两队开球的概率之和为1，从而可得在此回合中甲队开球的概率大于乙队开球的概率．

【点睛】方法点睛：

甲队在第i个回合拥有发球权的概率为，由全概率公式得，问题转化为数列的递推公式，通过构造等比数列，求出通项.

22．已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）记双曲线的左､右顶点分别为，，斜率为正的直线过点，交双曲线于点，(点在第一象限)，直线交轴于点，直线交轴于点，记面积为，面积为，求证：为定值.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据渐近线方程以及虚轴长度可知，然后可知方程

（2）假设直线方程，并与双曲线方程联立，可得关于的二次方程，紧接着使用韦达定理，分别求得坐标并表示出，简单计算即可.

【详解】解：（1）由题意可得，

因为一条渐近线方程为，

所以，解得，

则双曲线的方程为；

（2）证明：可得，，

设直线：，，，

联立，整理可得，

可得，，

即有，

设直线：，可得，

设直线：，可得，

又，，

所以

.

【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线的一般方法

（1）假设直线方程；（2）联立方程：（3）使用韦达定理；（4）根据条件计算.