(人教版)中考数学一轮复习知识点梳理+单元达标卷09 不等式与不等式组（含解析）

这是一份(人教版)中考数学一轮复习知识点梳理+单元达标卷09 不等式与不等式组（含解析），共25页。试卷主要包含了不等式的解，不等式的解集，不等式的性质，5，b＝0，4，等内容，欢迎下载使用。
专题09 不等式与不等式组

知识点1：不等式
1.用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
4.不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
知识点2：一元一次不等式
一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
知识点3：一元一次不等式组
一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

本章内容要求学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。


【例题1】（•新疆）不等式组的解集是（　　）
A．0＜x≤2 B．0＜x≤6 C．x＞0 D．x≤2
【答案】A
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
，
解不等式①，得：x≤2，
解不等式②，得：x＞0，
则不等式组的解集为0＜x≤2。
【例题2】（•连云港）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
解不等式2x﹣1≤3，得：x≤2，
解不等式x+1＞2，得：x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x≤2，
表示在数轴上如下：

【例题3】（•凉山州）若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是　 　．
【答案】a．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有4个整数解可得关于a的不等式组，解不等式组可得a的范围．
解不等式2x＜3（x﹣3）+1，得：x＞8，
解不等式x+a，得：x＜2﹣4a，
∵不等式组有4个整数解，
∴12＜2﹣4a≤13，
解得：a
【例题4】（•北京）解不等式组：
【答案】见解析。
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解不等式5x﹣3＞2x，得：x＞1，
解不等式，得：x＜2，
则不等式组的解集为1＜x＜2．
【例题5】（•济宁）为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？
【答案】见解析。
【分析】（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，由“2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱”，可列方程组，即可求解；
（2）设有a辆大货车，（12﹣a）辆小货车，由“运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元”可列不等式组，可求整数a的值，即可求解．
【解析】（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，
由题意可得：，
解得：，
答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资，
（2）设有a辆大货车，（12﹣a）辆小货车，
由题意可得：，
∴6≤a＜9，
∴整数a＝6，7，8；
当有6辆大货车，6辆小货车时，费用＝5000×6+3000×6＝48000元，
当有7辆大货车，5辆小货车时，费用＝5000×7+3000×5＝50000元，
当有8辆大货车，4辆小货车时，费用＝5000×8+3000×4＝52000元，
∵48000＜50000＜52000，
∴当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为48000元．







《不等式与不等式组》单元精品检测试卷
本套试卷满分120分，答题时间90分钟
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（•株洲）下列哪个数是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解？（　　）
A．﹣3 B． C． D．2
【答案】A
【解析】首先求出不等式的解集，然后判断哪个数在其解集范围之内即可．
解不等式2（x﹣1）+3＜0，得，
因为只有﹣3，所以只有﹣3是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解，
2．（•贵阳）已知a＜b，下列式子不一定成立的是（　　）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b
C．a+1b+1 D．ma＞mb
【答案】D
【解析】根据不等式的基本性质进行判断．
A.在不等式a＜b的两边同时减去1，不等号的方向不变，即a﹣1＜b﹣1，原变形正确，故此选项不符合题意；
B.在不等式a＜b的两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，即﹣2a＞﹣2b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C.在不等式a＜b的两边同时乘以，不等号的方向不变，即ab，不等式ab的两边同时加上1，不等号的方向不变，即a+1b+1，原变形正确，故此选项不符合题意；
D.在不等式a＜b的两边同时乘以m，不等式不一定成立，即ma＞mb，或ma＜mb，或ma＝mb，原变形不正确，故此选项符合题意．
3．（•株洲）在平面直角坐标系中，点A（a，2）在第二象限内，则a的取值可以是（　　）
A．1 B． C． D．4或﹣4
【答案】B
【解析】根据第二象限内点的坐标特点列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
∵点A（a，2）是第二象限内的点，
∴a＜0，
四个选项中符合题意的数是
4．（•衢州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解．
，
由①得x≤1；
由②得x＞﹣1；
故不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
在数轴上表示出来为：．
5．（•苏州）不等式2x﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
移项得，2x≤3+1，
合并同类项得，2x≤4，
x的系数化为1得，x≤2．
在数轴上表示为：
．
6．（•广元）关于x的不等式的整数解只有4个，则m的取值范围是（　　）
A．﹣2＜m≤﹣1 B．﹣2≤m≤﹣1 C．﹣2≤m＜﹣1 D．﹣3＜m≤﹣2
【答案】C
【解析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．
不等式组整理得：，
解集为m＜x＜3，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，﹣1，
∴﹣2≤m＜﹣1
7．（•天水）若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（　　）
A．﹣7＜a＜﹣4 B．﹣7≤a≤﹣4 C．﹣7≤a＜﹣4 D．﹣7＜a≤﹣4
【答案】D
【解析】先解不等式得出x，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出23，解之可得答案．
∵3x+a≤2，
∴3x≤2﹣a，
则x，
∵不等式只有2个正整数解，
∴不等式的正整数解为1、2，
则23，
解得：﹣7＜a≤﹣4
8．（•广东）不等式组的解集为（　　）
A．无解 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．﹣1≤x≤1
【答案】D
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解不等式2﹣3x≥﹣1，得：x≤1，
解不等式x﹣1≥﹣2（x+2），得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x≤1
9．（•重庆）小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】设还可以买x个作业本，根据总价＝单价×数量结合总价不超过40元，即可得出关系x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
设还可以买x个作业本，
依题意，得：2.2×7+6x≤40，
解得：x≤4．
又∵x为正整数，
∴x的最大值为4．
10．（•杭州）若a＞b，则（　　）
A．a﹣1≥b B．b+1≥a C．a+1＞b﹣1 D．a﹣1＞b+1
【答案】C
【解析】举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的传递性即可判断C．
A、设a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b，不符合题意；
B、设a＝3，b＝1，a＞b，但是b+1＜a，不符合题意；
C、∵a＞b，∴a+1＞b+1，∵b+1＞b﹣1，∴a+1＞b﹣1，符合题意；
D、设a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b+1，不符合题意．
11.(甘肃省陇南市)不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（　　）
A．x≤3 B．x≤﹣3 C．x≥3 D．x≥﹣3
【答案】A
【解析】先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．
去括号，得2x+9≥3x+6，
移项，合并得﹣x≥﹣3
系数化为1，得x≤3。
【点拨】本题属于一元一次不等式的解集问题。
12.从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣ D．
【答案】B．
【解析】根据不等式组无解，求得a≤1，解方程得x=，于是得到a=﹣3或1，即可得到结论．
解：得，
∵不等式组无解，
∴a≤1，
解方程﹣=﹣1得x=，
∵x=为整数，a≤1，
∴a=﹣3或1，
∴所有满足条件的a的值之和是﹣2
【点评】本题属于不等式无解的问题，但也考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．
二、填空题（每空3分，共30分）
13．（•鄂州）关于x的不等式组的解集是　 　．
【答案】2＜x≤5．
【解析】先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
由①得：x＞2，
由②得：x≤5，
所以不等式组的解集为：2＜x≤5，
故答案为2＜x≤5．
14.（•铜仁）如果不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是　　．
【答案】a≥﹣3．
【解析】解这个不等式组为x＜a﹣4，
则3a+2≥a﹣4，
解这个不等式得a≥﹣3
故答案a≥﹣3．
【点拨】本题属于明确不等式组解集，求范围问题。
15．（•攀枝花）世纪公园的门票是每人5元，一次购门票满40张，每张门票可少1元．若少于40人时，一个团队至少要有　 　人进公园，买40张门票反而合算．
【答案】33．
【解析】先求出购买40张票，优惠后需要多少钱，然后再利用5x＞160时，求出买到的张数的取值范围再加上1即可．
设x人进公园，
若购满40张票则需要：40×（5﹣1）＝40×4＝160（元），
故5x＞160时，
解得：x＞32，
则当有32人时，购买32张票和40张票的价格相同，
则再多1人时买40张票较合算；
32+1＝33（人）．
则至少要有33人去世纪公园，买40张票反而合算．

16．（•岳阳）不等式组的解集是　 　．
【答案】﹣3≤x＜1．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解不等式x+3≥0，得：x≥﹣3，
解不等式x﹣1＜0，得：x＜1，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜1
17．（•黑龙江）若关于x的一元一次不等式组有2个整数解，则a的取值范围是　 　．
【答案】6＜a≤8．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于a的不等式组，解之可得答案．
解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，
解不等式2x﹣a＜0，得：x，
则不等式组的解集为1＜x，
∵不等式组有2个整数解，
∴不等式组的整数解为2、3，
则34，
解得6＜a≤8
18．（•滨州）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为　 　．
【答案】a≥1．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得答案．
解不等式x﹣a＞0，得：x＞2a，
解不等式4﹣2x≥0，得：x≤2，
∵不等式组无解，
∴2a≥2，
解得a≥1
19．（•哈尔滨）不等式组的解集是　 　．
【答案】x≤﹣3．
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
，
由①得，x≤﹣3；
由②得，x＜﹣1，
故此不等式组的解集为：x≤﹣3．
20．（•黔东南州）不等式组的解集为　 　．
【答案】2＜x≤6．
【解析】先根据解不等式的基本步骤求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可确定不等式组的解集．
解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，
解不等式x﹣1≤4x，得：x≤6，
则不等式组的解集为2＜x≤6
21．（•遂宁）若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是　 　．
【答案】1≤m＜4．
【解析】解不等式组得出其解集为﹣2＜x，根据不等式组有且只有三个整数解得出12，解之可得答案．
解不等式，得：x＞﹣2，
解不等式2x﹣m≤2﹣x，得：x，
则不等式组的解集为﹣2＜x，
∵不等式组有且只有三个整数解，
∴12，
解得1≤m＜4
22．（•黔西南州）不等式组的解集为　 　．
【答案】﹣6＜x≤13．
【解析】首先分别计算出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可．
，
解①得：x＞﹣6，
解②得：x≤13，
不等式组的解集为：﹣6＜x≤13
三、解答题（8个小题，共54分）
23．（5分）（•武威）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．

【答案】见解析。
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解不等式3x﹣5＜x+1，得：x＜3，
解不等式2（2x﹣1）≥3x﹣4，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：


24．（5分）（•上海）解不等式组：
【答案】见解析。
【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．
，
解不等式①得x＞2，
解不等式②得x＜5．
故原不等式组的解集是2＜x＜5．
25．（5分）（•扬州）解不等式组并写出它的最大负整数解．
【答案】见解析。
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小确定不等式组的解集，从而得出答案．
解不等式x+5≤0，得x≤﹣5，
解不等式2x+1，得：x≤﹣3，
则不等式组的解集为x≤﹣5，
所以不等式组的最大负整数解为﹣5．
26．（6分）（•苏州）如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为a（m），宽为b（m）．
（1）当a＝20时，求b的值；
（2）受场地条件的限制，a的取值范围为18≤a≤26，求b的取值范围．

【答案】见解析。
【分析】（1）由护栏的总长度为50m，可得出关于b的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）由a的取值范围结合a＝50﹣2b，即可得出关于b的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解析】（1）依题意，得：20+2b＝50，
解得：b＝15．
（2）∵18≤a≤26，a＝50﹣2b，
∴，
解得：12≤b≤16．
答：b的取值范围为12≤b≤16．
27．（6分）（•辽阳）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？
【答案】见解析。
【分析】（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过1600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解析】（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．
（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，
依题意，得：70m+50（30﹣m）≤1600，
解得：m≤5．
答：学校最多可购买甲种词典5本．
28．（8分）（•长沙）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：

第一批
第二批
A型货车的辆数（单位：辆）
1
2
B型货车的辆数（单位：辆）
3
5
累计运输物资的吨数（单位：吨）
28
50
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A种型号货车．试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？
【答案】见解析。
【分析】（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资，根据前两批具体运算情况数据表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据要求一次性运送62.4吨生活物资，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最小的整数值即可得出结论．
【解析】（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资，
依题意，得：，
解得：．
答：A种型号货车每辆满载能运10吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运6吨生活物资．
（2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，
依题意，得：10×3+6m≥62.4，
解得：m≥5.4，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为6．
答：至少还需联系6辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
29．（9分）（•菏泽）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
【答案】见解析。
【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据“购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，根据购买的总费用不能超过260元且购买跳绳的数量多于20根，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购买方案．
【解析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，
依题意，得：，
解得：．
答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．
（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，
依题意，得：，
解得：20＜m≤22．
又∵m为正整数，
∴m可以为21，22．
∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．
30．（10分）（•自贡）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离．
（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？
（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．

∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3．
∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．
（3）解决问题：
①|x﹣4|+|x+2|的最小值是　 　；
②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4；

③当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．
【答案】见解析。
【分析】观察阅读材料中的（1）和（2），总结出求最值方法；
（3）①原式变形﹣2和4距离x最小值为4﹣（﹣2）＝6；
②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；
③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．
【解析】（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？
（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．

∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3．
∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．
（3）解决问题：
①|x﹣4|+|x+2|的最小值是6；
故答案为：6；
②如图所示，满足|x+3|+|x﹣1|＞4的x范围为x＜﹣3或x＞1；

③当a为﹣1或﹣5时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．