(人教版)中考数学一轮复习知识点梳理+单元达标卷18 平行四边形（含解析）

这是一份(人教版)中考数学一轮复习知识点梳理+单元达标卷18 平行四边形（含解析），共35页。试卷主要包含了平行四边形的性质，平行四边形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形中常用辅助线的添法等内容，欢迎下载使用。
专题18 平行四边形

知识点1：平行四边形

1. 平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边相等；
（2）平行四边形的对角相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
3.平行四边形的判定
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4.三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
知识点2：特殊的平行四边形
1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。




（1）矩形的性质：
1）矩形的四个角都是直角；
2）矩形的对角线平分且相等。
（2）矩形判定定理：
.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
.对角线相等的平行四边形是矩形。
.有三个角是直角的四边形是矩形。
2. 菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（1）菱形的性质：
1）菱形的四条边都相等；
2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
（2）菱形的判定定理：
一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边相等的四边形是菱形。
（3）菱形的面积S=1/2×ab（a、b为两条对角线）
4.正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形叫做正方形。

（1） 正方形的性质：
1）四条边都相等，四个角都是直角。
2）正方形既是矩形，又是菱形。
（2）正方形判定定理：
1）邻边相等的矩形是正方形。
2）有一个角是直角的菱形是正方形。

1.平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：
（1）连对角线或平移对角线；
（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形；
（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线；
（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
2.四边形中常用辅助线的添法顺口溜
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。

【例题1】（•绥化）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：
①DEBC；②四边形DBCF是平行四边形；
③EF＝EG；④BC＝2．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D
【分析】证出DE是△ABC的中位线，则DEBC；①正确；证出DF＝BC，则四边形DBCF是平行四边形；②正确；由直角三角形斜边上的中线性质得出CDAB＝BD，则CF＝CD，得出∠CFE＝∠CDE，证∠CDE＝∠EGF，则∠CFE＝∠EGF，得出EF＝EG，③正确；作EH⊥FG于H，由等腰三角形的性质得出FH＝GHFG＝1，证△EFH∽△CEH，则，求出EH＝2，由勾股定理的EF，进而得出BC＝2，④正确．
【解答】解；∵CD为斜边AB的中线，∴AD＝BD，
∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴AE＝CE，DEBC；①正确；
∵EF＝DE，∴DF＝BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；②正确；∴CF∥BD，CF＝BD，
∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB的中线，∴CDAB＝BD，∴CF＝CD，∴∠CFE＝∠CDE，
∵∠CDE+∠EGC＝180°，∠EGF+∠EGC＝180°，
∴∠CDE＝∠EGF，∴∠CFE＝∠EGF，∴EF＝EG，③正确；
作EH⊥FG于H，如图所示：

则∠EHF＝∠CHE＝90°，∠HEF+∠EFH＝∠HEF+∠CEH＝90°，FH＝GHFG＝1，
∴∠EFH＝∠CEH，CH＝GC+GH＝3+1＝4，
∴△EFH∽△CEH，
∴，
∴EH2＝CH×FH＝4×1＝4，∴EH＝2，
∴EF，
∴BC＝2DE＝2EF＝2，④正确；
【例题2】（•辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（　　）

A．2 B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB，OC，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OBBD6＝3，OA＝OCAC8＝4，AC⊥BD，
由勾股定理得，BC5，
∴AD＝5，
∵OE＝CE，∴∠DCA＝∠EOC，
∵四边形ABCD是菱形，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠DAC＝∠EOC，∴OE∥AD，
∵AO＝OC，
∴OE是△ADC的中位线，
∴OEAD＝2.5，
【例题3】（•泰安）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：
①DN＝BM；
②EM∥FN；
③AE＝FC；
④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．
其中，正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】证△DNA≌△BMC（AAS），得出DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；证△ADE≌△CBF（ASA），得出AE＝FC，DE＝BF，故③正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出EM∥FN，故②正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出∠ODN＝∠ABD，则DE＝BE，得出四边形DEBF是菱形；故④正确；即可得出结论．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAN＝∠BCM，
∵BF⊥AC，DE∥BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA＝∠BMC＝90°，
在△DNA和△BMC中，，
∴△DNA≌△BMC（AAS），
∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝FC，DE＝BF，故③正确；
∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF，
∵DE∥BF，
∴四边形NEMF是平行四边形，
∴EM∥FN，故②正确；
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵AO＝AD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝∠DAN＝60°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN＝ODN＝30°，
∴∠ODN＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确；
正确结论的个数是4个.

《平行四边形》单元精品检测试卷
本套试卷满分120分，答题时间90分钟
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（•台州）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（　　）
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②
【答案】A
【解析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．
对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，
故①→②，①→③错误，
故选项B，C，D错误.
2．（•菏泽）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（　　）
A．互相平分 B．相等
C．互相垂直 D．互相垂直平分
【答案】C
【解析】由于顺次连接四边各边中点得到的四边形是平行四边形，有对应边与原对角线平行，由矩形的性质可知，应为对角线互相垂直的四边形．
由矩形的性质知，矩形的四角为直角，即每组邻边互相垂直，故原四边形的对角线应互相垂直．
3．（•连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（　　）

A．66° B．60° C．57° D．48°
【答案】C
【解析】由矩形的性质得∠A＝∠ABC＝90°，由折叠的性质得∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE（90°﹣∠DBC）＝33°，即可得出答案．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，
∴∠A'BE＝∠ABE（90°﹣∠DBC）（90°﹣24°）＝33°，
∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°；
4．（•黑龙江）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AFBE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：
①∠ECF＝45°；
②△AEG的周长为（1）a；
③BE2+DG2＝EG2；
④△EAF的面积的最大值是a2；
⑤当BEa时，G是线段AD的中点．
其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
【答案】D
【解析】①正确．如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS）即可解决问题．
②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS）即可解决问题．
④正确．设BE＝x，则AE＝a﹣x，AFx，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．
⑤正确．当BEa时，设DG＝x，则EG＝xa，利用勾股定理构建方程可得x即可解决问题．
如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．
∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EHBE，
∵AFBE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCH＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CH，
∴△GCE≌△GCH（SAS），
∴EG＝GH，
∵GH＝DG+DH，DH＝BE，
∴EG＝BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，
设BE＝x，则AE＝a﹣x，AFx，
∴S△AEF•（a﹣x）×xx2ax（x2﹣axa2a2）（xa）2a2，
∵0，
∴xa时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，
当BEa时，设DG＝x，则EG＝xa，
在Rt△AEG中，则有（xa）2＝（a﹣x）2+（a）2，
解得x，
∴AG＝GD，故⑤正确.

5．（•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　　）

A．72 B．24 C．48 D．96
【答案】C
【解析】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，
∵OH＝4，∴BD＝8，
∵OA＝6，∴AC＝12，
∴菱形ABCD的面积．
6．（•绥化）如图，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是（　　）

A．∠BAF＝∠DAE B．EC＝FC C．AE＝AF D．BE＝DF
【答案】C
【解析】根据菱形的性质可得AB＝AD，∠B＝∠D，再根据所添加条件，与这个两个条件是否能最终得到全等三角形的判定条件，进而得出结论．
A．∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
故选项A不符合题意；
B..∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝BD，
∵EC＝FC，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
故选项B不符合题意；
C..∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
∵AE＝AF，
∴△ABE和△ADF只满足两边和一边的对角相等，两个三角形不一定全等，
故选项C符合题意；
D..∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
∵BE＝DE，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
故选项D不符合题意．
7．（•贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（　　）
A．5 B．20 C．24 D．32
【答案】B
【解析】根据题意画出图形，由菱形的性质求得OA＝4，OB＝3，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长．如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OAAC＝4，OBBD＝3，AC⊥BD，
∴AB5，
∴此菱形的周长＝4×5＝20

8．（•南充）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（　　）

A．S B．S C．S D．S
【答案】B
【解析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，SAC×BD，证出四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，得出EF、EG都是△OBC的中位线，则EFOCAC，EGOBBD，由矩形面积即可得出答案．
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，SAC×BD，
∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，
∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，
∵点E是线段BC的中点，
∴EF、EG都是△OBC的中位线，
∴EFOCAC，EGOBBD，
∴矩形EFOG的面积＝EF×EGACBDS；
9．（•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（　　）

A．4 B．8 C． D．6
【答案】A
【解析】由菱形的性质得出OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝12，由直角三角形斜边上的中线性质得出OHBD，再由菱形的面积求出BD＝8，即可得出答案．
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴OHBD，
∵菱形ABCD的面积AC×BD12×BD＝48，
∴BD＝8，
∴OHBD＝4；
10．（•荆门）如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】C
【解析】由三角形中位线定理可求AB＝10，由菱形的性质即可求解．
∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EFAB＝5，
∴AB＝10，
∵四边形ABD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40
二、填空题（每空3分，共30分）
11．（•甘孜州）如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝40°，则∠BCE的度数为　 　．

【答案】50°．
【解析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠EAD＝40°，由角的互余关系得出∠BCE＝90°﹣∠B＝50°即可．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD＝40°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝50°
12．（•无锡）如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝　 　°．

【答案】115．
【解析】由菱形的性质得出AC平分∠BCD，AB∥CD，由平行线的性质得出∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD＝180°，求出∠BCD＝130°，则∠ACE∠BCD＝65°，由等腰三角形的性质得出∠AEC＝∠ACE＝65°，即可得出答案．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD，AB∥CD，
∴∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
∴∠ACE∠BCD＝65°，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEC＝115°
13．（•淮安）菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为　 　．
【答案】5
【解析】首先根据题意画出图形，由菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，即可得AC⊥BD，OAAC＝3，OBBD＝4，然后利用勾股定理求得这个菱形的边长．
∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，OAAC＝3，OBBD＝4，
∴AB5．
即这个菱形的边长为：5．

14．（•枣庄）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是　 　．

【答案】8．
【解析】连接BD交AC于点O，则可证得OE＝OF，OD＝OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论．
如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF2，
由勾股定理得：DE2，
∴四边形BEDF的周长＝4DE＝48

15．（湖南娄底）如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 是 AD 的中点，△BCD 的周长为 18，则△DEO 的周长是 　．

【答案】9．
【解析】∵E 为 AD 中点，四边形 ABCD 是平行四边形，
∴DE= AD= BC，DO=BD，AO=CO，
∴OE= CD，
∵△BCD 的周长为 18，
∴BD+DC+B=18，
∴△DEO 的周长是 DE+OE+DO=（BC+DC+BD）=×18=9
16.（贵州省安顺市） 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D为斜边BC上的一个动点，过D分别作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 .
B
D
M
N
C
A


【答案】
【解析】连接AD，即可证明四边形AMDN是矩形；由矩形AMDN得出MN＝AD，再由三角形的面积关系求出AD的最小值，即可得出结果．
连接AD，如图所示：
B
D
M
N
C
A


∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠AMD＝∠AND＝90°，
又∵∠BAC＝90°，∴四边形AMDN是矩形；∴MN＝AD，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝5，
当AD⊥BC时，AD最短，
此时△ABC的面积＝BC•AD＝AB•AC，
∴AD的最小值＝，
∴线段MN的最小值为。
17．（湖南张家界）如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，
连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝　 　．

【答案】2．
【解析】解：连接AF，
∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF＝BE，，
在△ABE和△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BPE＝∠APF＝90°，
∵∠ADF＝90°，
∴∠ADF+∠APF＝180°，
∴A、P、F、D四点共圆，
∴∠AFD＝∠APD，
∴tan∠APD＝tan∠AFD＝＝2，
故答案为：2．

18.（•四川省凉山州）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为　 　．

【答案】4
【解析】先证明△BPE∽△CQP，得到与CQ有关的比例式，设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．
∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，
∴∠BEP＝∠CPQ．
又∠B＝∠C＝90°，
∴△BPE∽△CQP．
∴．
设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x．
∴，化简得y＝﹣（x2﹣12x），
整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，
所以当x＝6时，y有最大值为4．
19．（•黔东南州）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为　 　．

【答案】（2，﹣1）．
【解析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．
∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1）
20．（•金华）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是　 　°．

【答案】30．
【解析】根据平行四边形的性质解答即可．
∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠D+∠C＝180°，
∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°
三、解答题（6个小题，共60分）
21．（8分）（•黄冈）已知：如图，在▱ABCD中，点O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E，求证：AD＝CE．

【答案】见解析。
【解析】只要证明△AOD≌△EOC（ASA）即可解决问题；
证明：∵O是CD的中点，
∴OD＝CO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠OCE，
在△ADO和△ECO中，
，
∴△AOD≌△EOC（ASA），
∴AD＝CE．
22．（8分）（•孝感）如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD交于点G，H．
求证：EG＝FH．

【答案】见解析。
【解析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠FDH，
在△BEG与△DFH中，，
∴△BEG≌△DFH（ASA），
∴EG＝FH．
23．（10分）（•鄂州）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．

【答案】见解析。
【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到△AMB≌△CND；
（2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠EMN是直角，进而得到四边形DEMN是矩形，即可得出四边形DEMN的面积．
【解析】（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝CO，
又∵点M，N分别为OA、OC的中点，
∴AM＝CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAM＝∠DCN，
∴△AMB≌△CND（SAS）；
（2）∵△AMB≌△CND，
∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，
又∵BM＝EM，
∴DN＝EM，
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∴∠MBO＝∠NDO，
∴ME∥DN
∴四边形DEMN是平行四边形，
∵BD＝2AB，BD＝2BO，
∴AB＝OB，
又∵M是AO的中点，
∴BM⊥AO，
∴∠EMN＝90°，
∴四边形DEMN是矩形，
∵AB＝5，DN＝BM＝4，
∴AM＝3＝MO，
∴MN＝6，
∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．

24．（10分）（•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．
（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BE＝DF．

【答案】见解析。
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCD＝180°，根据角平分线的定义得到∠BCD＝2∠BCF，于是得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，求得∠ABE＝∠CDF，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵CF平分∠DCB，
∴∠BCD＝2∠BCF，
∵∠BCF＝60°，
∴∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE，∠DCF，
∴∠BAE＝∠DCE，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝CF．
25．（12分）（•北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．

【答案】见解析。
【解析】（1）根据菱形的性质得到BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，得到AE＝OEAD，推出OE∥FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AEAD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，求得FG＝OE＝5，根据勾股定理得到AF3，于是得到结论．
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，
∵E是AD的中点，
∴AE＝OEAD，
∴∠EAO＝∠AOE，
∴∠AOE＝∠BAO，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，∴OE＝AEAD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，∴AF3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．

26．（12分）（•自贡）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．

【答案】见解析。
【解析】根据矩形的性质可证明△AEB≌△BFC（SAS），然后根据全等三角形的判定即可求出答案．
在正方形ABCD中，
AB＝CD＝CD＝AD，
∵CE＝DF，∴BE＝CF，
在△AEB与△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（SAS），
∴AE＝BF．