中考数学二轮专项复习——反比例函数综合问题（含答案）

这是一份中考数学二轮专项复习——反比例函数综合问题（含答案），共20页。试卷主要包含了反比例函数的概念，反比例函数的图象和性质，解答题等内容，欢迎下载使用。

中考数学二轮专项复习——反比例函数综合问题
一、反比例函数的概念：
知识要点：
1、一般地，形如 y = ( k是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；
（2）解析式有三种常见的表达形式：
（A）y = （k ≠ 0） ； （B）xy = k（k ≠ 0）； （C）y=kx-1（k≠0）
二、反比例函数的图象和性质：
知识要点：
1、形状：图象是双曲线。
2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第一、三象限内；
（2）当k<0时, 双曲线分别位于第二、四象限内。
3、增减性：（1）当k>0时,y = （k ≠ 0）为减函数,y随x的增大而减小；
（2）当k<0时,y = （k ≠ 0）为增函数,y随x的增大而增大。
4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交
5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点成中心对称；（2）对于k取互为相反数的两个反比例函数（如：y = 和y = ）来说，它们是关于x轴，y轴成轴对称。
一、选择题：
1．下列函数，①y＝2x，②y＝x，③y＝x﹣1，④y＝是反比例函数的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是（k≠0）判定则可．
【解析】①y＝2x是正比例函数；
②y＝x是正比例函数；
③y＝x﹣1是反比例函数；
④y＝不是反比例函数，是反比例关系；
所以共有1个．
故选：B．
2．（•济南）函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解析】a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y＝在一、三象限，无选项符合．
a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y＝（a≠0）在二、四象限，只有D符合；
故选：D．
3．如图，过原点的直线l与反比例函数y＝﹣的图象交于M，N两点，根据图象猜想线段MN的长的最小值是（　　）

A． B．2 C．2 D．1
【分析】设N的横坐标是a，则纵坐标是﹣，利用a即可表示出ON的长度，然后根据不等式的性质即可求解．
【解析】设N的横坐标是a，则纵坐标是﹣．
则OM＝ON＝≥．则MN的最小值是2．
故选：B．
4．（•阜新）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为（　　）

A．3 B．2 C． D．1
【解析】连结OA，如图，

∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△CAB，
而S△OAB＝|k|＝，
∴S△CAB＝，
故选：C．
5．（•遵义）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
【解析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，
∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2，
∴A（，4），B（，2），
∴AE＝2，BE＝k﹣k＝k，
∵菱形ABCD的面积为2，
∴BC×AE＝2，即BC＝，
∴AB＝BC＝，
在Rt△AEB中，BE＝＝1
∴k＝1，
∴k＝4．
故选：C．

6．如图，在菱形ABOC中，∠ABO＝120°，它的一个顶点C在反比例函数y＝的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则该反比函数的表达式为（　　）

A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
【分析】点C作CD⊥x轴于D，设菱形的边长为a，根据菱形的性质和三角函数分别表示出C，以及点A向下平移2个单位的点，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到方程组求解即可．
【解析】过点C作CD⊥x轴于D，
设菱形的边长为a，
在Rt△CDO中，OD＝a•cos60°＝a，CD＝a•sin60°＝a，
则C（﹣a，a），
点A向下平移2个单位的点为（﹣a﹣a，a﹣2），即（﹣a，a﹣2），
则，
解得．
故反比例函数解析式为y＝﹣．
故选：B．

7.（•淄博）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y10的值为（　　）

A．2 B．6 C．4 D．2
【解析】过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…
其斜边的中点C1在反比例函数y＝，∴C（2，2）即y1＝2，
∴OD1＝D1A1＝2，
设A1D2＝a，则C2D2＝a 此时C2（4+a，a），代入y＝得：a（4+a）＝4，
解得：a＝，即：y2＝，
同理：y3＝，
y4＝，
……
∴y1+y2+…+y10＝2+++……＝，
故选：A．

8．如图，已知点A，B在双曲线y＝（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点．若△ABP的面积为4，则k的值为（ ）．

A．16 B．8 C．4 D．24
【分析】由△ABP的面积为4，知BP•AP＝8．根据反比例函数y＝中k的几何意义，知本题k＝OC•AC，由反比例函数的性质，结合已知条件P是AC的中点，得出OC＝BP，AC＝2AP，进而求出k的值．
【解答】解：∵△ABP的面积为•BP•AP＝4，
∴BP•AP＝8，
∵P是AC的中点，
∴A点的纵坐标是B点纵坐标的2倍，
又∵点A、B都在双曲线y＝（x＞0）上，
∴B点的横坐标是A点横坐标的2倍，
∴OC＝DP＝BP，
∴k＝OC•AC＝BP•2AP＝16．
故选A.
二、填空题：
9.（山西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为（-4,0），点D的坐标为（-1,4），反比例函数的图象恰好经过点C，则k的值为 .

【解析】过点D作DE⊥AB于点E，则AD=5，∵四边形ABCD为菱形，∴CD=5
∴C（4,4），将C代入得：，∴

10．（遂宁中考 第15题 4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数y＝经过点B．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为　 　．（填一般式）

【解析】点C（0，3），反比例函数y＝经过点B，则点B（4，3），
则OC＝3，OA＝4，∴AC＝5，设OG＝PG＝x，则GA＝4﹣x，PA＝AC﹣CP＝AC﹣OC＝5﹣3＝2，
由勾股定理得：（4﹣x）2＝4+x2，解得：x＝，故点G（，0），
将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故答案为：y＝x2﹣x+3．
11．如图，已知点(1，3)在函数y＝(x>0)的图象上，正方形ABCD的边BC在x轴上，点E是对角线BD的中点，函数y＝(x>0)的图象又经过A，E两点，则点E的横坐标为____．




【解析】 把(1，3)代入到y＝，得k＝3，
所以函数解析式为y＝.
设A(a，b)，根据图象和题意可知，点E.
因为y＝的图象经过A，E，所以分别把点A和E代入到函数解析式中得
ab＝3，①
＝3，②
由②得＋＝3，把①代入得＋＝3，
即b2＝6，解得b＝±，
因为A在第一象限，所以b＞0，
所以b＝.把b＝代入①求得a＝，
所以点E的横坐标为a＋＝.
故答案为.
12．如图，Rt△AOB中，∠OAB＝90°，∠OBA＝30°，顶点A在反比例函数y＝图象上，若Rt△AOB的面积恰好被y轴平分，则进过点B的反比例函数的解析式为　　．

【分析】分别过A、B作AE⊥x轴于E，BD⊥y轴交AE于F．设A（a，b），则ab＝﹣4．根据两角对应相等的两三角形相似，得出△OAE∽△ABF，由相似三角形的对应边成比例，则BD、OD都可用含a、b的代数式表示，从而求出B的坐标，进而得出结果．
【解析】分别过A、B作AE⊥x轴于E，BD⊥y轴交AE于F．设A（a，b）．
∵顶点A在反比例函数y＝图象上，
∴ab＝﹣4．
∵∠OAB＝90°，
∠OAE＝90°﹣∠BAF＝∠ABF，∠OEA＝∠BFA＝90°，
∴△OAE∽△ABF，
∴OA：AB＝OE：AF＝AE：BF，
在Rt△AOB中，∠AOAB＝90°，∠OBA＝30°，
∴OA：AB＝1：，
∴﹣a：AF＝b：BF＝1：，
∴AF＝﹣，BF＝b，
∵Rt△AOB的面积恰好被y轴平分，
∴AC＝BC，
∴BD＝DF＝BF＝﹣a，OD＝AE+AF＝b﹣a，
∴b＝﹣a，
∴A（﹣b，b），B（b，b﹣）
∴﹣b•b＝﹣4，
∴b2＝，
∴k＝b（b﹣）＝b2﹣ab＝10，
故答案为：10．

13．如图， △OAP，△ABQ是等腰直角三角形，点P，Q在反比例函数y＝(x＞0)上，直角顶点A，B均在x轴上，则点Q的坐标为 ．
【解析】 ∵△OAP是等腰直角三角形，
∴PA＝OA.∴设P点的坐标是(a，a)，
把(a，a)代入解析式y＝，解得a＝2(a＝－2舍去)，
∴P的坐标是(2，2)，
∴OA＝2，∵△ABQ是等腰直角三角形，
∴BQ＝AB，∴可以设Q的纵坐标是b，
∴横坐标是b＋2，
把Q的坐标代入解析式y＝，
得b＝，∴b＝－1(b＝－－1舍去)，
∴点Q的坐标为(＋1，－1)．
14．（•毕节市）如图，在平面直角坐标中，一次函数y＝﹣4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形ABCD的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是　 　．

【解析】过点D作DE⊥x轴，过点C作CF⊥y轴，
∵AB⊥AD，
∴∠BAO＝∠DAE，
∵AB＝AD，∠BOA＝∠DEA，
∴△ABO≌△DAE（AAS），
∴AE＝BO，DE＝OA，
易求A（1，0），B（0，4），
∴D（5，1），
∵顶点D在反比例函数y＝上，
∴k＝5，
∴y＝，
易证△CBF≌△BAO（AAS），
∴CF＝4，BF＝1，
∴C（4，5），
∵C向左移动n个单位后为（4﹣n，5），
∴5（4﹣n）＝5，
∴n＝3，
故答案为3；

三、解答题
15．如图，一次函数y＝kx＋2的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为P.PA垂直x轴于点A.PB垂直y轴于点B.函数y＝kx＋2的图象分别交x轴，y轴于点C，D.已知DB＝2OD，△PBD的面积S△PBD＝4.
(1)求点D的坐标；
(2)求k，m的值；
(3)写出当x＞0时，使一次函数y＝kx＋2的值大于反比例函数y＝的值的x的取值范围．





【解析】(1)在y＝kx＋2中，令x＝0，得
y＝2，所以点D(0，2)．
(2)因为OD＝2，DB＝2OD＝4，
由S△PBD＝4，可得BP＝2，
而OB＝OD＋DB＝6，所以点P(2，6)．
将P(2，6)分别代入y＝kx＋2与y＝，可得
k＝2，m＝12.
(3) 由图象可知，当x＞0时，使一次函数y＝kx＋2的值大于反比例函数y＝的值的x的取值范围是x＞2.

16．（遂宁中考 第23题 10分）如图，一次函数y＝x﹣3的图象与反比例函数y═（k≠0）的图象交于点A与点B（a，﹣4）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标．

【解析】（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中得：a＝﹣1
∴B（﹣1，﹣4）将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数y═（k≠0）中得：k＝4
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）如图：

设点P的坐标为（m，）（m＞0），则C（m，m﹣3）
∴PC＝|﹣（m﹣3）|，点O到直线PC的距离为m
∴△POC的面积＝m×|﹣（m﹣3）|＝3
解得：m＝5或﹣2或1或2∵点P不与点A重合，且A（4，1）
∴m≠4又∵m＞0∴m＝5或1或2∴点P的坐标为（5，）或（1，4）或（2，2）．

17．（•河池）在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标为A（0，0），B（6，0），C（6，8），D（0，8），AC，BD交于点E．
（1）如图（1），双曲线y＝过点E，直接写出点E的坐标和双曲线的解析式；
（2）如图（2），双曲线y＝与BC，CD分别交于点M，N，点C关于MN的对称点C′在y轴上．求证△CMN～△CBD，并求点C′的坐标；
（3）如图（3），将矩形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y＝与AD交于点P．当△AEP为等腰三角形时，求m的值．

【解析】（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴DE＝EB，
∵B（6，0），D（0，8），
∴E（3，4），
∵双曲线y＝过点E，
∴k1＝12．
∴反比例函数的解析式为y＝．

（2）如图2中，

∵点M，N在反比例函数的图象上，
∴DN•AD＝BM•AB，
∵BC＝AD，AB＝CD，
∴DN•BC＝BM•CD，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵∠MCN＝∠BCD，
∴△MCN∽△BCD，
∴∠CNM＝∠CDB，
∴MN∥BD，
∴△CMN∽△CBD．
∵B（6，0），D（0，8），
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+8，
∵C，C′关于MN对称，
∴CC′⊥MN，
∴CC′⊥BD，
∵C（6，8），
∴直线CC′的解析式为y＝x+，
∴C′（0，）．
（3）如图3中，

①当AP＝AE＝5时，∵P（m，5），E（m+3，4），P，E在反比例函数图象上，
∴5m＝4（m+3），
∴m＝12．
②当EP＝AE时，点P与点D重合，∵P（m，8），E（m+3，4），P，E在反比例函数图象上，
∴8m＝4（m+3），
∴m＝3．
③显然PA≠PE，若相等，则PE∥x轴，显然不可能．
综上所述，满足条件的m的值为3或12．
18．“六一”儿童节，小文到公园游玩．看到公园的一段人行弯道MN(不计宽度)如图，它与两面互相垂直的围墙OP，OQ之间有一块空地MPOQN(MP⊥OP，NQ⊥OQ)，他发现弯道MN上任意一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等．比如：A，B，C是弯道MN上的三点，矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等．爱好数学的他建立了平面直角坐标系(如图)，图中三块阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，并测得S2＝6(单位：平方米)，OG＝GH＝HI.
(1)求S1和S3的值；
(2)设T(x，y)是弯道MN上的任一点，写出y关于x的函数解析式；
(3)公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外)，已知MP＝2米，NQ＝3米．问一共能种植多少棵花木？

【解析】(1)∵矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等，∴弯道为反比例函数图象的一部分．设反比例函数的解析式为y＝(k≠0)，OG＝GH＝HI＝a，则AG＝，BH＝，CI＝.所以S2＝•a－•a＝6，解得k＝36.所以S1＝•a－•a＝k＝×36＝18，S3＝•a＝k＝×36＝12；(2)由(1)得，弯道的函数解析式为y＝.∵T(x，y)是弯道MN上的任一点，∴y＝；(3)∵MP＝2，NQ＝3，∴GM＝＝18，OQ＝＝12.∵在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外)，∴当x＝2时，y＝18，可以种8棵；当x＝4时，y＝9，可以种4棵；当x＝6时，y＝6，可以种2棵；当x＝8时，y＝4.5，可以种2棵；当x＝10时，y＝3.6，可以种1棵．故一共可以种8＋4＋2＋2＋1＝17(棵)花木．

19、如图，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点．
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围．


【解析】（1）∵已知反比例函数经过点，
∴，即
∴
∴A(1，2)
∵一次函数的图象经过点A(1，2)，
∴
∴
∴反比例函数的表达式为，
一次函数的表达式为。
（2）由消去，得。
即,∴或。
∴或。
∴或
∵点B在第三象限，∴点B的坐标为。
由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，的取值范围是或。

20．（•广元）如图，在平闻直角坐标系中，直线AB与y轴交于点B（0，7），与反比例函数y＝在第二象限内的图象相交于点A（﹣1，a）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求△ACD的面积；
（3）设直线CD的解析式为y＝mx+n，根据图象直接写出不等式mx+n≤的解集．

【解析】（1））∵点A（﹣1，a）在反比例函数y＝的图象上，
∴a＝＝8，
∴A（﹣1，8），
∵点B（0，7），
∴设直线AB的解析式为y＝kx+7，
∵直线AB过点A（﹣1，8），
∴8＝﹣k+7，解得k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+7；
（2）∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为y＝﹣x﹣2，
∴D（0，﹣2），
∴BD＝7+2＝9，
联立，解得或，
∴C（﹣4，2），E（2，﹣4），
连接BC，则△CBD的面积＝×9×4＝18，
由平行线间的距离处处相等可得△ACD与△CDB面积相等，
∴△ACD的面积为18．
（3）∵C（﹣4，2），E（2，﹣4），
∴不等式mx+n≤的解集是：﹣4≤x＜0或x≥2．