中考数学二轮专项复习——几何大题综合（含答案）

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中考数学二轮专项复习——几何大题综合
1、（遂宁中考 第23题10分）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6．
（1）求证：∠COD＝∠BAC；
（2）求⊙O的半径OC；
（3）求证：CF是⊙O的切线．




2．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．
(1)如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；
(2)如图②，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝10°，求∠P的大小．










3、已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，使∠FCA＝∠AOE，交AB的延长线于点D．
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）设OC与BE相交于点G，若OG＝2，求⊙O半径的长；
（3）在（2）的条件下，当OE＝3时，求图中阴影部分的面积．








4、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°.点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F.
(1)点E可以是AD的中点吗？为什么？
(2)求证：△ABG∽△BFE；
(3)设AD＝a，AB＝b，BC＝c.
①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系；
②在①的条件下，当b＝2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．





5、 已知平行四边形ABCD.
(1) 如图1，将□ABCD绕点D逆时针旋转一定角度得到□A1B1C1D，延长B1C1，分别与BC、AD的延长线交于点M、N.
① 求证：∠BMB1＝∠ADA1； ② 求证：B1N＝AN＋C1M；
(2) 如图2，将线段AD绕点D逆时针旋转，使点A的对应点A1落在BC上，将线段CD绕点D逆时针旋转到C1D的位置，AC1与A1D交于点H. 若H为AC1的中点，∠ADC1＋∠A1DC＝180°，A1B＝nA1C，试用含n的式子表示的值；






6、如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E在AB上运动(与A，B不重合)．连接EM并延长交CD的延长线于点F，过M作EF的垂线交BC的延长线于点G，交CD于P，连接EG，FG.
(1)求证：∠AME＝∠MPF.
(2)当∠EGF＝2∠EGB时，求AE的长．
(3)点E在AB上运动时，试探究tan∠MEG的值发生变化吗？如变化，请说出它的变化范围；如是定值，请求出它的值．





7．如图，已知∠BAC＝90°，△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，恰好D在BC上，连接CE.
(1)∠BAE与∠DAC有何关系？并说明理由；
(2)线段BC与CE在位置上有何关系？为什么？







8．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．
(1)求∠FDE的度数；
(2)试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；
(3)当G为线段DC的中点时．
①求证：FD＝FI；
②设AC＝2m，BD＝2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．











9．如图1，已知BC是圆的直径，线段RQ∥BC，A是RQ上的任意一点，AF与⊙O相切于点F，连接AB与⊙O相交于点M，D是AB上的一点，且AD＝AF，DE垂直于AB并与AC的延长线交于点E.
(1)当点A处于图2中A0的位置时，A0C与⊙O相切于点C．求证：△A0DE≌△A0CB；
(2)当点A处于图3中A1的位置时，A1F∶A1E＝1∶2，A1C∶BC＝∶.求∠BCA1的大小；
(3)图1中，若BC＝4，RQ与BC的距离为3，那么△ADE的面积S与点A的位置有没有关系？请说明理由．










10．如图，矩形ABCD是一块需探明地下资源的土地，E是AB的中点，EF∥AD交CD于点F.探测装置(设为点P)从E出发沿EF前行时，可探测的区域是以点P为中心，PA为半径的一个圆(及其内部)．当(探测装置)P到达点P0处时，⊙P0与BC、EF、AD分别交于G、F、H点．
(1)求证：FD＝FC；
(2)指出并说明CD与⊙P0的位置关系；
(3)若四边形ABGH为正方形，且△DFH的面积为(2－2)平方千米，当(探测装置)P从点P0出发继续前行多少千米到达点P1处时，A、B、C、D四点恰好在⊙P1上？





参考答案
1、（遂宁中考 第23题10分）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6．
（1）求证：∠COD＝∠BAC；
（2）求⊙O的半径OC；
（3）求证：CF是⊙O的切线．

【解答】解：（1）∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，
∴∠GAF＝90°，∵AG∥BC，∴AE⊥BC，∴CE＝BE，∴∠BAC＝2∠EAC，
∵∠COE＝2∠CAE，∴∠COD＝∠BAC；
（2）∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝＝，∴设OE＝x，OC＝3x，
∵BC＝6，∴CE＝3，∵CE⊥AD，∴OE2+CE2＝OC2，∴x2+32＝9x2，
∴x＝（负值舍去），∴OC＝3x＝，∴⊙O的半径OC为；
（3）∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC，∴，∵∠COE＝∠FOC，
∴△COE∽△FOE，∴∠OCF＝∠DEC＝90°，∴CF是⊙O的切线．

2．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．
(1)如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；
(2)如图②，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝10°，求∠P的大小．

【解析】（1）连接OC，∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°.（2分）∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠CAB＝27°，∴∠COB＝2∠CAB＝54°.在Rt△COP中，∠P＋∠COP＝90°，∴∠P＝90°－∠COP＝36°；（5分）
（2）∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO＝90°.（6分）在Rt△AOE中，由∠EAO＝10°，得∠AOE＝90°－∠EAO＝80°，∴∠ACD＝∠AOD＝40°.（8分）∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P＝∠ACD－∠A＝40°－10°＝30°.（10分）



3、已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，使∠FCA＝∠AOE，交AB的延长线于点D．
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）设OC与BE相交于点G，若OG＝2，求⊙O半径的长；
（3）在（2）的条件下，当OE＝3时，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）要证FD是⊙O的切线只要证明∠OCF＝90°即可；
（2）根据已知证得△OEG∽△CBG根据相似比不难求得OC的长；
（3）根据S阴影＝S△OCD﹣S扇形OBC从而求得阴影的面积．
【解答】证明：（1）连接OC（如图①），
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠A．
∵OE⊥AC，
∴∠A+∠AOE＝90°．
∴∠1+∠AOE＝90°．
∵∠FCA＝∠AOE，
∴∠1+∠FCA＝90°．
即∠OCF＝90°．
∴FD是⊙O的切线．
（2）连接BC，（如图②）
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC（垂径定理）．
又∵AO＝OB，
∴OE∥BC且．
∴∠OEG＝∠GBC（两直线平行，内错角相等），
∠EOG＝∠GCB（两直线平行，内错角相等），
∴△OEG∽△CBG．
∴．
∵OG＝2，
∴CG＝4．
∴OC＝OG+GC＝2+4＝6．
即⊙O半径是6．
（3）∵OE＝3，由（2）知BC＝2OE＝6，
∵OB＝OC＝6，
∴△OBC是等边三角形．
∴∠COB＝60°．
∵在Rt△OCD中，CD＝OC•tan60°＝6，
∴S阴影＝S△OCD﹣S扇形OBC＝＝．





4、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°.点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F.
(1)点E可以是AD的中点吗？为什么？
(2)求证：△ABG∽△BFE；
(3)设AD＝a，AB＝b，BC＝c.
①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系；
②在①的条件下，当b＝2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．



【解析】 (1)不可以．
据题意得：AE＝GE，∠EGB＝∠EAB＝90°，
∴Rt△EGD中，GE＜ED，
∴AE＜ED，
故点E不可以是AD的中点；
(2)证明：∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBF，
∵△EAB≌△EGB，
∴∠AEB＝∠BEG，
∴∠EBF＝∠BEF，
∴FE＝FB，
∴△FEB为等腰三角形．
∵∠ABG＋∠GBF＝90°，
∠GBF＋∠EFB＝90°，
∴∠ABG＝∠EFB，
在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG＝(180°－∠ABG)÷2，
∠FBE＝(180°－∠EFB)÷2，
∴∠BAG＝∠FBE，
∴△ABG∽△BFE，
(3)①∵四边形EFCD为平行四边形，
∴EF∥DC，
证明两个角相等，得△ABD∽△DCB，
∴＝，
即＝，
∴a2＋b2＝ac；
②解关于a的一元二次方程a2－ac＋22＝0，得：
a1＝>0，a2＝>0.
由题意，△＝0，即c2－16＝0，
∵c＞0，
∴c＝4，
∴a＝2，
∴H为BC的中点，且四边形ABHD为正方形，DH＝HC，∠C＝45°

5、 (10分)已知平行四边形ABCD.
(1) 如图1，将□ABCD绕点D逆时针旋转一定角度得到□A1B1C1D，延长B1C1，分别与BC、AD的延长线交于点M、N.
① 求证：∠BMB1＝∠ADA1； ② 求证：B1N＝AN＋C1M；
(2) 如图2，将线段AD绕点D逆时针旋转，使点A的对应点A1落在BC上，将线段CD绕点D逆时针旋转到C1D的位置，AC1与A1D交于点H. 若H为AC1的中点，∠ADC1＋∠A1DC＝180°，A1B＝nA1C，试用含n的式子表示的值；

【解析】(1) ① ∵AD∥BC，A1D∥B1C1，∴∠BMB1＝∠N＝∠ADA1. ………… 2分
② 连DM，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥MN于F，
显然，∠DCE＝∠B＝∠B1＝∠DC1F，DC＝DC1，
∴△DCE≌△DC1F(AAS)，∴DE＝DF，
又DE⊥BC，DF⊥MN，AN∥BM，
∴∠DMN＝∠DME＝∠MDN，∴DN＝MN.
又AD＝BC＝B1C1，
∴B1N＝B1C1＋C1M＋MN＝AD＋C1M＋DN ＝AN＋C1M.
(2) 延长C1D至点T，使DT＝DC1，连AT.
∵H为AC1的中点，∴AT＝2DH.
∵∠ADC1＋∠A1DC＝180°，
∴∠ADT＝∠A1DC，又A1D＝AD，DC＝DC1＝DT，
∴△A1DC≌△ADT(SAS)，
∴A1C＝AT＝2DH. 设DH＝1，则A1C＝AT＝2，
A1B＝nA1C＝2n，A1D＝AD＝BC＝2n＋2，
∴A1H＝A1D－DH＝2n＋1，∴＝2n＋1.



6、如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E在AB上运动(与A，B不重合)．连接EM并延长交CD的延长线于点F，过M作EF的垂线交BC的延长线于点G，交CD于P，连接EG，FG.
(1)求证：∠AME＝∠MPF.
(2)当∠EGF＝2∠EGB时，求AE的长．
(3)点E在AB上运动时，试探究tan∠MEG的值发生变化吗？如变化，请说出它的变化范围；如是定值，请求出它的值．



【解析】 (1)在Rt△MDP中，
∠MPF＝90°－∠DMP
而∠AME＝∠FMD＝90°－∠DMP，
∴∠AME＝∠MPF.
(2)由题意可知，GM为EF的中垂线，
∴GE＝GF.
由等腰三角形“三线合一”性质可知∠EGM＝∠MGF.
而∠EGM＝2∠MGB，
∴∠EGM＝∠MGF＝∠EGB．
在△EBG和△EGM中，
∠B＝∠EMG，∠EGB＝∠EGM，EG＝EG，
∴△EBG≌△EMG.
∴EB＝EM.
设AE＝x，则EM＝BE＝2－x.
在Rt△AEM中有x2＋12＝(2－x)2.
解得x＝.
∴AE＝.
(3)过M作MH⊥BG
由AD∥BC，得∠HGM＝∠DMP，
而∠DMP＝∠AEM.
又∵∠MHG＝∠A＝90°，
∴△MHG∽△MAE.
∴＝＝2.
即tan ∠MEG＝2.

7．(10分)如图，已知∠BAC＝90°，△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，恰好D在BC上，连接CE.
(1)∠BAE与∠DAC有何关系？并说明理由；
(2)线段BC与CE在位置上有何关系？为什么？


【解析】：(1)∠BAE与∠DAC互补．理由：
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴△ADE≌△ABC，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAC＋∠DAE＝180°，
即∠BAD＋∠DAC＋∠DAC＋∠CAE＝180°，
∴∠BAE＋∠DAC＝180°.∴∠BAE与∠DAC互补．
(2)线段BC⊥CE.∵∠CAE＝∠BAD，∴∠ACE＝.
又∵∠BCA＝90°－∠ABD，∠ABD＝，
∴∠BCA＝90°－＝.
∴∠ACE＋∠BCA＝＋＝90°，
即∠BCE＝90°，∴BC⊥CE.




8．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．
(1)求∠FDE的度数；
(2)试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；
(3)当G为线段DC的中点时．
①求证：FD＝FI；
②设AC＝2m，BD＝2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．




【解析】 (1)∵EF是⊙O的直径，∴∠FDE＝90°；
(2)四边形FACD是平行四边形．
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD．
∴∠AEB＝90°.
又∵∠FDE＝90°，
∴∠AEB＝∠FDE，
∴AC∥DF，
∴四边形FACD是平行四边形；
(3)①连接GE，如图．

∵四边形ABCD是菱形，∴点E为AC中点．
∵G为线段DC的中点，∴GE∥DA，
∴∠FHI＝∠FGE.
∵EF是⊙O的直径，∴∠FGE＝90°，
∴∠FHI＝90°.
∵∠DEC＝∠AEB＝90°，G为线段DC的中点，
∴DG＝GE，
∴＝，
∴∠1＝∠2.
∵∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，
∴∠3＝∠4，
∴FD＝FI；
②∵AC∥DF，∴∠3＝∠6.
∵∠4＝∠5，∠3＝∠4，
∴∠5＝∠6，∴EI＝EA．
∵四边形ABCD是菱形，四边形FACD是平行四边形，
∴DE＝BD＝n，AE＝AC＝m，FD＝AC＝2m，
∴EF＝FI＋IE＝FD＋AE＝3m.
在Rt△EDF中，根据勾股定理可得：
n2＋(2m)2＝(3m)2，
即n＝m，
∴S⊙O＝π2＝πm2，S菱形ABCD＝·2m·2n＝2mn＝2m2，
∴S⊙O：S菱形ABCD＝.

9．如图1，已知BC是圆的直径，线段RQ∥BC，A是RQ上的任意一点，AF与⊙O相切于点F，连接AB与⊙O相交于点M，D是AB上的一点，且AD＝AF，DE垂直于AB并与AC的延长线交于点E.
(1)当点A处于图2中A0的位置时，A0C与⊙O相切于点C．求证：△A0DE≌△A0CB；
(2)当点A处于图3中A1的位置时，A1F∶A1E＝1∶2，A1C∶BC＝∶.求∠BCA1的大小；
(3)图1中，若BC＝4，RQ与BC的距离为3，那么△ADE的面积S与点A的位置有没有关系？请说明理由．



【解析】 (1)证明：∵A0C与⊙O相切，AF与⊙O相切，∴A0F＝A0C，
∴∠A0CB＝∠A0DE＝90°.
∵A0D＝A0F，∴A0C＝A0D．
在△A0CB与△A0DE中，
A0D＝A0C，∠DA0E＝∠CA0B，
∠A0DE＝∠A0CB，
∴△A0CB≌△A0DE.
(2)连接MC，
∵BC是直径，
∴MC⊥A1B，
而DE⊥A1B，
∴MC∥DE，
∴∠E＝∠A1CM.
∵A1F＝A1D＝A1E，∠A1DE＝90°，
∴Rt△A1DE中，∠E＝∠A1CM＝30°
∴∠DA1C＝60°.
∵A1C∶BC＝∶，
设A1C＝a，则BC＝a，
∴∠A1CM＝∠E＝30°.
∴A1M＝A1C＝a，
∴Rt△A1MC中，MC＝A1M＝a，
∴∠BCM＝45°.
∴∠A1CB＝∠A1CM＋∠BCM＝30°＋45°＝75°.
(3)由(2)MC∥DE，
∴＝.①
而AF为切线，
∴AF2＝AM·AB，
∴＝，
而AF＝AD，
∴＝.②
由①、②得＝，
∴AD·DE＝AB·MC，
即S△ADE＝S△ABC，而S△ABC＝×3×4＝6，
∴无论A在何处，都有S△ADE＝6.
即：S△ABC＝S△ADE不随A的位置的变化而变化．


10．如图，矩形ABCD是一块需探明地下资源的土地，E是AB的中点，EF∥AD交CD于点F.探测装置(设为点P)从E出发沿EF前行时，可探测的区域是以点P为中心，PA为半径的一个圆(及其内部)．当(探测装置)P到达点P0处时，⊙P0与BC、EF、AD分别交于G、F、H点．
(1)求证：FD＝FC；
(2)指出并说明CD与⊙P0的位置关系；
(3)若四边形ABGH为正方形，且△DFH的面积为(2－2)平方千米，当(探测装置)P从点P0出发继续前行多少千米到达点P1处时，A、B、C、D四点恰好在⊙P1上？




【解析】 (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
又∵AD∥EF，
∴AD∥EF∥BC，
又∵AE＝BE，
∴DF＝FC．
(2)解：DF与⊙P0相切．
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，即AD⊥DF，
∵AD∥EF，
∴EF⊥DF.
又∵EF过圆心P0，OF过半径P0F的外端，
∴DF切⊙P0于点F.
(3)解：如图，连接HF，PH，延长FE交⊙P于点N，EF交HG于点M，设HD＝x，DF＝y；

∵四边形ABGH是正方形，
∴AB∥HG.
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴HG∥CD．
又∵AD∥EF，
∴HD＝MF＝x，DF＝MH＝y.
又∵正方形ABGH内接于⊙P，
∴NE＝MF＝x，∠PHM＝45°，
∴在Rt△PMH中，⊙P半径PH＝HM＝y，
∴NF＝NE＋EP＋PM＋MF＝2x＋2y；
又∵NF＝2PH＝2y，
∴2x＋2y＝2y.①
又∵S△HDF＝HD·DF＝xy＝2－2，②
由①、②可得x＝2－2，y＝2.
∴PP1＝PF－P1F＝PM＋MF－P1F＝y＋x－P1F＝y＋x－EF＝y＋x－(y＋y＋x)＝x，
∴PP1＝－1(千米)．
答：当探查装置P以P出发前行(－1)千米到达P1时，A、B、C、D四点恰好在⊙P1上．