中考数学二轮复习培优专题25 相似三角形之A字型相似 (含解析)

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25第5章相似三角形之A字型相似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知若的面积为，则的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质得出，代入求出即可．
【详解】
解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：3，
∴，
∵△ABC的面积为9，
∴，
∴S△ADE＝1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质定理，能熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键．
2．如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】D
【解析】
【分析】
易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．
【详解】
解：∵NQ∥MP∥OB，
∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，
∴，，
∴，
∵四边形MNQP的面积为3，
∴，
∴S△ANQ=1，
∵，
∴S△AOB=9，
∴k=2S△AOB=18，
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确的求出S△ANQ=1是解题的关键．
3．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长．
【详解】
如图，分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，
∴∠EBC＝∠ACF，∠BCE＝∠CAF，
在△BCE与△ACF中，

∴△CBE≌△ACF（ASA）
∴CF＝BE，CE＝AF，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴CF＝BE＝3，CE＝AF＝3+1＝4，
在Rt△ACF中，
∵AF＝4，CF＝3，
∴AC＝5，
∵AF⊥l3，DG⊥l3，
∴△CDG∽△CAF，
，
，
，
在Rt△BCD中，
∵，BC＝5，
所以．
故答案为：D．

【点睛】
本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
4．如图，，，、分别交于点、，则下列结论中错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再变形，结合相似三角形对应边成比例即可判断各个选项．
【详解】
解：∵AB∥CD
∴
∴A选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴△CEG∽△CDH，
∴,
∴,
∵AB∥CD，
∴,
∴,
∴,
∴ ，
∴B选项错误，符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF=DE，
∵AE∥DF，
∴，
；
∴C选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
∴，
∴D选项正确，不符合题目要求．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．
5．如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ACD∽△ADE，
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠DCB，
∵∠B=∠DCE，
∴△CDE∽△BCD，
故共4对，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定．注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
二、填空题
6．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为　 　．

【答案】1.5米．
【解析】
如图，∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB．∴．
∴， 解得h=1.5（米）．
7．在矩形ABCD中，，，点E 是AD上一动点，过点E作EF∥BD交AB于F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点落在△BCD的边上时，AE的长为_____________．

【答案】2或
【解析】
【分析】
分落在BD上或BC上两种情况，分别画出示意图，根据矩形的性质以及折叠的性质求解即可．
【详解】
解：当落在BD上时，如下图：
∵在矩形ABCD中，，，
∴
根据折叠的性质可知，
∵EF∥BD
∴
∴
∴；

当落在BC上时，如下图：

∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：2或．
【点睛】
本题考查的知识点是矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质、相似三角形的判定及性质，考查的范围较广，但难度不大，根据题意画出示意图是解此题的关键．
8．如图，小杨将一个三角板放在上,使三角板的一直角边经过圆心,测得,,则的半径长为______cm．

【答案】3.4
【解析】
【分析】
作OH⊥BC于H，如图，则CH=BH，先利用勾股定理计算出BC=，则CH=，再证明Rt△COH∽Rt△CBA，然后利用相似比计算OC即可．
【详解】
连接BC，作OH⊥BC于H，

则CH=BH，
在Rt△ACB中，BC=，
∴CH=，
∵∠OCH=∠BCA，
∴Rt△COH∽Rt△CBA，
∴，即，
解得，OC=3.4．
故答案为：3.4．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质．
9．如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于_________．

【答案】4.5
【解析】
【分析】
设之间的距离为x米，根据题意可得，，即，，代入数值解得x=2，进而求得AB，即可求得路灯的高度．
【详解】
如图，设之间的距离为x米，
根据题意可得，，
∴
∴，，
∴，，
即，，
∴，
解得，经检验是所列方程的解，
∴，解得，
经检验是所列方程的解，
故路灯的高为4.5米．
故答案为：4.5．

【点睛】
本题主要考查相似三角形的应用，涉及相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，会利用相似三角形的性质列出方程是解答的关键．
10．平行于BC的直线DE把△ABC的面积平分，且交边AB、AC分别于点D、E，则的值为__________．
【答案】．
【解析】
【分析】
利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】
∵平行于BC的直线DE把△ABC的面积平分，
∴，

∵DE∥BC，
∴△ADE△ABC，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握“相似三角形面积的比等于相似比的平方”是解题的关键．

三、解答题
11．（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．

（定理证明）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（定理应用）如图②，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE = 2BE，点F在边CB上，CF= 2BF．O为AC的中点，连结EF、OE、OF．
（1）EF与AC的数量关系为__________．
（2）与的面积比为___________．

【答案】【定理证明】证明见解析；【定理应用】（1）EF与AC的数量关系为；（2）与的面积比为．
【解析】
【分析】
定理证明：先根据相似三角形的判定与性质可得，再根据平行线的判定即可得证；
定理应用：（1）先根据线段的比例关系可得，再根据相似三角形的判定与性质即可得；
（2）如图（见解析），先根据三角形中位线定理可得，设，再根据三角形的面积公式分别求出与的面积，由此即可得出答案．
【详解】
定理证明：点D、E分别是AB、AC的中点，
，
在和中，，
，
，
，且；
定理应用：（1），
，
在和中，，
，
，
即；
（2）如图，过点O作于点M，作于点N，
四边形ABCD是矩形，
，即，
，
点O是AC的中点，
、是的两条中位线，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
即与的面积比．

【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，运用到三角形中位线定理是解题关键．
12．如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，圆是的外接圆．

（1）求证：为圆的切线；
（2）若，，求圆的半径．
【答案】（1）证明见详解；（2）圆的半径为3.
【解析】
【分析】
（1）连接，根据半径所形成的等腰三角形和平分可以得到，从而证出，即可得证；
（2）根据角度的转化，结合得到，可以证明，结合相似三角形的性质可以得到，同时，利用角度相等则三角函数值相等可以得到，从而分别求出，即可求出半径；
【详解】
（1）连接
圆是的外接圆


平分





即
为圆的切线

（2）


由（1）证得：





在和中：


，且



，

圆是的外接圆,且
是圆的直径
圆的半径为3
【点睛】
本题主要借助平行线进行圆切线的判定，同时考查了圆和三角形的相似，综合度比较高，准确的作出辅助线并找到相似三角形是求解本题的关键.
13．如图，BD为的直径，交BC于．
（1）求AB的长．
（2）延长DB到F，使得，求证：直线FA与相切．

【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先证明△ABE∽△ADB，利用相似三角形的性质可求得AB的长；
（2）连接OA，在Rt△ABD中可求得BD，可证明△AOB为等腰三角形，结合BF=BO可证明∠OAF=90°，证得结论．
【详解】
解：，
，
∽，
，
，
，
，解得；
证明：如图，连接OA，

为直径，
为直角三角形，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
直线FA与相切．
【点睛】
本题主要考查切线的判定及相似三角形的判定和性质的应用，掌握切线的判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．
14．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．

（1）求证：△PCQ∽△RDQ；
（2）求BP：PQ：QR的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质可得，再根据，即可证明；

（2）根据平行四边形的性质可得，，再根据相似三角形的性质可得，从而可得，再根据，即可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴．
又∵．
∴．
（2）∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，．
∴，．
又∵点是中点，
∴．
由（1）知，
∴，
∴．
又∵，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的问题，掌握平行四边形的性质、相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
15．有这样一道题：已知：如图（1），点在内部，连，，，点，，分别在，，上，且，，．

（1）求证： ∽；
（2）若将这题图（1）中的点移到外，如图（2），其他条件不变，试 问：与有何关系？请你完成图（2），写出你的结论（不需证明）．
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】
根据平行线的性质，得出对应边成比例，证明三角形相似．
【详解】
（1）证明：∵
∴
∴
∴
∴
（2）
如图，

∵
∴,
∴
∴
∴,
∴
∴
【点睛】
本题图形复杂，主要考查了相似三角形的判定以及平行线成比例定理，正确掌握平行线分线段成比例定理是解题关键.
16．如图，，，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
由推出，由推出，再由相似三角形的性质证得，并证出，然后容易证明．
【详解】
解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定定理，灵活使用性质定理和判定定理是解题关键．
17．（1）如图，在中，点、、分别在、、上，且，交于点，求证：．

（2）如图，中，，正方形的四个顶点在的边上，连结，分别交于，两点．
①如图，若，直接写出的长；

②如图，求证：．

【答案】(1)见解析;(2)①；②见解析.
【解析】
【分析】
（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出;
（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN；
②由，得．又为正方形，得出，同理，有，又因为∽，所以，所以．
【详解】
（1）证明：如图1

在中，由于，
∴∽，
∴．
同理在△ACQ和△AEP中，，
∴．
（2）①如图2, 作AQ⊥BC于点Q．

∵BC边上的高
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE：BC=1：3
又∵DE∥BC，
∴AD：AB=1：3，

∵DE边上的高为,


故答案为
②证明：如图3

∵，
∴．
又∵为正方形，
∴，
∴，
∴．
同理，在中有，
∴，
∴．
又因为∽，
∴，
∴．
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，注意利用相似三角形的对应边成比例解决问题．
18．如图，在中，，，．若动点从点出发，沿射线运动，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为．

（1）求出关于的函数关系式；
（2）当为何值时，的面积有最大值或最小值，最大值或最小值为多少？
【答案】(1) ;(2)x=2时，s有最大值，且最大值为6.
【解析】
【分析】
(1)分两种情况讨论：①当点在线段上时，∽，然后利用相似三角形的对应边成比例求得，用x、y表示该比例式中的线段的长度整理后即可；②当在延长线上时，，用x、y表示该比例式中的线段的长度整理后即可；
（2）①当在线段上时，求得，化成顶点式，可求最值；②当在延长线上时，，化成顶点式，可求最值．
【详解】
（1）①如图，当点在线段上时，

∴∽，
∴
又，，，，
∴，
∴．
②如图，当在延长线上时，

∵，
∴，
∴，
∴．
（2）①如图，当在线段上时，

．
∴当时， ．
∴当时，有最小值，且最小值为．不符合题意舍去．
②如图，当在延长线上时，

．
综上所述：当时，有最大值，且最大值为6．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定、平行线截线段成比例定理、三角形的面积及二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．
19．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．

【答案】（1）；（2）BF＝3．
【解析】
【分析】
（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．证明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性质求解即可．
（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．设EG=x，则BG=4-x．证明△EGP∽△PHD，推出，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2=PD2，可得（3x）2+（4+x）2=122，求出x，再证明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】
解：（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠C＝90°，
由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，
在Rt△EPD中，∵EM＝MD，
∴PM＝EM＝DM，
∴∠3＝∠MPD，
∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，
∵∠ADP＝2∠3，
∴∠1＝∠ADP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠DPC，
∴∠1＝∠DPC，
∵∠MOP＝∠C＝90°，
∴△POM∽△DCP，
∴，
∴．
（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x

∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，
∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，
∴△EGP∽△PHD，
∴，
∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，
在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，
∴（3x）2+（4+x）2＝122，
解得：x＝（负值已经舍弃），
∴BG＝4﹣＝，
在Rt△EGP中，GP＝，
∵GH∥BC，
∴△EGP∽△EBF，
∴，
∴，
∴BF＝3．
【点睛】
本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
20．如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且＝m，＝n．
（1）若点O是线段BC中点．
①求证：m+n＝2；
②求mn的最大值；
（2）若＝k（k≠0）求m，n之间的关系（用含k的代数式表示）．

【答案】（1）①证明见解析；②mn有最大值1；（2）n＝k﹣km+1．
【解析】
【分析】
设AM＝a，AN＝b．由＝m，＝n可得AB＝am，AC＝bn，那么MB＝MA﹣AB＝a﹣am＝（1﹣m）a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝（n﹣1）b．
（1）①若点O是线段BC中点，如图1，过点B作BH∥AC交MN于H，利用ASA证明△OBH≌△OCN，得出BH＝CN＝（n﹣1）b．由BH∥AN列出比例式＝，求解即可；
②由①的结论m+n＝2得出m＝2﹣n，那么mn＝（2﹣n）n＝﹣n2+2n＝﹣（n﹣1）2+1，根据二次函数的性质即可得出当n＝1时，mn有最大值1；
（2）若＝k（k≠0），如图2，过点B作BG∥AC交MN于G，证明△OBG∽△OCN，根据相似三角形对应边成比例得出＝，那么BG＝b．由BG∥AN列出比例式＝，整理即可得出m，n之间的关系.
【详解】
解：设AM＝a，AN＝b.
∵＝m，＝n，
∴AB＝am，AC＝bn，
∴MB＝MA﹣AB＝a﹣am＝（1﹣m）a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝（n﹣1）b.
（1）①若点O是线段BC中点，
如图1，过点B作BH∥AC交MN于H，
∴∠OBH＝∠OCN.
在△OBH与△OCN中，
，
∴△OBH≌△OCN（ASA），
∴BH＝CN＝（n﹣1）b.
∵BH∥AN，
∴＝，即＝，
∴1﹣m＝n﹣1，
∴m+n＝2；
②由①知，m+n＝2，
∴m＝2﹣n，
∴mn＝（2﹣n）n＝﹣n2+2n＝﹣（n﹣1）2+1，
∴当n＝1时，mn有最大值1；
（2）若＝k（k≠0），
如图2，过点B作BG∥AC交MN于G，
∴∠OBG＝∠OCN.
在△OBG与△OCN中，
，
∴△OBG∽△OCN，
∴＝，即＝k，
∴BG＝b.
∵BG∥AN，
∴＝，即＝，
∴1﹣m＝，
∴n＝k﹣km+1.

【点睛】
此题考查平行线的性质，三角形全等的判定及性质，平行线分线段成比例是性质，相似三角形的判定及性质，二次函数最值问题，正确掌握各知识点并综合运用解题是关键.