中考数学二轮复习培优专题35 圆之与直径有关的辅助线 (含解析)

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35第7章圆之与直径有关的辅助线

一、单选题
1．如图，AB为⊙O的直径，点C为弧AB的中点，弦CD交AB于点E，若，则tan∠B的值是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图（见解析），连接OC，过O作于E，过D作于F，先根据垂径定理得到，设，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，又根据相似三角形的判定与性质可得DF、EF的长，从而可得BF的长，最后根据正切三角函数的定义即可得．
【详解】
如图，连接OC，过O作于E，过D作于F
∵
∴设，则
∴
∵AB为⊙O的直径，点C为弧AB的中点
∴
在和中，

，即
解得或（不符题意，舍去）

∵
∴
∴
，即
解得


则在中，
故选：C．

【点睛】
本题考查了垂径定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、正切三角函数等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键．


二、填空题
2．如图，CD 为圆O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若∠BCD＝22.5°，AB＝2cm，则圆O的半径为______．

【答案】
【分析】
连接OB，根据垂径定理以及勾股定理即可求出OB的长度．
【详解】
如图，连接OB，
∵OC＝OB，∠BCD＝22.5°，
∴∠EOB＝45°，
∵AB⊥CD，CD是直径，AB=2，
∴EB＝AB＝1，
∴OE＝EB＝1，
∴OB＝=，

故答案为：
【点睛】
本题考查垂径定理、勾股定理及三角形外角性质，垂直弦的直径平分弦，并且平分弦这条弦所对的两条弧；熟练掌握垂径定理是解题关键．
3．如图，已知是的直径， 是的弦，过点作的切线，与的延长线交于点作交直线于点．若则______________．

【答案】
【分析】
连接BC，求得BC=5，证明△ABC∽△EAB，根据相似性质即可求出BE.
【详解】
解：如图，连接．
在中，根据勾股定理，得
是直径，
．
是的切线，

即


，






故答案为：
【点睛】
（1）见直径，想半径或想圆周角为直角；
（2）见切线想做过切点的直径，构造直角；
（3）求线段的长度在几何图形中一般选择勾股定理、相似、或三角函数来求解.
4．如图所示，中，，，，分别在射线，上移动，且，则点到点的距离的最大值为__.

【答案】.
【解析】
【分析】
过，，三点作，作直径连结，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同弧所对的圆周角相等得出，从而确定的直径即可
【详解】
如图所示，过，，三点作，作直径连结，
∵，
∴，
∵
在中，，∴
在，弦的最大值等于直径
∴到点的距离的最大值为

【点睛】
本题考查了圆周角的性质定理，等腰直角三角形的性质，以及勾股、勾股定理等知识点，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键
5．用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形和一个正方形，已知长方形的长比宽多a m，则正方形面积与长方形面积的差为______.（用含a的代数式表示）
【答案】
【分析】
设出长方形的长和正方形的长,设出铁丝的长度,用l表示面积做差即可得出.
【详解】
设长方形的长为x，结合题意可知宽为x-a，
设铁丝的长度为l，建立方程
,
解得,
则长方形的面积为
而正方形的面积为,
所以面积差为
故答案为a2
【点睛】
本题考查了长方形面积计算公式，正方形面积计算公式，运用多项式做差是解题的关键.
6．如图，、是半径为5的的两条弦，，，是直 径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为____.

【答案】.
【分析】
A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值
【详解】
连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．

根据垂径定理，得到BE=


∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，
则PA+PC的最小值为7．
【点睛】
正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．
7．如图，已知中，，，以为直径作，交于点，在上取点使，交于点，已知，则__________．

【答案】
【分析】
连接CE，EF，BF，过F作FG⊥AC于点G，设，则，利用求出的值，利用求出和的值，利用求出的值，进而求出，从而得出结论．
【详解】
解：连接CE，
∵BC是直径，∴CE⊥BA，
又∵，∴设，则，
∵，∴，，
∴，
连接EF，
∵四边形BCFE是圆内接四边形，
∴，，
∴
∴，即：
解得：，
∴，
连接BF，过F作FG⊥AC于点G，
∵BC是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴ ，
∴，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】
本题属于圆的综合题，难度较大，主要考查了圆内接四边形、相似、勾股定理、直角三角形，三角函数等知识点．在解题过程中，要灵活应用，尤其是辅助线的构造，是解决本题的关键．

三、解答题
8．如图所示，是锐角三角形的外接圆的半径，于点，求证：.

【答案】见解析.
【解析】
【分析】
作直径，则，分别位于和中，根据等角的补角相等即可得证.
【详解】
延长交于，连结

∵是直径
∴
∵于点
∴
又在中
∴.
【点睛】
本题考查了圆周角的性质定理，经常利用直径构造直角，来推理证明圆中角度问题.
9．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，DB⊥AB于B，点C是弧AB上的任一点，过点C作⊙O的切线交BD于点E．连接OE交⊙O于F．

（1）求证：AD∥OE；
（2）填空：连接OC、CF，
①当DB＝　 　时，四边形OCEB是正方形；
②当DB＝　 　时，四边形OACF是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）①4，②BD＝4．
【分析】
（1）连接OC、BC，由AB为⊙O的直径，DB⊥AB于B，推出DB是⊙O的切线，进而证明OE⊥BC，AC⊥BC，即可得出结论；
（2）①若四边形OCEB是正方形，CE＝BE＝OB＝OC＝AB＝2，由（1）可证，得到DE＝BE＝2，BD＝BE+DE＝4即可求出；
②若四边形OACF是菱形，则OA＝AC，又OA＝OC，于是△OAC为等边三角形，∠A＝60°，在Rt△ABD中，由tanA＝，即可求得BD．
【详解】
（1）证明：连接OC、BC，如图1，
∵AB为⊙O的直径，DB⊥AB于B，
∴DB是⊙O的切线，
∵CE与⊙O相切于点C，
∴BE＝CE，
∴点E在BC的垂直平分线上，
∵OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
∴OE⊥BC，
∵∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
∴AD∥OE；

（2）如图2，①若四边形OCEB是正方形，AB＝4，
∴CE＝BE＝OB＝OC＝AB＝2，
∵OE∥AC，
∴，
∴DE＝BE＝2，
∴BD＝BE+DE＝4，
故答案为：4；
②若四边形OACF是菱形，
∴CO平分∠ACF，CF∥OA，
∴∠ACO＝∠FCO＝∠AOC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝∠AOC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠ABD＝90°，
∴Rt△ABD中，tanA＝，
∴BD＝4，
故答案为：4；

【点睛】
本题是圆综合题，正方形的性质，菱形的性质，以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握圆的相关性质以及菱形和正方形的性质是解题的关键．
10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥CD于点D，AC平分∠DAB．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）设AD交⊙O于E，，ACD的面积为6，求BD的长．

【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）连接OC，根据等腰三角形的性质，角平分线的定义得到∠DAC＝∠OCA，证明OC//AD，根据平行线的性质得到∠OCE＝∠ADC＝90°，根据切线的判定定理证明；
（2）设AC＝5x，CD＝3x，根据勾股定理得到AD＝4x，根据三角形的面积得到AD＝4，CD＝3，AC＝5，连接BC，根据相似三角形的性质得到AB＝，连接BE交OC于F，由垂径定理得到OC⊥BE，BF＝EF，得到EF＝CD＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC//AD，
∴∠OCE＝∠ADC＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵＝，
∴设AC＝5x，CD＝3x，
∴AD＝4x，
∵ACD的面积为6，
∴AD•CD＝＝6，
∴x＝1（负值舍去），
∴AD＝4，CD＝3，AC＝5，
连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ADC，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴ADC∽ACB，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴，
连接BE交OC于F，
∴OC⊥BE，BF＝EF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠DEB＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴EF＝CD＝3，
∴BE＝6，
∴AE＝＝，
∴DE＝4﹣＝，
∴BD＝＝．

【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，AB=8cm，∠BAC=30°，点D是弦AC上的一点．
（1）若OD⊥AC，求OD长；
（2）若CD=2OD，判断形状，并说明理由．

【答案】（1）2；（2）等腰三角形，见解析．
【分析】
（1）由直角三角形的性质求解再证明，即可得到答案；
（2）如图，过作于 连接 求解设 则 利用勾股定理求解，从而可得答案．
【详解】
解：（1） AB为⊙O的直径，

AB=8cm，∠BAC=30°，

OD⊥AC，
，


（2）是等腰三角形．理由如下：
如图，过作于 连接




设 则

由勾股定理可得：




是等腰三角形．

【点睛】
本题考查的是圆的基本性质，垂径定理，三角形的中位线的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
12．如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝6，点C在半圆O上．过点A作AD⊥OC，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）．

（1）当点F为的中点时，求弦BC的长；
（2）设OD＝x，＝y，求y与x的函数关系式；
（3）当△AOD与△CDE相似时，求线段OD的长．
【答案】（1）3；（2）y＝；（3）
【分析】
（1）连结OF，交BC于点H．得出∠BOF＝∠COF．则∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，可求出BH，BC的长；
（2）连结BF．证得OD∥BF，则，即，得出，则得出结论；
（3）分两种情况：①当∠DCE＝∠DOA时，AB∥CB，不符合题意，舍去，②当∠DCE＝∠DAO时，连结OF，证得∠OAF＝30°，得出OD＝，则答案得出．
【详解】
解：（1）如图1，连结OF，交BC于点H．

∵F是中点，
∴OF⊥BC，BC＝2BH．
∴∠BOF＝∠COF．
∵OA＝OF，OC⊥AF，
∴∠AOC＝∠COF，
∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，
在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，
∵AB＝6，
∴OB＝3，
∴BH＝，
∴BC＝2BH＝3；
（2）如图2，连结BF．

∵AF⊥OC，垂足为点D，
∴AD＝DF．
又∵OA＝OB，
∴OD∥BF，BF＝2OD＝2x．
∴，
∴，
即，
∴，
∴y＝．
（3）△AOD和△CDE相似，分两种情况：①当∠DCE＝∠DOA时，AB∥CB，不符合题意，舍去．
②当∠DCE＝∠DAO时，连结OF．

∵OA＝OF，OB＝OC，
∴∠OAF＝∠OFA，∠OCB＝∠OBC．
∵∠DCE＝∠DAO，
∴∠OAF＝∠OFA＝∠OCB＝∠OBC．
∵∠AOD＝∠OCB+∠OBC＝2∠OAF，
∴∠OAF＝30°，
∴OD＝．
即线段OD的长为．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题．
13．如图，已知，，点在上，边与相交于点，过经过圆心，与相交于点，的切线交于点
（1）求证：
（2）若，，，求的长

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）如图1，连接，由是的切线，得到，即，再由，由等角的余角相等可得，根据等腰三角形的判定得到即可得出．
（2）连接，通过利用三角函数求出，再由勾股定理求出AB=15，根据，即可解答．
【详解】
解：（1）连接，

是的切线
，

，
，
，
又，
∴，

（2）连接，，，
又，
，
，
在中，，
，

【点睛】
本题考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
14．如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为BC，AD上的点，过点E，F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，过点A作于点G，连接DG，则线段DG的最小值为______．

【答案】
【分析】
连接AC，BD交于O，得到EF过点O，推出点G在以AO为直径的半圆弧上，设AO的中点为M，连接DM交半圆弧于G，则此时，DG最小，根据正方形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：
连接AC，BD交于O，
过点E、F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，
过点O，
，
，
点G在以AO为直径的半圆弧上，则
设AO的中点为M，
连接DM交半圆弧于G，
则此时，DG最小，
四边形ABCD是正方形，，
，，
，
，
，
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
15．如图1，在中，弦与半径交于点，连接、，．
（1）求证：；
（2）如图2，过点作交于点，垂足为，连接，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点，连接、，过点作于点，交于点，连接，若，时，求线段的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）延长交于，连接，根据等腰三角形的底角相等，三角形的外角的性质，结合，得，再结合圆周角定理，得，即可得到结论；
（2）作于，于，根据等腰三角形三线合一，得，结合条件得，易证，结合垂径定理，即可得到结论；
（3）延长交于，连接，，先证，再证，，得四边形是平行四边形，根据直角三角形和等腰三角形的性质得，结合平行线截得的线段成比例与勾股定理，即可求解．
【详解】
（1）如图1中，延长交于，连接．
，
，
∴，
∵，
，
，
，
；
（2）如图2中，作于，于．
，，
，
，
，
∵CD⊥AB，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，，
；
（3）在图3中，延长交于，连接，．
，，
，，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，，
，
，
∵，CT⊥DB，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．

【点睛】
本题主要考查圆的基本性质与全等三角形，相似三角形，勾股定理，平行四边形的综合，添加辅助线，构造全等三角形，相似三角形，是解题的关键．
16．如图所示，四边形的四个顶点在上，且对角线于，求证：为定值.

【答案】见解析.
【解析】
【分析】
作直径，连结，，根据直径所对的圆周角为直角得出，从而得出利用勾股定理即可解决问题．
【详解】
作直径，连结，，
∴，
∵
∴，
∴弧AD=弧CE,
∴，
根据勾股定理得：
，，
∴为定值.

【点睛】
本题考查圆周角定理，勾股定理，两条平行线所夹的弧相等等知识，解题的关键是学会利用定理和性质进行转化．
17．如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值.

【答案】的最大值为.
【解析】
【分析】
由和组成的弦，在中，弦最长为直径14，而可求，所以的最大值可求.
【详解】
连结，，
∵ ∴
∴为等边三角形，
∵点，分别是，的中点
∴，∵ 为的一条弦
∴最大值为直径14 ∴的最大值为.
【点睛】
利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题.
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD交于点H．
（1）求证：四边形DEBC是平行四边形；
（2）若BD＝9，求DH的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）6.
【分析】
（1）结合题意，得出DC=BE，利用平行四边形的判定定理，证明，即可．（2）结合三角形相似，得出DH和BH的长度关系，计算结果，即可．
【详解】
（1）证明：∵E是AB的中点，
∴AB＝2EB，
∵AB＝2CD，
∴DC＝BE，
又∵AB∥CD，即DC∥BE，
∴四边形BCDE是平行四边形．
（2）解：∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BC＝DE，BC∥DE，
∴△EDM∽△FBM，
∴＝，
∵BC＝DE，F为BC的中点，
∴BF＝BC＝DE，
∴＝＝2，
∴DH＝2HB，
又∵DH+HB＝9，
∴DH＝6．
【点睛】
考查平行四边形的判定，考查相似三角形的判定，关键得出DH和HB的长度关系，即可，难度中等．
19．如图，正方形AOBC的边OB、OA分别在x、y轴上，点C坐标为（8，8），将正方形AOBC绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段BC于点Q，ED的延长线交线段OB于点P，连接AP、AQ．
（1）求证：△ACQ≌△ADQ；
（2）求∠PAQ的度数，并判断线段OP、PQ、CQ之间的数量关系，并说明理由；
（3）连接BE、EC、CD、DB得到四边形BECD，在旋转过程中，四边形BECD能否是矩形？如果能，请求出点P的坐标，如果不能，请说明理由．

【答案】(1)见解析，（2）PQ＝OP+CQ，理由见解析，（3））；理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由正方形的性质及旋转的性质可得到AD＝AC，利用HL即可证得结论；
（2）利用（1）的结论，结合条件可证得△AOP≌△ADP，进一步可求得∠PAQ＝45°，再结合全等可求得PQ＝OP+CQ；
（3）利用矩形的性质可得到BQ＝EQ＝CQ＝DQ，设P（x，0），则可表示出BQ、PB的长，在Rt△BPQ中，利用勾股定理可得到关于x的方程，则可求得P点坐标．
【详解】
（1）证明：
∵正方形AOBC绕点A旋转得到正方形ADEF，
∴AD＝AC，∠ADQ＝∠ACQ＝90°，
在Rt△ADQ和Rt△ACQ中
，
∴Rt△ACQ≌Rt△ADQ（HL）；
（2）解：
∵△ACQ≌△ADQ，
∴∠CAQ＝∠DAQ，CQ＝DQ，
在Rt△AOP和Rt△ADP中
，
∴Rt△AOP≌Rt△ADP（HL），
∴∠OAP＝∠DAP，OP＝OD，
∴∠PAQ＝∠DAQ+DAP＝∠DAC+∠DAO＝（∠DAC+∠DAO）＝∠OAC＝45°，
PQ＝PD+DQ＝OP+CQ；
（3）解：四边形BECD可为矩形，如图，

若四边形BECD为矩形，则BQ＝EQ＝CQ＝DQ，
∵BC＝8，
∴BQ＝CQ＝4，
设P点坐标为（x，0），则PO＝x，
∵OP＝PD，CQ＝DQ，
∴PD＝x，DQ＝4，
在Rt△BPQ中，可知PQ＝x+4，BQ＝4，BP＝8﹣x，
∴（x+4）2+42＝（8﹣x）2，解得x＝，
∴P点坐标为（，0）．
【点睛】
本题为四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质、正方形的性质、旋转的性质、矩形的判定和性质、勾股定理及方程思想等知识．在（1）中注意HL的应用，在（2）中证得Rt△AOP≌Rt△ADP是解题的关键，在（3）中注意矩形性质的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．