中考数学二轮复习培优专题56 压轴题之阅读理解类 (含解析)

这是一份中考数学二轮复习培优专题56 压轴题之阅读理解类 (含解析)，共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

56第12章压轴题之阅读理解类

一、单选题
1．定义一种新运算：=，例如：==1－9=－8，若=－2，则m=( )
A．－2 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据=转化为关于m的方程，然后解方程即可．
【解答】由题意得－=－=－2，则m=，
经检验m=符合题意．
故选B．
【点评】本题考查了新定义运算，分式方程的解法，根据=把=－2转化为－=－2是解答本题的关键．
2．在平面直角坐标系中，定义：已知图形W和直线，如果图形W上存在一点Q，使得点Q到直线的距离小于或等于k，则称图形W与直线“k关联”．已知线段AB，其中点，．若线段AB与直线“关联”，则b的取值范围是( )
A．-1≤b≤ B．0≤b≤4 C．0≤b≤6 D．≤b≤6
【答案】C
【分析】如图（见解析），先画出图形，再根据定义求出两个临界位置时b的值，由此即可得．
【解答】如图，过点B作直线的垂线，垂足为点D，连接OA，延长AB交直线于点C
由题意，有以下两个临界位置：
①点A到直线的距离等于

，
当直线经过原点O时，，

即为点A到直线的距离，此时
②点B到直线的距离等于，即
轴
，且点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，即为1
是等腰直角三角形

点C的横坐标为

将点代入直线得：
解得
则b的取值范围是
故选：C．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、一次函数的几何应用等知识点，理解新定义，求出两个临界位置时b的值是解题关键．
3．方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据题意推断方程的实根是函数与的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程的实根x所在范围．
【解答】解：的实根是函数与的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．

当时，，无意义，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
故选D．
【点评】此题考查了函数与方程关系，类比学习能力，从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
4．我们把三个数的中位数记作Z{a，b，c}．例如Z{1，3，2}=2．函数y=|2x+b|的图象为C1，函数y=Z{x+1，-x+1，3}的图象为C2．图象C1在图象C2的下方点的横坐标x满足-3 A．03或b<0 C．0≤b≤3 D．1 【答案】C
【分析】画出函数图象，利用图象法，取特殊点求出b的值即可解决问题．
【解答】解：如图，图象、如图所示．

对于函数，当时，，当函数经过时，，
对于函数，当时，，当函数经过时，，
观察图象可知，当图象在图象的下方点的横坐标满足，则的取值范围为，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的图象、中位线的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，解题时学会取特殊点解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

二、填空题
5．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，请根据图2化简， ________．

【答案】 ．
【分析】先具体计算出 得出面积规律，表示，再设①，两边都乘以，得到 ②，利用①②，求解，从而可得答案．
【解答】解：





设①
②
①②得：

故答案为：
【点评】本题考查的是图形的面积规律的探究，有理数的乘方运算的灵活应用，同底数幂的乘法与除法的应用，方程思想的应用，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
6．规定：在一个矩形中，先剪下一个最大的正方形称为裁剪1次，再在剩余的图形中剪下一个最大的正方形称为裁剪2次，……依次进行，若裁剪次后，最后剩余的图形也是一个正方形，我们把这样的矩形称为完美矩形．已知在完美矩形中，两条相邻边长分别为4，，若，则______；若，且，则______．
【答案】4 或
【分析】结合题意可知时，两条相邻边长分别为：4，7，则逐次裁剪计算，到第4次裁剪后，可得到正方形；若，则第1次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：a，4-a，通过比较a和4-a的大小，分类计算第2次和第3次裁剪后的图形边长，通过列等式计算，即可得到答案．
【解答】结合题意得：两条相邻边长分别为：4，7
第1次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：4，3
第2次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：3，1
第3次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：2，1
第4次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：1，1，即为正方形
∴；
若，且
第1次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：a，4-a
①如果，即
则第2次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：a，4-2a
如果，即
则第3次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：a，4-3a
∴
∴，故舍去；
如果，即
则第3次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：4-2a，3a-4
∴
∴；
②如果，即
则第2次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：4-a，2a-4
如果，即
则第3次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：4-a，3a-8
∴
∴，故舍去；
如果，即
则第3次裁剪后，剩余图形两条相邻边长分别为：2a-4，8-3a
∴
∴
故答案为：4，或．
【点评】本题考查了一元一次不等式、一元一次方程、矩形、正方形的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式、一元一次方程、矩形、正方形的性质，从而完成求解．
7．阅读下面的材料，并解答问题：
分式（）的最大值是多少？
解：，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以的最大值是，所以的最大值是4，即（x≥0）的最大值是4．
根据上述方法，试求分式的最大值是_______________；5
【答案】5
【分析】根据题意：有结合的最小值是从而可得答案．
【解答】解：


所以：的最小值是
的最大值是
的最大值是
的最大值是
故答案为：
【点评】本题考查的是分式加减运算的逆运算，即 同时考查分式的值，掌握以上知识是解题的关键．
8．定义符号的含义为：当时；当时．如：．则的最大值是_____________．
【答案】
【分析】理解min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．
【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数y＝−x2＋1与正比例函数y＝−x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．

令−x2＋1＝−x，即x2−x−1＝0，解得：或，
∴A（），B（）．
观察图象可知：
①当x≤时，min{−x2＋1，−x}＝−x2＋1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；
②当时，min{−x2＋1，−x}＝−x，函数值随x的增大而减小，其最大值为；
③当x≥时，min{−x2＋1，−x}＝−x2＋1，函数值随x的增大而减小，最大值为．
综上所示，min{−x2＋1，−x}的最大值是.
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．

三、解答题
9．设是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．如函数，当时，；当时，，即当时，有，所以说函数是闭区间上的“闭函数”
（1）反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗?请判断并说明理由；
（2）若二次函数是闭区间上的“闭函数”，求的值；
（3）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的表达式(可用含的代数式表示)．
【答案】（1）反比例函数是闭区间[1,2019]上的“闭函数”，理由见解析；（2）；（3）或
【分析】（1）由k＞0可知反比例函数在闭区间[1，2019]上y随x的增大而减小，然后将x＝1，x＝2019分别代入反比例解析式的解析式，从而可求得y的范围，于是可做出判断；
（2）先求得二次函数的对称轴为x＝3，a＝1＞0，根据二次函数的性质可知在闭区间上y随x的增大而增大，然后将x＝3，y＝3，x＝4，y＝4分别代入二次函数的解析式，从而可求得k的值；
（3）当k＞0时，将（m，m）、（n，n）代入直线的解析式得到关于k、b的方程组，从而可求得k＝1、b＝0，故此函数的表达式为y＝x；当k＜0时，将（m，n）、（n，m）代入直线的解析式得到关于k、b的方程组，从而可求得k＝−1、b＝m＋n的值，从而可求得函数的表达式．
【解答】(1)反比例函数是闭区间[1,2019]上的“闭函数”
理由如下
反比例函数在第一象限，随的增大而减小，
当时，
当时，,
即图象过点(1,2019)和(2019,1)
当时，有，符合闭函数的定义，
反比例函数是闭区间[1，2019]上的“闭函数”
(2)由于二次函数的图象开口向上,对称轴为,
二次函数在闭区间[3,4]内，随的增大而增大
当时，,

当时，,
即图象过点(3,3)和(4,4)
当时，有，符合闭函数的定义，

(3)因为一次函数是闭区间上的“闭函数”，
根据一次函数的图象与性质，有
①当时，即图象过点和
，解得.

②当时，即图象过点和,

解得
∴直线解析式为
综上所述，当k＞0时，直线的解析式为y＝x，当k＜0，直线的解析式为y＝−x＋m＋n．
【点评】本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．
10．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：
如果，那么称点为点的“伴随点”．
例如：点的“伴随点”为点；点的“伴随点”为点．
（1）直接写出点的“伴随点”的坐标．
（2）点在函数的图象上，若其“伴随点”的纵坐标为2，求函数的解析式．
（3）点在函数的图象上，且点关于轴对称，点的“伴随点”为．若点在第一象限，且，求此时“伴随点”的横坐标．
（4）点在函数的图象上，若其“伴随点”的纵坐标的最大值为，直接写出实数的取值范围．
【答案】（1）点A＇的坐标为（2，1）；（2）y=x+3；（3）D＇的横坐标为；（4）－2≤n≤0、1≤n≤3
【分析】（1）根据题意，，则,即可求解.
（2）分时，两种情况分别求解.
（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y=－x2+4的图象上，CD=DD＇，即可求解.
（4）通过画图即可求解.
【解答】解：（1）点A＇的坐标为（2，1）．
（2）①当m≥0时，
m+1=2，m=1;
∴B（1，2）,
∵点B在一次函数y=kx+3图象上，
∴k+3=2，
解得：k=-1;
∴一次函数解析式为y=-x+3;
②当m＜0时，
m+1=-2，m=-3;
∴B（-3，-2）．
∵点B在一次函数y=kx+3图象上，
∴-3k+3=-2，
解得：k=，
∴一次函数解析式为y=x+3;
（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y=－x2+4的图象上，
∴点C的坐标为（n，-n2+4），
∴点D的坐标为（-n，-n2+4），D＇（-n，n2-4）;
∵CD=DD＇，
∴2n=2（-n2+4），
解得：n=;
∵点C在第一象限，
∴取，（舍）;
∴D＇的横坐标为．
（4）－2≤n≤0、1≤n≤3．
解析如下：
当左边的抛物线在上方时，如图①、图②．－2≤n≤0,
当右边的抛物线在上方时，如图③、图④．1≤n≤3;

【点评】本题主要考查了二次函数综合应用，对新定义的理解需要做到理解透彻.
11．阅读材料：
对于排好顺序的三个数：，称为数列．计算的值，将这三个算式的最小值称为数列的价值．例如，对于数列，因为，所以数列的价值为．
当改变数列中三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数列的价值为，数列的价值等等．对于“”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）求数列的价值；
（2）将“”这三个数按照不同的顺序排列，可得若干个数列，求取得的价值最小时的数列．
（3）已知，将“”这三个数按照不同的顺序排列，可得若干个数列，若这些数列的价值的最小值为1，求的值．
【答案】（1）数列的价值是2；（2）数列为：3，-2，5；或-2，3，5时，数列的价值的最小值为；（3）a的值为1或11或5．
【分析】（1）根据定义，代入直接可求；
（2）数列共6中排列方式，分别求出每一种情况的价值，即可求解；
（3）分和和和四种情况讨论，分别求解并判断即可．
【解答】解：（1）因为，
所以，数列的价值是2；
（2）由（1）得数列的价值是2；
因为，故数列的价值是；
因为，故数列3，-2，5的价值是；
因为，故数列3，5，-2的价值是2；
因为，故数列-2，5，3的价值是；
因为，故数列-2，3，5的价值是；
数列为：3，-2，5；或-2，3，5时，数列的价值的最小值为；
（3）因为
故当时，因为，所以；
当时，（舍去）或（舍去）
当时，或，当时，，故不符合题意舍去；
当时，或，当时，，故不符合题意舍去；
综上所述a的值为1或11或5．
【点评】本题考查数字的规律，新定义．理解题意，利用绝对值的性质计算是解题的关键．
12．（定义）如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．
（理解）如图①，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．
如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．
（应用）
（1）在△ABC中，已知一个内角为24°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值 （按从小到大写）；
（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和 DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，根据题意写出∠B的度数的所有可能值 ．

【答案】理解：见解析图图①，图②；应用：（1）70°或106°或117或144°或148°；（2）42°或18°
【分析】理解：如图①，首先求出∠B的度数，然后其中一个等腰三角形底角一定为27°，得出另一个等腰三角形的底角度数，然后根据题意画出图形即可；
如图②，首先求出底角的度数，然后以∠A为底角，在以∠C为底角，最后根据题意画出图形即可；
应用：（1）分为6种情况讨论：①如图③当∠B＝24°，AD为“好线”，②如图④当∠B＝24°，AD为“好线”，③如图⑤当∠ABC＝24°时，BD为“好线”， ④如图⑥，当∠B＝24°时，CD为“好线”， ⑤如图⑦，当∠B＝24°时，CD为“好线”， ⑥如图⑧，当∠B＝24°时，AD为“好线”，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）设∠B=x°，①当AD=DE时，如图1（a），②当AD=AE时，如图1（b），③当EA=DE时，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论．
【解答】(理解)如图①，如图②所示，


（应用）
（1）①如图③当∠B＝24°，AD为“好线”，

则A C＝AD＝BD这个三角形最大内角是∠BAC＝106°；
②如图④当∠B＝24°，AD为“好线”，
则AB＝AD，AD＝CD，这个三角形最大内角是∠BAC＝144°；

③如图⑤当∠ABC＝24°时，BD为“好线”，

则AD＝BD，CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠C＝148°，
④如图⑥，当∠B＝24°时，CD为“好线”，

则AD＝CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠ACB＝117°，
⑤如图⑦，当∠B＝24°时，CD为“好线”，

则AD＝AC，CD＝BD，故这个三角形最大内角是∠ACB＝70°，
⑥如图⑧，当∠B＝24°时，AD为“好线”

则AB＝BD，AD＝CD，故这个三角形最大内角是∠BAC＝117°，
上所述，这个三角形最大内角的所有可能值是70°或106°或117或144°或148°，
故答案为70°或106°或117或144°或148°；
（2）设∠B＝x°，
①当AD＝DE时，如图1(a)，
∵AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD＝27°，
∵DE＝EB，
∴∠B＝∠EDB＝x°
∴∠AED＝∠DAE＝2x°，
∴27×2+2x+x＝180，
∴x＝42，
∴∠B＝42°；

②当AD＝AE时，如图1(b)，
∵AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD＝27°，
∵DE＝EB，
∴∠B＝∠EDB＝x°
∴∠AED＝∠ADE＝2x°，
∴2x+x＝27+27，
∴x＝18，
∴∠B＝18°．

③当EA＝DE时，
∵90﹣x+27+27+x＝180，
∴x不存在，应舍去．
综合上述：满足条件的x＝42°或18°．
【点评】本题考查设计与作图、等腰三角形的定义、正确的理解题意是解决问题的关键，并注意第二问的分类讨论的思想，不要丢解．
13．阅读理解：
若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是（A，B）的好点．
例如，如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是（A，B）的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是（A，B）的好点，但点D是（B，A）的好点．

知识运用：（1）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为－2，点N所表示的数为4．

①在点M和点N中间，数 所表示的点是（M，N）的好点；
②在数轴上，数 和数 所表示的点都是（N，M）的好点；
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为－20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？

【答案】（1）①2 ；② 0，－8；（3）当t为10秒、15秒或20秒，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点
【分析】（1）设所求数为x，列出，计算即可；
（2）设所求数为a，当a在M、N之间和当a在M右侧分别计算即可得到结果；
（3）设点P表示的数为y，分四种情况：①P为【A，B】的好点，②A为【B，P】的好点，③P为【B，A】的好点，④A为【P，B】的好点，⑤B为【A，P】的好点；
【解答】（1）设所求数为x，
由题意可得，
，
解得：，
∴即数2表示的点是【M，N】的好点；
（2）设所求数为a，
当a在M、N之间时，
∴，
解得：，
当a在M右侧时，
解得：，
∴数0和-8是【M，N】的好点；
（3）设点P表示的数为y，分四种情况：
①P为【A，B】的好点．
由题意，得，
解得y＝20，
t＝÷2＝10（秒）；
②A为【B，P】的好点．
由题意，得＝2[y－（－20）]，
解得y＝10，
t＝÷2＝15（秒）；
③P为【B，A】的好点．
由题意，得40－y＝2[y－（－20）]，
解得y＝0，
t＝÷2＝20（秒）；
④A为【P，B】的好点
由题意得＝2[40－（－20）]
解得y＝100（舍）．
⑤B为【A，P】的好点；
30＝2t，
t＝15．
综上可知，当t为10秒、15秒或20秒，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点．
【点评】本题主要考查了数轴的应用，准确分析计算是解题的关键．
14．阅读理解：
转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．
利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．
例如：解方程
解：两边平方得：
解得：，
经检验，是原方程的根，
代入原方程中不合理，是原方程的增根．
∴原方程的根是．
解决问题：
（1）填空：已知关于x的方程有一个根是，那么a的值为 ；
（2）求满足的x的值；
（3）代数式的值能否等于8 ? 若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）2；（2）3；（3）不能，理由见解析
【分析】（1）根据方程解的定义把x=1代入方程，解关于a的无理方程即可；
（2）类比提供的例题解方程，并检验即可求解；
（3）将原方程变形为，两边平方，整理，再平方，得到此方程无解，得出结论即可．
【解答】解：（1）把x=1代入方程得，
两边平方得 3-a=1，
解得a=2，
经检验，a=2是方程的解，
故答案为：a=2；
（2）
两边平方得：
解得：，
经检验，x2=-2代入原方程中不合理，是原方程的增根，x1=3是原方程的根
∴原方程的根是x=3；
（3）不能．
，
原方程变形得，
两边平方得
整理得，
两边平方得，
此方程无解，
∴代数式的值不等于8．
【点评】本题考查了学生的学习能力，能理解文本和提供的例题并结合所学知识灵活运用是解题的关键．
15．定义：对于依次排列的多项式，，，，（，，，是常数），当它们满足，且为常数是，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡印子，例如：对于多项式，，，，因为，所以，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子，
（1）已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子；
（2）若，，，是一组平衡数，则 ；
（3）当，，，之间满足什么数量关系时，他们是一组平衡数，并说明理由．
【答案】（1）-10；（2）-3；（3），证明见解析
【分析】（1）直接根据定义计算M的值；
（2）将，，，分别带入多项式中，依据定义计算出m的值即可；
（3）根据定义化简计算，可得a，b，c，d之间满足的数量关系式．
【解答】解：（1）由题意有：M=
=18-28
=-10
（2）∵，，，是一组平衡数，
∴的结果为常数
∵=-x-12-(2+m)x-2m，
∴2+m=-1，
解的m=-3
故答案为：-3
（3）
证明：假设，，，是平衡数，
则结果为常数，
原式=x2+(d+a)x+ad-[x2+(c+d)x+ba]
=(d+a)x-(c+d)x+ ad- ba
=[(d+a) -(c+d)] x+ ad- ba
结果为常数，
，
．
【点评】此题考查了整式的混合运算-化简求值及新定义问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．阅读下列材料，完成相应任务：
神奇的等式
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；…
第100个等式：；…
任务：
（1）第6个等式为：　　；
（2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并证明．
【答案】（1）；（2），证明见解析
【分析】（1）根据题目中的5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．
【解答】解：（1）由题意得，第6个等式为：，
故答案为．
（2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示）为：；
证明：∵左边＝，
∴左边＝右边，等式成立．
故答案为．
【点评】本题考查了分式的四则运算法则及学生的归纳推理能力，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
17．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
（1）如图1，若四边形ABCD是圆美四边形，求美角∠A的度数．
（2）在（1）的条件下，若⊙O的半径为5．
①求BD的长．
②如图2，在四边形ABCD中，若CA平分∠BCD，求证：BC+CD=AC．
（3）在（2）的条件下，如图3，若AC是⊙O的直径，请用等式表示线段AB，BC，CD之间的数量关系 （直接写答案）．

【答案】（1）∠A＝60°；（2）①BD＝；②见解析；（3）
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可以得到解答；
（2）在AC上取点E使CE=CB,连接BE、BD，则由题意可以得到CE=BC，AE=CD，所以BC+CD=AC；
（3）由（2）的结论通过解直角三角形可以得到AB、BC、CD之间的数量关系．
【解答】（1）由题意得：∠A＝∠C，而∠A+∠C＝180°，∴∠A＝60°；
（2）①如图，连接DO并延长交圆O于点E，连接BE，

则∠E＝∠A＝60°，所以：
①∠EDB=30°，所以EB=，BD＝；
②如图，在AC上取点E使CE=CB，连接BE、BD

∵CA平分∠BCD且∠BCD=180°-∠BAD=120°，∴∠BCA=∠ACD =60°，
∴△BCE是等边三角形，∴BC=BE=CE．
∵∠ABD=∠ACD=60°，∠ADB=∠ACB =60°，而∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD，
∵∠ABE=∠ABD-∠EBD=60°-∠EBD，∠DBC=∠EBC-∠EBD=60°-∠EBD
∴∠ABE=∠DBC
∴△ABE≌△DBC
∴AE=CD
∴AC=AE+EC=BC+CD；
（3）由(2)知∠BCA=∠DCA= 60°，所以∠BAC=∠DAC= 30°，所以CD=BC=，
所以．
【点评】本题主要考查了圆内接四边形的综合应用，在作辅助线的基础上综合应用圆内接四边形的性质和勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质以及角平分线的意义等求解和求证是解题关键．
18．（1）阅读下面材料：

点A、B在数轴上分别表示实数a、b， A、B两点之间的距离表示为AB．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，；
当A、B两点都不在原点时：
①如图乙，点A、B都在原点的右边，；
如图丙，点A、B都在原点的左边，；
如图丁，点A、B在原点的两边，．
综上，数轴上A、B两点之间的距离．
（2）回答下列问题：
数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______；
数轴上表示x和的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是______，如果，那么______；
当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是______．
当代数式取最小值时，相应的x的值是______．
当代数式取最大值时，相应的x的取值范围是______．
【答案】①3，3，4；②，1或3；③；④；⑤
【分析】①根据中的知识可以得到两点之间的距离就是较大的数与较小的数的差，据此即可求解；
②根据，即可直接写出结果；
③表示数轴上一点到与5两点的距离的和，当这点是或5，以及它们之间时和最小，最小距离是与5之间的距离；
④代数式表示数轴上一点到1、与5三点的距离的和，根据两点之间线段最短，则当时和最小，最小值是5到的距离；
⑤代数式表示数轴上一点到5与两点的距离的差，当点小于等于时差最大，最大值是5与之间的距离．
【解答】解：①，，；
故答案为：3；3；4；
②数轴上表示x和的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，
当AB=2时，则
则或
故答案为：；1或3；
③表示数轴上一点到与5两点的距离的和，当这点在和5之间时和最小，最小距离是：
故答案为：；
④代数式表示数轴上一点到1、与5三点的距离的和，根据两点之间线段最短，则当时和最小，最小值是5到的距离，是
故答案为：；
⑤代数式表示数轴上一点到5与两点的距离的差，当点所表示的数小于等于时差最大，最大值是5与之间的距离，是7．
故答案是：．
【点评】此题考查的是数轴与绝对值的关系，掌握两点之间的距离公式是解决此题的关键．
19．某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，并且无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变，求a的值．
【答案】（1）y＝﹣100x＋50000
（2）A型34台、B型66台，最大利润是46600元
（3）100
【分析】（1）根据“总利润＝A型电脑每台利润×A电脑数量＋B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；
（2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；
（3）据题意得y＝（400＋a）x＋500（100﹣x），即y＝（a﹣100）x＋50000，当a＝100时，无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变．
【解答】解：（1）根据题意，y＝400x＋500（100﹣x）＝﹣100x＋50000；
（2）∵100﹣x≤2x，
∴x，
∵y＝﹣100x＋50000中k＝﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为整数，
∴x＝34时，y取得最大值，最大值为46600，
答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；
（3）据题意得，y＝（400＋a）x＋500（100﹣x），即y＝（a﹣100）x＋50000，当a＝100时，无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变．
【点评】本题考查一次函数的表示和应用，在理解题意的基础上熟练地用解析式表示一次函数并应用一次函数的性质是解题关键．
20．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4　（第一步）
＝y2+8y+16　（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　 　（填序号）．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？　 　．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果　 　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）C；（2）否，（x﹣2）4；（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1＝（x﹣1）4．
【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；
（3）将看作整体进而分解因式即可．
【解答】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故选：C；
（2）这个结果没有分解到最后，
原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；
故答案为：否，（x﹣2）4；
（3）设为x2﹣2x＝t,
则原式=t（t+2）+1
=t2+2t+1
=（t+1）2
=（x2﹣2x+1）2
=（x﹣1）4.
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式分解因式是解题关键，注意分解因式要彻底．
21．阅读下列材料，完成相应任务：
卢卡斯数列

法国数学家爱德华·卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．
“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第个数可以表示为，其中．
（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．）
任务：
（1）卢卡斯数列中的第1个数________，第2个数________；
（2）求卢卡斯数列中的第3个数；
（3）卢卡斯数列有一个重要特征：当时，满足．请根据这一规律直接写出卢卡斯数列中的第5个数：________．
【答案】（1）2；1；（2）3；（3）7．
【分析】（1）分别把n=1、n=2代入式子化简求得答案即可；
（2）分别把n=3代入式子化简求得答案即可；
（3）根据卢卡斯数列的重要特征，分别写出、、即可．
【解答】（1）当时，，
当时，，
故答案为：2；1；
（2）


；
（3）根据卢卡斯数列的重要特征：当时，满足，
，
，
，
故答案为：7．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．
22．阅读：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位，用实数加法表示为3+(-2)=1．若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}．解决问题：
（1）计算：，
（2）动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C．再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置还是点B．请你在图1中画出四边形OABC；
（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P(2,3)，再从码头P航行到码头Q(5,5)，最后回到出发点O．请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．

【答案】（1）；（2）图见解析；（3）．
【分析】（1）根据“平移量”的加法法则即可得；
（2）先根据“平移量”的定义得出点的坐标，再描点、顺次连接点即可得；
（3）先分别求出点O到点P的“平移量”、点P到点Q的“平移量”、点Q到点O的“平移量”，再根据“平移量”的加法法则即可得．
【解答】（1）原式，
；
（2）点O的坐标为，
，即，
，即，
，即，
先描点，再顺次连接点即可得到四边形OABC，如图1所示：

（3）由题意得：从点O出发，先向右平移2个单位，再向上平移3个单位即到达点P，
则点O到点P的“平移量”为，
同理可得：点P到点Q的“平移量”为，即，
点Q到点O的“平移量”为，
因此有．
【点评】本题考查了平移，理解“平移量”的定义和加法运算法则是解题关键．
23．先阅读理解下列例题：
例题：解一元二次不等式
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得有：①或 ②
解不等式组①得；解不等式组②得
∴一元二次不等式的解集是或
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集．
【答案】（1）或；（2）
【分析】（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”得出两个不等式组，然后求出每个不等式组的解集，进而可得答案；
（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正” 得出两个不等式组，然后求出每个不等式组的解集，进而可得答案．
【解答】解：（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”可得：
①或②，
解不等式组①，得；
解不等式组②，得；
∴不等式的解集是或；
（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”可得：
①或②，
解不等式组①，得；
解不等式组②，无解；
故不等式的解集为．
【点评】本题是阅读理解题，主要考查了一元一次不等式组的解法和有理数乘除法则的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键．
24．先阅读下列一段文字，再回答问题．
已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，这两点的距离P1P2．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知点A(2，4)，B(﹣3，﹣8)，试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为﹣1，A，B两点间的距离等于6．试求点A的纵坐标；
（3）已知一个三角形各顶点的坐标分别为A(﹣3，﹣2)，B(3，6)，C(7，﹣2)，你能判断三角形ABC的形状吗？说明理由．
【答案】（1）13；（2）﹣7或5；（3）△ABC为等腰三角形，理由见解析．
【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可．
（2）根据与y轴平行的线段的特点以及两点间距离公式求解即可．
（3）根据两点间距离公式求该三角形的各边长，从而进行判断即可．
【解答】（1）∵点，，
∴；
（2）∵点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为﹣1，A，B两点间的距离等于6，
∴点A的纵坐标为﹣1﹣6=﹣7或﹣1+6=5；
（3）∵，
，
，
∴△ABC为等腰三角形．
【点评】本题考查了两点间的距离公式问题，掌握两点间距离公式、等腰三角形的性质是解题的关键．