四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期开学考试理科数学试题

成都石室中学2023-2024年度上期高2024届入学考试

数学试题（理 ）参考答案

一、       选择题

二、       填空题

13. ;    14. ;   15. ;  16. .

三、       解答题

17．解：（1）

，又因为，

所以是首项为2，公比为2的等比数列. ．．．．．．．．．．．．．5分

（2）

 满足上式.   

. ．．．．．．．．．．．．．12分

18．解：（1）因为平面平面，且平面平面，平面，，所以平面，所以．

因为，，，所以，故． 

又，所以平面．

因为平面，所以，平面平面．      (6分)

（2）在线段上取点，使，则，因为平面平面，且平面平面，平面，

所以平面．              

所以，可以建立如图所示空间直角坐标系，其中轴．

则，，，，

所以，，．      

设平面的法向量为，

则即

令得，，

所以平面的一个法向量为．(9分)

设平面的法向量为，

则即

令得，，

所以平面的一个法向量为．        

，(11分)

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．    (12分)

19．解： （1）由 ，得，设中位数为，由 ，解得，由频率分布直方图可知众数为65. ．．．．．3分

（2）从这1000人问卷调查得到的平均值为

因为由于得分服从正态分布，所以 .．．．．．．．．．．．．．7分

（3）设得分不低于分的概率为，则，

的取值为10，20，30，40，

， ，

， ，

所以的分布列为：

所以.．．．．．．．．．．．．．12分

20．解：（1）依题意得，则，.

于是，从而. 又，解得

所以椭圆的方程为. ．．．．．．．．．．．．．3分

（2）如图，设直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，

由，故，由椭圆对称性，，且四边形为平行四边形. ．．．．．．．．．．．．．5分

由题意直线的斜率不为0，设直线：，

由，消去整理得，

设，，则，，

由（*）带入上式，解得：

故，故的斜率为1. ．．．．．．．．．．．．．8分

由，消去整理得，由得.

所以，

与间的距离（即点到的距离），

故，

令，则，

所以四边形的面积的取值范围为. ．．．．．．．．．．．．．12分

21．解：（1）考虑函数，易知在上单调递增，且，．因此有且只有使得，即的图象与直线有且只有一个公共点，且该公共点的横坐标为．   …………3分

（2）．设是的图象上一点，则该点处的切线为，整理得．令，解得或．因此与与函数的图象相切．因此所求实数的值为或． …………7分

（3）设，则．设，则．当时，；当时，．因此在上单调递增，在上单调递减．从而在上单调递增，上单调递减．注意到，故当时，当时，因此在上单调递减，在上单调递增．所以当时，．另一方面，注意到，故必然存在，使得，且当时，当时．因此在上单调递减，在上单调递增．显然，而．因此当时，．综上可知当时，即，当且仅当时等号成立．由于，故当，即时，，当且仅当，即时等号成立．因此，当且仅当时等号成立．因此的最大值为． …………12分

22．解：（1），故，；               ……5分

（2）曲线，直线，分别代入，得

，，由知，即

，即，

故即.                                              ……10分