2023-2024学年重庆市巴南区科学城中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市巴南区科学城中学九年级（上）开学数学试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年重庆市巴南区科学城中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
2. 要从y=43x的图象得到直线y=4x+23，就要将直线y=43x(    )
A. 向上平移23个单位 B. 向下平移23个单位 C. 向上平移2个单位 D. 向下平移2个单位
3. 如图，在△ABC中，D是AB边上一点，过点D作DE//BC交AC于点E，若AD：DB=3：1，则S△ADE：S△ABC的值为(    )
A. 37
B. 34
C. 169
D. 916
4. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A1B1C，此时使点A的对应点A1恰好在AB边上，点B的对应点为B1，A1B1与BC交于点E，则下列结论一定正确的是(    )
A. AB=EB1
B. CA1=A1B
C. A1B1⊥BC
D. ∠CA1A=∠CA1B1
5. 如图，△ABC内接于⊙O，E是BC的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC=70°，则∠OEB的度数为(    )
A. 70°
B. 65°
C. 60°
D. 55°
6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在BD上取一点E，使得AE=BE，AB=10，AC=12，则BE长为(    )
A. 254
B. 252
C. 253
D. 214
7. 如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上一点，BD垂直平分OE交⊙O于点D，过点D的切线与BE的延长线交于点C.若CD= 3，则AB的长为(    )
A. 4
B. 2
C. 4 3
D. 2 3
8. 如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=acx+b的图象可能是(    )
A. B.
C. D.
9. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，若−20，③b2>a+c+4ac，④a>b>c，⑤a(m+1)(m−1)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：|1−2|+|2−3|+|1−3|=4．
①对−2，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35；
②x，−52，5的“差绝对值运算”的最小值是152；
③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种；
以上说法中正确的个数为(    )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 若函数y= x−4x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ ．
12. 把一个正五边形绕着它的中心旋转，至少旋转______ 度，才能与原来的图形重合．
13. 如图，直线AD，BC交于点O，AB//EF//CD，若AO=2，OF=1，FD=2，则BEEC的值为______ ．


14. 有四张除数字外其它完全一样的卡片，正面写有数字0，−1，2，−3.把它们全部背面朝上，抽出一张记为数m作为点A的横坐标，不放回，再抽一张记为数n作为点A的纵坐标.则点A(m,n)在第四象限内的概率为        ．
15. 如图，Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=BC=3，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′B′C′.当点C′恰好落在斜边AB上时图中阴影部分的面积为______ ．


16. 在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、AD边上，连接DE、EF，DE=EF，DG⊥EF交AB于点G，H为垂足，GH=2，DH=4，则线段HE的长度为______ ．


17. 若整数a使得关于x的分式方程16x(x−4)+2x=ax−4有正整数解，且使得关于y的不等式组y+12−y−13>11−y2≥3−a有解，那么符合条件的所有整数a的和为______ ．
18. 一个两位正整数，将其个位与十位上的数交换位置后，放在原数的后面组成一个四位数m，那么我们把这个四位数称为“顺利数”，并规定F(m)为交换位置后组成的两位数与原两位数的平方差.例如：将27交换位置后为72，则2772是一个“顺利数”，且F(2772)=722−272=4455，若四位正整数n，n的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，其中a，b，c，d为整数，1≤a，b，c，d≤9，且c 三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
计算：
(1)计算：(−12)2+2−2−(2−π)0+|3− 3|；
(2)(2x−1)(2x−3)−(1−2x)(2−x)．
20. (本小题6.0分)
先化简再求值；a2a2−1÷(2a−1a−1+a−1)，其中a是整数，且满足−2 21. (本小题10.0分)
为进一步提高学生的上机操作能力，某校在微机室内开展了计算机打字比赛.现从七、八年级中各随机抽取20名学生的比赛成绩进行整理和分析，成绩用x(x为每分钟打字个数)表示，共分五个等级.A(x<60)，B(60≤x<70)，C(70≤x<80)，D(80≤x<90)，E(90≤x≤100)．
七年级抽取的20名学生的成绩分别是：79，87，71，84，75，79，88，71，76，91，76，79，83，71，75，79，87，63，84，80
八年级抽取的学生在D等级的成绩分别是：89，82，82，84，80，84，81，82，82，83，81
抽取的七、八年级学生打字成绩统计表

平均数
中位数
众数
七年级
78.9
79
b
八年级
79
a
82
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请补全条形统计图，并直接写出a，b的值；
(2)根据以上数据分析，你认为哪个年级的学生上机操作能力更好，并说明理由(写出一条理由即可)；
(3)已知该校七、八年级各有600名学生参与了计算机打字比赛，请估计两个年级打字成绩优秀的学生共有多少人(成绩≥80的为优秀)？

22. (本小题10.0分)
周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体.若两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地(整个过程不休息)，据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．
23. (本小题10.0分)
如图，直线l1：y=x+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线l1交于点E(−2,2)，AO=2OD．
(1)求直线CD的解析式；
(2)直线AB上是否存在点Q，使得S△QCD=32S△BCE？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

24. (本小题10.0分)
如图，∠BAM+∠ABN=180°．
(1)用尺规完成基本作图：作∠BAM的角平分线AC交BN于点C，在射线AM上截取AD=AB，连接CD.(保留作图痕迹，不写作法、不下结论)．
(2)求证：四边形ABCD为菱形．(请补全下面的证明过程)
证明：∵∠BAM+∠ABN=180°
∴AM//______
∴∠DAC=∠BCA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠BAC
∴∠BAC=______
∴AB=BC
∴AD=AB
∴______=AD
∵BC//AD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB=BC
∴平行四边形ABCD是菱形(______)(填推理依据)．

25. (本小题10.0分)
如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，点D为BC中点，点P从点D出发，沿D→C→A方向以每秒1cm的速度匀速运动到点A.设点P的运动时间为x秒，△ADP的面积为y cm2．
根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化规律进行探究．

(1)直接写出y与x的函数关系式，注明x的取值范围，并画出y的函数图象；
(2)观察y的函数图象，写出一条该函数的性质；
(3)观察图象，直接写出当y=AD时，x的值______ .(保留1位小数，误差不超过0.2)
26. (本小题10.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，点B的坐标为( 2,0)，抛物线与y轴交于点C，对称轴为直线x=−3 22，连接AC，过点B作BE//AC交抛物线于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是线段AC下方抛物线上的一个动点，过点P作PF//y轴交直线BE于点F，过点F作FD⊥AC交直线AC于点D，连接PD，求△FDP面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)在第(2)小问的条件下，将原抛物线沿着射线CB方向平移，平移后的抛物线过点B，点M在平移后抛物线的对称轴上，点T是平面内任意一点，是否存在以B、P、M、T为顶点的四边形是以BP为边的菱形，若存在，直接写出点T的坐标，若不存在，请说明理由．


27. (本小题10.0分)
如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC且∠ACB=90°，D为AB上一动点，连接CD，把CD绕点D旋转90°得到ED，连接CE；
(1)如图1，CE交AB于点Q，若BC=6 2，DQ=5，求AQ的长；
(2)如图2，连接BE、AE，点F为BE中点，求证：AE=2DF；
(3)如图3，连接BE，以BE为斜边在BE右侧作以点H为直角顶点的等腰Rt△HEB，点Q为BC上一点且CQ=3BQ，点N为AB上一动点，把△BQN沿着QN翻折到△BQN的同一平面得△MQN，连接HM，若AC=4，当HM取最小值时，请直接写出S△HMN的值．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：A、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
2.【答案】A 
【解析】解：新直线解析式为：y=43x+23，
∵原直线解析式为y=43x，
∴是向上平移23个单位得到的，
故选：A．
把新直线解析式整理得：y=43x+23，比例系数不变，只常数项改变，那么是进行了上下平移．原来直线解析式的常数项是0，从0到23，是向上平移23个单位．
用到的知识点为：两个直线解析式的比例系数相同，这两条直线平行，可通过上下平移得到；上下平移直线解析式，看常数项是如何平移的即可，上加，下减．
3.【答案】D 
【解析】解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：DB=3：1，
∴AD：AB=3：4，
∴S△ADE：S△ABC=(ADAB)2=916．
故选：D．
由题意易得AD：DB=3：1，△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质可求解．
本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
4.【答案】D 
【解析】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A1B1C，
∴AB=A1B1，B1C=BC，不能得到AB=B1E，故选项A不合题意；
CA1=CA，不能得到CA1=A1B，故选项B不合题意；
∵旋转角∠ACA1不一定等于∠A，
∴∠BCB1不一定等于∠A，
∴∠BCB1+∠B1不一定等于90°，故选项C不合题意；
∵CA1=CA，
∴∠A=∠CA1A，
由旋转可得∠A=∠CA1B1，
∴∠CA1A=∠CA1B1，故选项D符合题意．
故选：D．
根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键．
5.【答案】D 
【解析】解：连接OB、OC，则∠BOC=2∠BAC=140°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=20°，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴EBC=∠EAC=∠EAB=12∠BAC=35°，
∴∠OBE=∠OBC+∠EBC=55°，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE=55°，
故选：D．
连接OB、OC，则∠BOC=2∠BAC=140°，可得∠OBC=20°，再证EBC=∠EAC=∠EAB=12∠BAC=35°，由三角形内角和定理求∠OEB即可．
本题主要考查了圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
6.【答案】A 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO=6，
∴BO= AB2−AO2=8，
∵AE2=AO2+EO2，AE=BE，
∴BE2=36+(8−BE)2，
∴BE=254，
故选：A．
由菱形的性质可得AC⊥BD，AO=CO=6，由勾股定理可求BO的长，BE的长．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
7.【答案】A 
【解析】解：连接OD、AD，
∵DC是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∵BD垂直平分OE交⊙O于点D，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC，OB=BE，
∵∠ABD=12∠AOD，OB=OE，
∴∠ABC=∠AOD，△OBE是等边三角形，
∴OD//BC，∠OBE=60°，
∴BC⊥CD，∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°=∠DCB，
∴△ABD∽△DBC，
∴ABBD=ADDC，
设AD=x，则AB=2x，BD= AB2−AD2= 3x，
∴2x 3x=x 3，
∴x=2，
∴AB=2x=4，
故选：A．
连接OD、AD，证明△ABD∽△DBC得ABBD=ADDC，设AD=x，则AB=2x，BD= AB2−AD2= 3x，计算即可．
本题主要考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定性质、切线的性质，熟练掌握行管知识点是解决本题的关键．
8.【答案】B 
【解析】解：A、由抛物线可知，a>0，b<0，c<0，则ac<0，由直线可知，ac>0，b>0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a>0，b>0，c>0，则ac>0，由直线可知，ac>0，b>0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a<0，b>0，c>0，则ac<0，由直线可知，ac<0，b<0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a<0，b<0，c>0，则ac<0，由直线可知，ac>0，b>0，故本选项不合题意．
故选：B．
先由二次函数y=ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=acx+b的图象相比较看是否一致．
本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
9.【答案】C 
【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且−2 ∴3 ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，
∴其对称轴为直线x=1，即−b2a=1，
∴b=−2a，
∴3a+2b=3a−4a=−a．
由图象可知该抛物线开口向上，
∴a>0，
∴3a+2b=−a<0，故②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ=b2−4ac>0．
由图象结合题意可知当x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，
∴a+c ∵a>0，
∴b=−2a<0，
∴a+c<0，
∴b2−4ac>a+c，即b2>a+c+4ac，故③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴a>0，c<0，
∴a>c，
由③可知a−b+c<0，b=−2a，
∴3a+c<0，
∴c<−3a，
∴b>c，
∴a>b>c，故④正确；
由图象可知当x=1时，y有最小值，且为a+b+c．
∵a(m+1)(m−1)−b(1−m)=am2+bm−a−b=am2+bm+c−(a+b+c)，
又∵对于任意实数m，都有ym≥y1=a+b+c，
∴am2+bm+c−(a+b+c)≥0，即a(m+1)(m−1)−b(1−m)≥0，
∴a(m+1)(m−1)≥b(1−m)，故⑤错误．
故选：C．
根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点和x=−1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a−b+c<0，即可判断④；根据图象可判断当x=1时，y有最小值，且为a+b+c.又可求出a(m+1)(m−1)−b(1−m)=am2+bm+c−(a+b+c)，结合对于任意实数m，都有ym≥y1=a+b+c，即可得出a(m+1)(m−1)−b(1−m)≥0，即可判断⑤．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握数形结合思想的应用，二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性是解题的关键．
10.【答案】B 
【解析】解：①对−2，3，5，9进行“差绝对值运算”得：|−2−3|+|−2−5|+|−2−9|+|3−5|+|3−9|+|5−9|=5+7+11+2+6+4=35，
故①正确；
②对x，−52，5进行“差绝对值运算”得：|x+52|+|x−5|+|−52−5|=|x+52|+|x−5|+152，
∵|x+52|+|x−5|表示的是数轴上点x到−52和5的距离之和，
∴|x+52|+|x−5|的最小值为52+5=152，
∴x，−52，5的“差绝对值运算”的最小值是：152+152=15，故②不正确；
对a，b，c进行“差绝对值运算”得：|a−b|+|a−c|+|b−c|，
当a−b≥0，a−c≥0，b−c≥0，|a−b|+|a−c|+|b−c|=a−b+a−c+b−c=2a−2c；
当a−b≥0，a−c≥0，b−c≤0，|a−b|+|a−c|+|b−c|=a−b+a−c−b+c=2a−2b；
当a−b≥0，a−c≤0，b−c≥0，|a−b|+|a−c|+|b−c|=a−b−a+c+b−c=0；
当a−b≥0，a−c≤0，b−c≤0，|a−b|+|a−c|+|b−c|=a−b−a+c−b+c=2c−2b；
当a−b≤0，a−c≤0，b−c≤0，|a−b|+|a−c|+|b−c|=−a+b−a+c−b+c=−2a+2c；
当a−b≤0，a−c≥0，b−c≥0，|a−b|+|a−c|+|b−c|=−a+b+a−c+b−c=2b−2c；
当a−b≤0，a−c≥0，b−c≤0，|a−b|+|a−c|+|b−c|=−a+b+a−c−b+c=0；
当a−b≤0，a−c≤0，b−c≥0，|a−b|+|a−c|+|b−c|=−a+b−a+c+b−c=−2a+2b；
a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种，
故③不正确，
综上，故只有1个正确的．
故选：B．
①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；
②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；
③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定．
本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键．
11.【答案】x≥4 
【解析】解：由题意得：x−4≥0且x−3≠0，
解得：x≥4且x≠3，
∴x≥4，
故答案为：x≥4．
根据二次根式 a(a≥0)以及分母不为0可得x−4≥0且x−3≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式 a(a≥0)以及分母不为0是解题的关键．
12.【答案】72 
【解析】【分析】
本题考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键，旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
根据旋转的性质，最小旋转角即为正五边形的中心角．
【解答】
解：∵正五边形被半径分为5个全等的三角形，且每个三角形的顶角为72°，
正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是72°．
故答案为：72．
13.【答案】32 
【解析】解：∵AO=2，OF=1，
∴AF=AO+OF=2+1=3，
∵AB//EF//CD，
∴BEEC=AFFD=32，
故答案为：32．
根据题意求出AF，再根据平行线分线段成比例定理计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
14.【答案】16 
【解析】解：列表如下：

0
−1
2
−3
0

(−1,0)
(2,0)
(−3,0)
−1
(0,−1)

(2,−1)
(−3,−1)
2
(0,2)
(−1,2)

(−3,2)
−3
(0,−3)
(−1,−3)
(2,−3)

由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中点A(m,n)在第四象限内的结果数有2种，
∴点A(m,n)在第四象限内的概率为212=16，
故答案为：16．
先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到点A(m,n)在第四象限内的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．
15.【答案】9π8 
【解析】解：∵△ABC中，∠ACB=90°
∴AB=3 2，
∵将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，
∴△ABC≌△A′BC′，
∴∠ABA′=45°=∠CBC′，
∴S阴影=S扇形ABA′+S△ABC−S扇形CBC′−S△A′BC′
45π×(3 2)2360+12×3×3−45π×32360−12×3×3
=9π8．
故答案为：9π8．
由将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，可得△ABC≌△A′BC′，由题给图可知：S阴影=S扇形ABA′+S△ABC−S扇形CBC′−S△A′BC′可得出阴影部分面积．
本题主要考查了图形的旋转，不规则图形的面积计算，扇形的面积，发现阴影部分面积的计算方法是解题的关键．
16.【答案】2 5 
【解析】解：∵DE=EF，
∴∠EDF=∠EFD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，∠A=90°，
∴∠EDF=∠DEC，
∴∠EFD=∠DEC，
∵DG⊥EF，
∴∠DHF=90°，
∴∠EFD+∠FDH=90°，
∵∠A=90°，
∴∠DGA+∠FDH=90°，
∴∠DGA=∠EFD，
∴∠DGA=∠DEC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=90°，AD=CD，
在△ADG和△CDE中，
∠A=∠C∠DGA=∠DECAD=CD，
∴△ADG≌△CDE(AAS)，
∴DE=DG=GH+DH=2+4=6，
∵DG⊥EF，
∴∠DHE=90°，
∴HE= DE2−DH2= 62−42= 20=2 5，
故答案为：2 5．
先根据等边对等角得到∠EDF=∠EFD，再根据正方形的性质、同角的余角相等证出∠DGA=∠DEC，从而利用AAS证得△ADG和△CDE全等，得出DE的长，在Rt△DHE中根据勾股定理即可求出HE的长．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，等边对等角，同角的余角相等，掌握这些性质是解题的关键．
17.【答案】16 
【解析】解：解分式方程16x(x−4)+2x=ax−4得：x=8a−2，
∵分式方程的解为正整数解，
∴a−2=1或2或4或8，
又∵x≠4且x≠0，
∴a≠4，
∴a=3或6或10，
∵关于y的不等式组y+12−y−13>11−y2≥3−a有解，
∴2a−5>1，
解得：a>3，
综上，符合题意的整数a的值有6，10，符合条件的所有整数a的和为16．
故答案为：16．
根据分式方程的解为正整数解，求得a=4或6或10，根据关于y的不等式组有解，解得：α>3，所以符合题意的整数α的值有6，10，即和为16．
本题考查了解一元一次不等式组、分式方程的解，有难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
18.【答案】9  5438 
【解析】解：由题意知，
F(s)=(10d+c)2−(10c+d)2=1001a+110b，
整理得，9a2−9c2=91a+10b，
即a+b=9(d2−c2−10a−b)，
又1≤a，b，c，d≤9，得2≤a+b≤18，
得a+b=9．
由a+b=9(d2−c2−10a−b)，得9a+10=d2−c2=(d+c)(d−c)；
1≤a，b，c，d≤9，且c 分类讨论：
根据a为千位数字，a+b=9，可知b越小，a越大，n越大，
当a=9时9a+10=91，不符合题意；当a=8时9a+10=82，不符合题意；
当a=7时9a+10=73，不能分成(d+c)(d−c)，不符合题意；
当a=6时9a+10=64=4×16，d+c=16d−c=4，解得d=10c=6，不符合题意；
当a=5时，9a+10=55d+c=11d−c=5，解得，d=8c=3，符合题意；
则当n为5438时，是满足条件的最大值．
由题意知，F(s)=(10d+c)2−(10c+d)2=1001a+110b，a+b=9(d2−c2−10a−b)，整理成倍数的情况，又根据题目中的取值范围，得a+b=9，3≤d2−c2≤80.分类讨论：根据a为千位数字，a+b=9，可知b越小，a越大，n越大，当a=9时9a+10=91，不符合题意；以此类推，当a=5时，利用二元一次方程组进行解答，符合题意；进而作答即可．
本题考查因式分解的应用，两整数的平方差利用二元一次方程组进行计算，分类讨论思想的应用；解题的关键是整理出取值范围并某个整数的倍数的关系，分类讨论时根据题意从大到小讨论减少计算的步骤．
19.【答案】解：(1)原式=14+14−1+3− 3
=12+2− 3
=52− 3；
(2)原式=4x2−6x−2x+3−(2−x−4x+2x2)
=4x2−8x+3−2+5x−2x2
=2x2−3x+1． 
【解析】(1)根据绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂进行计算即可；
(2)利用多项式乘以多项式法则进行计算即可．
本题考查实数及整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：a2a2−1÷(2a−1a−1+a−1)
=a2(a+1)(a−1)÷2a−1+(a−1)2a−1
=a2(a+1)(a−1)÷2a−1+a2−2a+1a−1
=a2(a+1)(a−1)÷a2a−1
=a2(a+1)(a−1)⋅a−1a2
=1a+1，
∵a是整数，且满足−2 ∴a为−1，0，1，2，
要使分式a2a2−1÷(2a−1a−1+a−1)有意义，必须a+1≠0，a−1≠0，2a−1≠0，a2≠0，
所以a不能为−1，1，12，0，
所以取a=2，
当a=2时，原式=12+1=13． 
【解析】先根据分式的加减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出a不能为−1，1，12，0，取a=2，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
21.【答案】解：(1)八年级C等级人数为：20−1−0−11−2=6(人)
补全条形统计图如图：

七年级20名学生的成绩7(9分)人数由4人，人数最多，
∴七年级学生打字成绩众数b=79，
因为八年级抽取的20名学生的打字成绩从小到大排在中间的两个数分别是81，82，
∴八年级学生打字成绩中位数a=81+822=81.5；
(2)八年级的学生上机操作能力更好，理由：八年级的平均成绩好于七年级，中位数也大于七年级，众数也大于七年级，故八年级的学生上机操作能力更好；
(3)600×820+600×1320=630(人)，
答：两个年级打字成绩优秀的学生共有630人． 
【解析】(1)根据总人数是20人，可得C等级的人数为：20−1−0−11−2=6(人)，从而补全条形统计图，然后根据中位数和众数的定义求出a、b的值；
(2)根据表格中的数据，可以得到哪个年级的学生上机操作能力更好，并说明理由；
(3)用样本估计总体可得结果．
本题考查用样本估计总体、统计图、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：(1)设小红跑步速度是x m/min，则小明跑步速度是1.2x m/min，
根据题意得：12000x−120001.2x=5，
解得：x=400，
经检验，x=400是所列方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×400=480．
答：小明跑步速度是480m/min，小红跑步速度是400m/min；
(2)设小明从A地到C地锻炼共用y分钟，
根据题意得：10×30+(10+y−30)(y−30)=2300，
整理得：y2−50y−1400=0，
解得：y1=−20(不符合题意，舍去)，y2=70．
答：小明从A地到C地锻炼共用70分钟． 
【解析】(1)设小红跑步速度是x m/min，则小明跑步速度是1.2x m/min，利用时间=路程÷速度，结合小明比小红早5分钟到达B地，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出小红跑步的速度，再将其代入1.2x中，即可求出小明跑步的速度；
(2)设小明从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量”，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.【答案】解：(1)∵直线l1：y=x+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，
∴A(0,4)，B(−4,0)，
∴OA=OB=4，
∵AO=2OD，
∴D(0,−2)，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把E、D的坐标代入得−2k+b=2b=−2，
解得k=−2b=−2，
∴直线CD的解析式为y=−2x−2；
(2)存在，
令y=0，则−2x−2=0，
解得x=−1，
∴C(−1,0)，
∴BC=3，
∴S△BCE=12×3×2=3，
∵S△QCD=32S△BCE，
∴S△QCD=92，
∵CD= 12+22= 5，CE= (−2+1)2+22= 5，
∴CD=CE，
∴S△QCE=S△QCD=92，
设Q(m,m+4)，
当Q在BC的下方时，S△BCQ=12×3×(−m−4)=32，
∴m=−5，
∴此时Q(−5,−1)；
当Q在BC的上方时，S△BCQ=12×3×(m+4)=152，
∴m=1，
∴此时Q(1,5)；
综上，点Q的坐标为(−5,−1)或(1,5)． 
【解析】(1)由直线l1的解析式求得A、B的坐标，进而求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线CD的解析式；
(2)首先证得CD=CE，即可得到S△QCD=32S△BCE=92，设Q(m,m+4)，分两种情况根据题意列出关于m的方程，解方程即可求得Q的坐标．
本题是两条直线相交或平行问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标以及分类讨论思想的运用是解题的关键．
24.【答案】BN  ∠BCA  BC  一组邻边相等的平行四边形是菱形 
【解析】(1)解：如图，AC，CD即为所求；

(2)证明：∵∠BAM+∠ABN=180°
∴AM//BN，
∴∠DAC=∠BCA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠BAC
∴∠BAC=∠BCA
∴AB=BC
∴AD=AB
∴BC=AD
∵BC//AD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB=BC
∴平行四边形ABCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)
故答案为：BN，∠BCA，BC，一组邻边相等的平行四边形是菱形．
(1)根据角平分线的作法即可完成作图；
(2)结合(1)根据菱形的判定即可完成证明．
本题考查了作图−基本作图，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，解决本题的关键是掌握菱形的判定定理．
25.【答案】2或4.7 
【解析】解：(1)∵AB=AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，DC=12BC=3cm，
在Rt△ACD中，
∵AC=5cm，DC=3cm，
∴AD= AC2−CD2= 52−32=4cm，
∵点P以每秒1cm的速度匀速运动到点A，运动时间为x秒，
∴点P运动的路程为x cm，
①当点P在DC上，即当0≤x≤3时，
∵DP=x cm，
∴y=12AD⋅DP=12×4x=2x，
②当点P在CA上时，即当3
AP=DC+CA−x=3+5−x=8−x(cm)，
过点P作PE⊥AD于点E，
∵DC⊥AD，
∴PE//DC，
∴△APE∽△ACD，
∴PECD=APAC，
即PE3=8−x5，
∴PE=−35x+243，
∴y=12AD⋅PE=12×4×(−35x+245)=−65x+485，
∴y与x的函数关系式为：y=2x,0≤x≤3,−65x+485,3 列表如下：
x
0
3
8
y
0
6
0
函数图象如下：

(2)答案不唯一，比如：
①当0 ②当3 (只要写出一条即可)；
(3)∵AD=4，
∴直线y=4时，与图象交点的横坐标就是要求的x的值，
观察图象，当y=AD时，x=2或4.7．
故答案为：2或4.7.(答案不唯一，只要误差不超过0.2均可)．
(1)分点P在DC上和CA上分别讨论即可；
(2)从函数的某一方面性质，比如增减性写出一条即可；
(3)根据函数图象，利用关系y=AD，由图象找出x的对应值即可．
本题考查研究函数的一般方法，解题涉及分段函数，一次函数，掌握研究函数的一般方法是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵点B的坐标为( 2,0)，抛物线的对称轴为直线−3 22，则点A(−4 2,0)，
设抛物线的表达式为：y=a(x+4 2)(x− 2)，
即y=a(x2+3 2x−8)=ax2+3 2ax−8a，
即−8a=−2 2，
解得：a= 24，
故抛物线的表达式为：y= 24x2+32x−2 2；

(2)由点A、B、C的坐标知，AB2=50，AC2=40，BC2=10，
则△ABC为直角三角形且∠ACB为直角，
∵FD⊥AC，∠ACB为直角，则DF//BC，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=−12x−2 2①，
同理可得：直线BE的表达式为：y=−12x+ 22，直线BC的表达式为：y=2(x− 2)，
设点F(m,−12m+ 22)，则点P(m, 24m2+32m−2 2)，
∵DF//BC，
则直线DF的表达式为：y=2(x−m)−12m+ 22②，
联立①②得：−12x−2 2=2(x−m)−12m+ 22，
解得：x=m− 2−xD，
则△FDP面积=12⋅FP×(xF−xD)
=12×(−12m+ 22− 24m2−32m+2 2)×(m−m+ 2)
=−14m2− 2m+52，
∵−14<0，故△FDP面积有最大值，最大值为92，
此时，m=−2 2，点P(−2 2,−3 2)；

(3)存在，理由：
y= 24x2+32x−2 2= 24(x+3 22)2−25 28，
设抛物线沿CB向右t个单位，则向上平移2t个单位，
则平移后的抛物线表达式为：y= 24(x+3 22−t)2−25 28+2t，
将点B的坐标代入上式得：0= 24(x+3 22−t)2−25 28+2t，
解得：t= 2，
则新抛物线的对称轴为−3 22+ 2=− 22，
则设点M(− 22,m)，点T(s,t)，
由点P、B的坐标得，PB= ( 2+2 2)2+(3 2)2=6，
当PB为菱形的边时，则PB=PM，
即(− 22+2 2)2+(m+3 2)2=62，
解得：m=−6 2+3 142或−6 2+3 142，
即点M的坐标为(− 22,−6 2+3 142)或(− 22,−6 2+3 142)，
当PB为菱形的边时，BM的中点即为PT的中点，
由中点坐标公式得：−2 2+s= 2− 22−3 2+t=m，
则点T的坐标为(5 22,−3 142)或(5 22,3 142). 
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)求出点D的横坐标，利用△FDP面积=12×FP×(xF−xD)，即可求解；
(3)设抛物线沿CB向右t个单位，则向上平移2t个单位，则平移后的抛物线表达式为：y= 24(x+3 22−t)2−25 28+2t，求出t= 2，再利用菱形的性质即可求解．
题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、直线与抛物线围成的图形的面积、菱形的性质等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
27.【答案】(1)解：如图所示，将CQ绕点C顺时针旋转90°，得到CP，连接PB，PD，

∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ACQ=∠BCP，∠A=∠ABC=45°，
∴△ACQ≌△BCP(SAS)，
∴AQ=PB，∠A=∠CBP=45°，
∴∠DPB=90°，
∴△DBP是直角三角形，
∵把CD绕点D旋转90°得到ED，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠QCD=45°，∠ACQ+∠DCB=∠DCB+∠BCP=∠DCP=45°=∠QCD，
在△QCD和△PCD中，
QC=PC∠QCD=∠PCDCD=CD，
∴△QCD≌△PCD(SAS)，
∴QD=PD，
∵BC=6 2，DQ=5，
∴AB= 2BC=12，
设AQ=x，则BD=12−5−x=7−x，
在Rt△DBP中，DP2=DB2+PB2，
即52=x2+(7−x)2，
解得：x1=3，x2=4，
∴AQ=3或4；
(2)证明：如图所示，

延长ED至G，使得DG=ED，连接GC，GB，
则△ECG是等腰直角三角形，则CG=CE，
∵∠CDE=90°，
∴∠DCG=45°，
又∵AC=CB，∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠DCB=∠BCG+∠DCB=45°，
∴∠ACE=∠BCG，
∴△AEC≌△BGC(SAS)，
∴AE=BG，
∵F是EB的中点，D是EG的中点，
∴DF=12BG=12AE，
即AE=2DF；
(3)解：如图所示，连接AE，过点C作CK⊥AB于点K，

∵△ABC，△CDE都是等腰直角三角形，
∴CKAC=DCAE=1 2，
又∵∠ACK−∠ECK=∠ECD−∠ECK，
∴∠ACE=∠KCD，
∴△ACE∽△KCD，
∴∠EAC=∠DKC=90°，
∴EA⊥AC，
∴EA//BC，
过点B作BT⊥BC交AE的延长于点T，则E在直线AT上运动，
则四边形ACBT是正方形，
∴BT=AC，△ABT是等腰直角三角形，
∵△EBH是等腰直角三角形，
∴ABTB=EBBH= 2，
又∵∠ABE+∠EBT=∠EBT+∠TBH=45°，
∴∠ABE=∠TBH，
∴△ABE∽△TBH，
∴∠EAB=∠HTB=45°，
∴TS//AB，
延长TH交CB的延长线于点S，则△TSB是等腰直角三角形，
则H在ST上运动，
∴TB=BS=AC=4，
∵CQ=3BQ，AC=4，
∴BC=AC=4,QB=14BC=1，
∴AQ=QB+BS=1+4=5，
∵把△BQN沿着QN翻折到△BQN的同一平面得△MQN，
∴QM=QB=1，
∴M在以Q为圆心，1为半径的⊙Q上运动，
当HM取最小值时，H，Q，M三点共线，
又∵H在直线ST上运动，
∴当QH⊥TS时，HM取最小值，
∴HMmin=H′Q−MQ= 22QS−QM=5 22−1．
如图所示，过点Q作QH′⊥TS，设QH交AB于点R，

∵TS//AB，QH⊥TS，
∴QH⊥AB，
∴QR= 22QB= 22，
∴RM=QM−QR=1− 22，
设RN=a，则BN=RB−a=MN=RQ−a，
在Rt△RMN中，RN2+RM2=MN2，
即a2+(1− 22)2=( 22−a)2，
解得：a=1− 22，
∴S△HMN=12RN×MH=12(1− 22)×(5 22−1)=3 22−74．
 
【解析】(1)将CQ绕点C顺时针旋转90°，得到CP，连接PB，PD，得出△ACQ≌△BCP，证明△QCD≌△PCD，在Rt△DBP中，勾股定理建立方程，解方程即可求解；
(2)延长ED至G，使得DG=ED，连接GC，GB，证明AE=BG，DF是△EBG的中位线，即可得证；
(3)连接AE，过点C作CK⊥AB于点K，证明△ACE∽△KCD，过点B作BT⊥BC交AE的延长于点T，则E在直线AT上运动，证明△ABE∽△TBH，延长TH交CB的延长线于点S，则△TSB是等腰直角三角形，则H在ST上运动，把△BQN沿着QN翻折到△BQN的同一平面得△MQN，M在以Q为圆心，1为半径的⊙Q上运动，当HM取最小值时，H，Q，M三点共线，又H在直线ST上运动，当QH⊥TS时，HM取最小值，得出HMmin=H′Q−MQ= 22QS−QM=5 22−1.过点Q作QH′⊥TS，设QH交AB于点R，证明QH⊥AB，得出RM=QM−QR=1− 22，然后根据三角形的面积公式进行计算即可求解．
本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，到圆上一点的最值问题，将动点问题固定下来，然后寻求线段之间的关系是解题的关键．