四川省成都市树德中学2023-2024学年高三上学期开学考试理科数学试题

树德中学高2021级高三上期开学考试数学试题（理）

时间：120分钟  满分：150分  命题人：廖游宇  审题人：唐颖君

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．复数z在复平面内对应的点为，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知向量，，且，则（    ）

A． B． C． D．

4．部分与整体以某种相似方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图①三角形的面积为，则第n个图中阴影部分的面积为（    ）

图①            图②               图③              图④

A. B. C. D.

5．已知矩形ABCD中，，现向矩形ABCD内随机投掷质点P，则满足为锐角的概率是（    ）

A． B． C． D．

6．在如图所示的程序框图中，程序运行的结果S为3840，那么判断框中可以填入的关于k的判断条件是（    ）

A． B． C． D．

7．在2023年成都大运会期间，组委会派遣甲、乙、丙、丁、戍五名志愿者参加A，B，C三个场馆的翻译工作，每人只去1个场馆，每个场馆至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个场馆，则不同的派遣方案共有（    ）

A．24种 B．36种 C．48种 D．64种

8．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．（    ）

A. B. C. D.2

10．已知四面体ABCD满足，，，且该四面体ABCD的外接球的球半径为，四面体的内切球的球半径为，则的值是（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数的图象关于直线对称．若对任意，存在，使成立，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，之间的关系非常密切，号称函数中的双子座，以下说法正确的个数为（    ）

①函数在处的切线与函数在处的切线平行；②方程有两个实数根；③若直线与函数交于点，，与函数交于点，，则．④若，则mn的最小值为．

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题卷相应横线上．

13．设x，y满足约束条件，则的最大值为______．

14．已知函数的定义域为，则函数的定义域是______．

15．已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作y轴的垂线交抛物线C于点N，若，则点F的坐标为______．

16．已知面积为的锐角其内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，则边c的最小值为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题，共60分．

17．某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．

（1）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数；

（2）统计今年以来元月~5月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：

预测该品牌汽车在今年6月份的销售量约为多少万辆？

附：对于一组样本数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，．

18．如图，梯形ABCD中，，E为AD中点，且，，将沿CE翻折到，使得．连接PA，PB．

（1）求证：；

（2）Q为线段PA上一点，若，若二面角Q-BC-A的平面角的余弦值为时，求实数的值．

19．已知数列中，，．且数列是公差为1的等差数列．

（1）求的通项公式；

（2）设______，为数列的前n项和，若对任意，总有恒成立，求实数的取值范围．

从下面三个条件中任选一个补充在题中横线处，并解答问题．

①；②；③．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

20．已知椭圆的离心率为，且经过点．P为椭圆C在第一象限内部分上的一点．

（1）若，，求面积的最大值；

（2）是否存在点P，使得过点P作圆的两条切线，分别交y轴与D，E两点，且．若存在，点求出P的坐标；若不存在，说明理由．

21．已知，是的导函数，其中．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，与x轴负半轴的交点为点P，在点P处的切线方程为．

①求证：对于任意的实数x，都有；

②若关于x的方程有两个实数根，，且，证明：．

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．直角坐标系xOy中，点，动圆．

（1）求动圆圆心C的轨迹； ．

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为：，过点P的直线l与曲线M交于A，B两点，且，求直线l的斜率．

23．已知函数，．

（1）求函数的最小值；

（2）设，，求证：．

树德中学高2021级高三上期开学考试数学试题参考答案（理）

一、选择题：1-5 DACBA   6-10 CBABA   11-12 CC

二、填空题：13．4；14．；15．；16．2

17．解：（1）因为直方图的组距为1，则各组数据的频率即为相应小矩形的高，所以平均数的估计值为万元．

（2）记，，，，，，由散点图可知，5组样本数据呈线性相关关系．

因为，，，，则，，

所以回归直线方程是．

当时，，预计该品牌汽车在今天6月份的销售量约为2万辆．

18．证明：因为．所以．．又，PE，平面PAE．

所以平面PAE．平面ABCE．所以平面平面PAE．

在梯形ABCD中，DE=2，所以AE=2．

所以在四棱锥P-ABCE中，PE=AE=2．

因为．所以为正三角形．

取AE中点O．连接PO，OB，OC．易得，．

由面面垂直的性质可得平面ABCE．

又，，，所以四边形OBCE为正方形，所以．

又．OC、平面POC，所以平面POC．

又平面POC，所以．

（2）解，由（1）知OA、OB、OP两两垂直．以O为坐标原点．以OA，OB，OP所在直线建立如图所示的坐标系，则：，，，，由得．

则，．设平面QBC的法向量，故，，，即．

易知平面ABC的一个法向量为

所以．

解得或（舍）．所以．

19．（1）由，可知．由题设条件可知，所以，当时，，．

当时，满足，故的通项公式为．

（2）选择①，由（1）可知，

所以

，所以．

选择②，由（1）可知，

所以

．

所以．

选择③，由（1）可知，

所以．

所以．

20．（1）由题知解得，，故椭圆C的方程为．

所以点，，．

设点，则

所以．

（2）设点，，，

则直线PD的方程为，即，因为圆心到直线PD的距离为1，即，

即，即，

同理．由此可知，m，n为方程的两个实根，所以，．

．

因为点在椭圆C上，则，则，

则，

则，因为，则，，即，

故存在点满足题设条件．

21．解：（1），令，则

当时，，函数在上单调递增；

当时，，得，，得．

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

（2）①证明：由（1）可知，令，有或，

故曲线与x轴负半轴的唯一交点P为．曲线在点处的切线方程为，

则，令，则，

所以，．当时，若，，

若，，在时单调递增，．

故，在上单调递减，

当时，由知在时单调递增，，在上单调递增．所以，即成立．

②证明：，设的根为，则，又单调递减，且，所以，设曲线在点处的切线方程为，有，令，，

当时，，

当时，，故函数在上单调递增，又，

所以当时，，当时，，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，即，设的根为，则，

又函数单调递增，故，故．又，

所以．

22．（1）设圆心，因为，所以，．所以圆心C的轨迹方程为，即圆心C的轨迹为线段．

（2）因为，所以，因为，所以，即曲线M的直角坐标方程为．设直线l的倾斜角为，由点P在直线l上，得直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线M的方程得：，设，，由于点P在曲线M的内部，所以，化简得：，解得．由于，所以，或，所以，即直线l的斜率为．

23．【详解】（1）由题设，而在、、上均能取得最小值-1，

对于在上递减，上为常数，上递增，且连续，

所以的最小值在上取得，即时，最小值为4．

（2）由，仅当取等号，

要证，即证，则，

需证，而a，，即，，

所以恒成立，故得证．