初中人教版9.1.1 不等式及其解集教案设计

《不等式及其解集》课堂实录

    引言：数量有大小之分，它们有相等关系，也有不等关系。现实生活中存在大量涉及不等关系的问题，今天，我们就来学习与不等关系相关的知识。

        板题：不等式及其解集

    师：同学们，你们认识这个吗？（出示天平）

    生：天平。

    师：在空盘时，天平是平衡的。现在我在两盘中分别放入一些砝码，天平仍然保持平衡，这说明了什么？

    生：两个盘子里物体的重量箱等。

    师：你能用一个式子来描述这种相等关系吗？

    生：50=x+20

    师：像这样用等号表示相等关系的式子叫……

    生：等式。

    师：如果我从右盘里拿下一个20g的砝码，天平还会保持平衡吗？

    生：不会。

    师：它会向哪一端下沉？

    生：重的一端(左端)。

    师：你能列出比较50与x的大小的式子吗？

    生：50＞x或x＜50。

    师：像这样用＞或＜表示大小关系的式子叫做不等式。若不需要比较大小，而仅仅只是为了体现50与x不相等，也可以表示为：“50≠x”。其中“≠”是不等号，读作：不等于。

    师：这里表示不等关系的符号我们又称为什么呢？我给出一些式子，你们能找出其中的不等式吗？

        (1)3＞-2  (2)3x2+2x   (3)x2＜1   (4)x=5   (5)a≠5   (6)150/x＜2

    生：(1)、(3)、(5)、(6)

    师：(2)属于？

    生：代数式(或多项式、整式)。

    师：(4)属于？

    生：等式(方程)。

    师：我们学过列方程表示数量关系，能试试用不等式表示数量关系吗？

（1）a与b的乘积是正数 ；     （2）a与b的和是负数 ；

（3）a的4倍大于8；          （4）a的一半小于3 ；

    生：(1)ab＞0   (2)a+b＜0   (3)4a＞8   (4)1/2a＜3.

    师：既然大家会列不等式表示数量关系，我们不妨试着来解决一个实际问题。

解决问题：一辆匀速行驶的汽车10：00在距离A地150千米的B地，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？

生：齐读题目。

师：本题已知条件是什么？

生：AB距离是150km，2h时必须超过A地。

师：未知量呢？

生：车速。

师：若设车速为xkm/h，列出相应的式子吗?

生：？

师:从时间看，以这个速度行驶150千米(即从B地行驶到A地)所用的时间可以怎样表示？

生：150/x。

师：而2h时已经超过了A地说明什么呢，所以从B地行驶到A地所用的时间150/x少于2h，怎样列式？

生：150/x＜2  ①。

师：从路程看，以这个速度行驶2h所走的路程应该怎么表示？

生：2x。

师：此时已经超过了A地，所以以这个速度行驶2h所走的路程2x比AB两地的距离150km要大，又该怎样列式子？

生：2x＞150   ②。

师：像①和②这两个不等式，从不同的角度表示了车速应满足的条件，但x到底是多少呢？让我们一起来探究一下吧！

下列各数能使不等式2x＞150成立吗？69  72  75  78  81

师：当x=69时，2x=138，138＞150不成立，即69不能使2x＞150成立。试试，哪些数能使2x＞150成立。

生：(代入后)78和81.

师：你们还记得什么叫方程的解吗？

生：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

师：与方程的解类似，什么叫不等式的解呢？我们把使不等式成立未知数的值叫做不等式的解。如：x=78是不等式2x＞150的解。其实我们可以发现，当2x=150时，x等于多少？

生：x=75.

师：当x＝75时，不等式2x＞150成立吗？

生：不成立。

师：当x＜75时呢？

生：也不成立。

师：当x＞75时呢？

生：成立。

师：这也就是说，只需满足x＞75的数都是不等式2x＞150的解，这样的解有多少个？

生：无数个。

师：所以我们不能说成“2x＞150的解是x=78”。但x＞75却表示了能使不等式2x＞150成立的x的取值范围，它包含了不等式所有的解。所以我们就说“x＞75是不等式2x＞150的解”。

一般的，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。

师：也可以说“不等式2x＞150的解集是x＞75”。为了体会解与解集，我们一起来做个练习吧！

下列说法不正确的是（       ）

A.x=3是2x＞4的解          B.2x＞4的解是x=3

C.2x＞4的解集是x＞2       D.X＞2是2x＞4的解集

生：选B。

师：为什么？

生：因为2x＞4的解有无数个，而x=3只是其中一个。

师：不错。你们能直接说出下列不等式的解集吗？

(1)x-2＞0   (2)3x＜6   (3)x+4＜2

生：(1)x＞2   (2)x＜2   (3)x＜-2

师：还记得什么叫解方程吗？

生：求方程的解的过程叫做解方程。

师：你能试着说说什么叫解不等式吗？

生：求不等式的解的过程叫做解不等式。

师：不对，应该是求解集。与解方程类似，求不等式的解集的过程叫做解不等式。任何一个不等式的解集都有两种表达形式：

①表达式法：如2x＞150的解集是x＞75，它从数的概念上描述了未知数x的取值范围。

②数轴表示法：从形的概念上描述不等式中未知数的取值范围。

师：那么如何在数轴上表示不等式的解集呢？

范例点击：在数轴上表示x＞75.

师：用不等式表示不等式的解集分三步进行：

①画数轴：大家注意标数与不等式的解集相关，且大于0在原点右边，小于0在原点左边。

②定界点：＞或＜都画空心圆圈，表示不包括该点。所以在表示75的点上画一个空心圆圈。

③定方向：师：数轴上的数是怎样排列的？

生：从左至右，按从小到大的顺序排列。

师：所以，数轴上左边的点所表示的数总比右边的小，而右边的点所表示的数总比左边的大。那么x＞75表示的数应该在75的哪一边？

生：右边。

师：所以，我们一般在表示75的点向上画一条短线并向右引一条射线，就表示x＞75了。那如果是x小于75呢？

生：向左引一条射线。

师：定方向时，小于向左画，大于向右画。你们学会了吗？让我们自己检验一下。

用数轴表示下列不等式的解集。

(1)x＜-1   (2)x＞-1   (3)x＜0.5

生：演板。

师生验证纠错，并一边复习巩固用数轴表示不等式的解集的步骤及注意事项。

师：同学们学会了把不等式的解集的表达式用数轴描述出来，如果我给出数轴表示的解集，你们能说出其表达式吗？

说出下图所示的解集的表达式．

         0    4                           0   1

生：(1)x＜4   (2)x＜0   (3)x＞-7.5   (4)x＜a

师：今后我们还会碰到这种问题： 下面在数轴上表示出了不等式x＜4的解集，请找出其中的有关整数解。

正整数有：             最大整数是：           

生：正整数有：1、2、3   最大整数是：3

师：同学们今天表现得真不错。请你们回忆一下，这节课你们学到了哪些知识？

生：(交流)不等式、不等式的解、不等式的解集和解不等式的相关概念；用数轴表示不等式的解集。

师：不错，我们类比等式的定义和方程的解与解方程的概念，得出了不等式的定义和不等式的解与解不等式的相关概念，用到了类比的数学思想；后来又将不等式的解集的两种表达形式互相转化，有用到了数形结合的数学思想。看来大家今天收获颇丰，不妨再送你们一道题，让你们带回家留个念想：

若关于x的方程x-3=m的解是正数，求m的取值范围并在数轴上表示出来。

师：同学们，再见！

生:老师，再见！