江西省九江市2022-2023学年高一数学下学期期末模拟试题（Word版附解析）

2022-2023学年度下学期第二次阶段性模拟试卷

高一数学

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．）

1. 已知，其中为的共轭复数，则复数在复平面上对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】结合复数运算法则求的代数形式，由此可求复数，再求其在复平面上的对应点的坐标及其象限.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以复数在复平面上的对应点的坐标为，

该点位于第一象限.

故选：A.

2. 计算（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据两角差的正弦公式即可化简求值.

【详解】由两角差的正弦公式可得：

故选：C

3. 在空间中，下列说法正确的是（    ）

A. 垂直于同一直线的两条直线平行 B. 垂直于同一直线的两条直线垂直

C. 平行于同一平面的两条直线平行 D. 垂直于同一平面的两条直线平行

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间中线、面的位置关系理解判断A、B、C，根据线面垂直的性质判断D．

【详解】垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，A、B不正确；

平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，C不正确；

根据线面垂直的性质可知：D正确；

故选：D．

4. 已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的运算即可求解.

【详解】，

在上的投影向量为，

故选：C

5. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一解是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用正弦定理求，结合的范围判断解的个数.

【详解】A：由，则，而，无解；

B：由，则，而，有唯一解；

C：由，则，而，有两解；

D：由，则，而，有两解；

故选：B

6. 将函数的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函数图像左加右减的平移原则以及诱导公式即可求解.

【详解】根据题意分析得：，

所以.

又函数与函数为同一函数，

，，得.

故选：A.

7. 已知正三棱台的上、下底面面积分别为，若，则该正三棱台的外接球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求上、下底面正三角形的边长，根据外接球的性质结合勾股定理求半径，即可得结果.

【详解】若正三角形的边长为，则其面积为

由题意可得：，

取的外接圆的圆心为，正三棱台的外接球的球心，连接，过作底面的投影，

可得，则，

由，可得，

设外接球的半径为，则，

可得，解得，

所以该正三棱台的外接球的表面积.

故选：D.

8. 17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在中，若三个内角均小于，当点满足时，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上性质，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设出，，，从而得到，转化为点到和点三个点的距离之和，画出图形，求出点坐标为，得到答案.

【详解】设，，，

则，

即为点到和点三个点的距离之和，

则△ABC为等腰三角形，

如图，

由费马点的性质可得：要保证∠APB=120°，则∠APO=60°，

因为OA=1，则，所以点坐标为时，距离之和最小，

最小距离之和为.

故选：B

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9. 下列各式的值为的是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】利用二倍角公式公式及特殊角三角函数计算可得.

【详解】对于A：

，故A正确；

对于B：，故B错误；

对于C：因为，所以，

解得或（舍去），

所以，故C错误；

对于D：，故D正确；

故选：AD

10. 若函数，则该函数（    ）

A. 最小值为 B. 最大值为 C. 在上是减函数 D. 奇函数

【答案】AC

【解析】

【分析】求得函数最小值判断选项A；求得函数最大值判断选项B；判定出在上的单调性判断选项C；求得函数的奇偶性判断选项D.

【详解】

选项A：当时，函数取得最小值.判断正确；

选项B：当时，函数取得最大值.判断错误；

选项C：在上单调递减，在上单调递减，

则函数在上是减函数.判断正确；

选项D：由

可得函数为偶函数.判断错误.

故选：AC

11. 已知函数，下列说法中正确的有（    ）

A. 若，则在上是单调增函数

B. 若，则正整数的最小值为2

C. 若，把函数的图像向右平移个单位长度得到的图像.则为奇函数

D. 若在上有且仅有3个零点，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】化简函数f(x)的表达式，根据正弦函数的性质与图像再逐一分析各个选项中的条件，计算判断作答.

【详解】依题意，，

对于A，，，

当时，有，则在上单调递增，

所以在上单调递增，故A正确；

对于B，因，则是函数图像的一条对称轴，，整理得，

而，即有，，故B正确；

对于C，，，

依题意，函数，

这个函数不是奇函数，其图像关于原点不对称，故C不正确；

对于D，当时，，

依题意，，解得，故D正确.

故选：ABD

12. 如图，在长方体中，，点是棱上的一个动点，给出下列命题，其中真命题的是（    ）

A. 不存在点，使得

B. 三棱锥的体积恒为定值

C. 存在唯一的点，过三点作长方体的截面，使得截面的周长有最小值

D. 为棱上一点，若点满足，且平面，则为的中点

【答案】BCD

【解析】

【分析】选项A. 先证明存在点使得平面，从而可判断；选项B. 由为定值，根据可判断；选项C. 先作出截面，然后将侧面展开，使得面与面在同一平面内，从而可判断；选项D. 在梯形中，两腰延长必相交，设交点为,连接，从而可得，从而可判断.

【详解】选项A. 在底面矩形中，连接交于点 ,由，则

所以, 所以,为等边三角形

取中点，连接并延长交于点，则

又在长方体中，平面，且平面，则

又,所以平面,又平面

所以，所以存在点，使得，故选项A不正确.

选项B.

在长方体中，平面,所以

所以三棱锥的体积恒为定值，故选项B正确.

选项C. 在 上取点，使得，连接

则四边形为平行四边形,所以过三点作长方体的截面为面

将侧面展开，使得面与面在同一平面内，

连接,交于点，此时最小，即截面的周长最小

所以存在唯一的点，使得截面的周长有最小值，故选项C 正确.

选项D. 在梯形中，两腰延长必相交，设交点为,连接

由, ,即,

所以,即，则

平面,面平面

由平面，则

又，所以为平行四边形,则，则

所以为的中点. 故选项D正确.

故选：BCD

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）

13. 设，则等于__________．

【答案】

【解析】

【分析】利用复数除法运算求出复数，再利用共轭复数与模的意义计算作答.

【详解】依题意，，，

所以.

故答案为：

14. 中，分别是的内角所对的边，若，则等于___________.

【答案】

【解析】

【分析】由正弦定理可得，代入即可得出答案.

【详解】由正弦定理可得：

则

所以

故答案为：

15. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为2的扇形，则这个圆锥的体积是___________.

【答案】

【解析】

【分析】首先设圆锥的底面半径为，母线为，高为，根据题意得到，，，再求三棱锥的体积即可.

【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，高为，

由题知：，所以，解得

所以，

则三棱锥的体积.

故答案为：

16. 如图所示，是一块边长为7米的正方形铁皮，其中是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在与上的长方形铁皮，其中是弧上一点．设，长方形的面积为平方米．则当_________时，取最大值_________．

【答案】    ①.     ②. 平方米

【解析】

【分析】根据几何性质，整理面积的函数解析式，利用换元的思想，根据三角函数的恒等变换，结合二次函数的性质，可得答案.

【详解】由题意可知，，，

，

令，由，则，，

，

易知当时，，.

故答案为：；平方米.

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知．

（1）若的终边位于第三象限角，求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先利用两角差正切公式计算的值，再利用同角三角函数关系求得的值，最后求出的值；

（2）利用二倍角的余弦、正弦公式，整理所求式子，并利用同角三角函数的商数关系化为用的表达形式，代入（1）中所求得的的值计算.

【小问1详解】

，

∴，∴，∴，

又∵的终边位于第三象限角，∴，∴，

∴；

【小问2详解】

.

18. 已知四棱锥的底面是正方形，平面．

（Ⅰ）设平面平面，求证：；

（Ⅱ）求证：平面平面．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

【分析】（Ⅰ）由得线面平行，再由线面平行的性质定理得线线平行；

（Ⅱ）证明平面后可得面面垂直．

【详解】证明：（Ⅰ）因为，平面，平面，所以平面，

而平面平面，平面，所以．

（Ⅱ）因为平面，平面，所以，

因为四棱锥的底面是正方形，所以，而与相交，与都在平面内，所以平面，

又平面，所以平面平面．

19. 已知、的夹角为锐角，，，且在方向上的投影数量为．

（1）若，求值；

（2）若，，，若、、三点共线，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用平面向量数量积的几何意义求出的值，由可得出，结合平面向量数量积的运算性质可求出的值；

（2）求出、的表达式，由已知可得，利用共线向量的基本定理可求得实数的值.

【小问1详解】

解：在方向上的投影数量为，

得．

因为，则，

因为，所以

，解得.

【小问2详解】

解：由题意得，

，

因为、、三点共线，则，则，使得，

即，

又因为、不共线，则，解得.

20. 已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．

（1）从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；

条件①：函数的图象经过点；

条件②：是的对称中心；

条件③：是的对称中心．

（2）根据（1）中确定，若的值域为，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意得到和，再根据选择的条件得到第三个方程，分析方程组即可求解；

（2）先求出所在的范围，正弦函数的性质得到，解得即可.

【小问1详解】

因为在区间上单调，所以，

因为，且，解得；

又因为是函数的对称轴，所以；

若选条件①：因为函数的图象经过点，所以，

因为，所以， 所以，，即，

当时，，满足题意，故.

若选条件②：因为是的对称中心，所以，

所以，，此方程无解，故条件②无法解出满足题意得函数解析式.

若条件③：因为是的对称中心，所以，

所以，，解得，所以.

【小问2详解】

由（1）知，

因为，所以，

又在上的值域为，

所以，解得，即.

21. 已知在中，角所对的边分别为，且.

（1）求的值；

（2）若，且，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先化简题给条件，再利用正弦定理即可求得的值；

（2）先化简题给条件求得，代入题干条件进而求得，从而得到的最小值，再结合条件求出实数的取值范围.

【小问1详解】

依题意，，

因为，所以.

由正弦定理，得，

故上式可化为.

因为，所以，

由正弦定理，得.

【小问2详解】

因为，

由正弦定理，，

因为，故，

则，

故，

因为，故，又，故，

代入中，得，即.

由余弦定理，，故，

则，当且仅当时等号成立，

故，又，

所以实数的取值范围为.

22. 已知在正三棱柱中，，E是棱的中点．

（1）设，求三棱锥的体积；

（2）若把平面与平面所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由．

【答案】（1）   

（2）此三棱柱不是“黄金棱柱”，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）首先根据平面，再根据求解即可.

（2）延长交的延长线于点，连接，根据题意得到为平面与平面所成二面角的平面角，且，即可得到答案.

【小问1详解】

取的中点，连接，如图所示：

因为，为中点，所以.

又因为平面，平面，所以.

又因为，所以平面.

又因为，平面，平面，所以平面，

，，

所以

【小问2详解】

延长交的延长线于点，连接，如图所示：

因为，是棱的中点，所以是的中点.

所以，即.

因为平面，平面，所以.

又因为，，，

所以平面.

又平面，所以，

所以为平面与平面所成二面角的平面角，

因为正三棱柱中，，

所以，