江西省稳派2024届高三数学上学期第一次大联考试题（Word版附解析）

绝密★启用前

2024届新高三第一次大联考

数    学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意化简集合，结合交集运算知识即可得到答案.

【详解】由题意得，，

又因为，

所以.

故选：B

2. 若复数满足，则的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的运算求出，再根据共轭复数的定义和复数的概念可得答案.

【详解】因为，所以，

所以，其虚部为.

故选：C

3. 已知直线是曲线在点处的切线，则直线在轴上的截距为（    ）

A.  B.  C. 2 D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】利用导数的几何意义求出直线的方程，令，可得答案.

【详解】，又，所以直线的方程为，

令，得，即直线在轴上的截距为，

故选：A．

4. 在平面直角坐标系中，锐角的大小如图所示，则（    ）

A.  B. 2 C.  D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，由条件可得，从而得到，然后将原式化简，代入计算，即可得到结果.

【详解】因为点是角终边的一点，所以，

所以，

由可知，，所以

.

故选：B

5. 光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：）（    ）

A 9.1m B. 10.9m C. 11.2m D. 12.1m

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意画出正四棱台，结合正四棱台相关性质直接计算即可.

【详解】如图所示，设该正四棱台为，上下底面中心分别为，

分别取的中点，连接，

在平面内，作交于，

则，，，

显然四边形是矩形，则，，

所以，

在直角中，，

即该墩台的斜高约为9.1m.

故选：A

6. 已知各项均为正数的数列满足，且数列的前项积为，则下列结论错误的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 存在及正整数，使得

D. 若为等比数列，则

【答案】C

【解析】

【分析】对于A，根据题意直接分组求数列的前项积即可；

对于B，根据得到；

对于C，通过得到即可判断；

对于D，根据等比数列定义进行基本量的运算即可.

【详解】对于A，若，则，

所以 ，故A正确；

对于B，若，则，所以，

两式相除得，所以，故B正确；

对于C，因为，所以，所以，

又因为数列各项均为正数，所以，即，

故不存及正整数，使得，故C错误；

对于D，若为等比数列，设其公比为，

则，所以，则，故D正确.

故选：C

7. 已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意得到在单调递减，结合奇函数性质得到在单调递减，，结合奇函数性质将不等式转化为，再结合已知条件列出不等式组求解即可.

【详解】因为对任意的，都有，此时，则，

所以在单调递减，

因为函数是定义在上的奇函数，所以在单调递减，，

所以当和时，；当和时，.

由，即，

所以或或或，

所以或或或无解，

所以原不等式解集为

故选：D

8. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】构造，研究单调性与最值得到（当且仅当时取等号），进而得到；

通过得到进而得到.

【详解】设，则，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，即，所以，

所以（当且仅当时取等号），

令，则，所以；

设，则，

所以在单调递增，所以，即，

令，则，即.

所以.

故选：C

【点睛】方法点睛：本题考查构造函数比较大小问题.比较大小的常见方法有：

（1）利用作差法或者作商法与特殊值比较；

（2）构造相关函数，利用导数研究其单调性进而比较函数值；

（3）利用中间量进行放缩比较.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知，则下列不等式一定正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据不等式的性质逐项判断可得答案.

【详解】对于A，因为，所以，故A正确；

对于B，因为，，所以，故B正确；

对于C，当，，，时，，故C不正确；

对于D，因为，所以，又，所以.故D正确.

故选：ABD.

10. 为庆祝江西籍航天员邓清明顺利从太空返航，邓清明家乡的某所中学举办了一场“我爱星辰大海”航天知识竞赛，满分100分，该校高一（1）班代表队6位参赛学生的成绩（单位：分）分别为：84，100，91，95，95，98，则关于这6位参赛学生的成绩.下列说法正确的是（    ）

A. 众数为95 B. 中位数为93

C. 平均成绩超过93分 D. 第分位数是91

【答案】ACD

【解析】

分析】根据题意将成绩排序，结合众数、中位数、平均数、百分位数相关知识求解即可.

【详解】将成绩按从小到大的顺序排序为：，

对于A，95出现两次，其他数据只出现一次，所以众数为95，故A正确；

对于B，中位数为第3,4个数据的平均数，为，故B错误；

对于C，平均数为，故C正确；

对于D，，所以第分位数是第二个数，为91，故D正确.

故选：ACD

11. 如图，在直三棱柱中，，，则（    ）

A. 平面

B. 平面平面

C. 异面直线与所成的角的余弦值为

D. 点，，，均在半径为的球面上

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据线面平行的判定定理得出A选项，根据空间向量法判断面面垂直及异面直线所成角判断B,C选项，根据外接球直径判断D选项.

【详解】平面，平面，平面，所以A选项正确；

取AB的中点O，连接CO，则，以O为坐标原点，OC，OB所在直线分别为x，y轴，过点O且平行于的直线为z轴建立空间直角坐标系．

，则，

则，，，，

所以，,，

设平面的法向量为，则

，令，则，

设平面的法向量为，则

，令，则，

，所以平面平面，所以B选项正确；

则，故异面直线与所成角的余弦值为,所以C选项正确；

在直三棱柱中，，，,,三棱柱可以放入边长为1的正方体中，

正方体的外接球是三棱柱的外接球,点，，，均在半径为的球面上, 所以D选项错误．

故选：ABC．

12. 加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆（图2）.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点，均在的蒙日圆上，，分别与相切于，，则下列说法正确的是（    ）

A. 的蒙日圆方程是

B. 设，则的取值范围为

C. 若点在第一象限的角平分线上，则直线的方程为

D. 若直线过原点，且与的一个交点为，，则

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A，根据椭圆的两条特殊切线的交点求出蒙日圆的半径，可得A错误；对于B，利用椭圆的定义求出的取值范围可得B正确；对于C，利用导数的几何意义求解可得C正确；对于D，根据椭圆的定义以及平面向量数量积的运算律可求出，可得D错误.

【详解】对于A，分别过椭圆的顶点，作椭圆的切线，则两切线的交点在椭圆的蒙日圆上，

故该蒙日圆的半径，即椭圆的蒙日圆的方程为，故A错误；

对于B，由椭圆的定义得，

当且仅当点在的延长线上时取等号，

，

当且仅当点在的延长线上时取等号，所以的取值范围为，故B正确；

对于C，在方程中，令，得，故，

设切点，， 因为，，所以，，

由两边对求导得，所以，，

又，，所以，，

所以，，

所以，，

所以点、都在直线上，

所以直线的方程为，故C正确；

对于D，，则，所以，

由得①，

由得②，

则①②得，解得，

所以，故D错误.

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：利用导数的几何意义求解椭圆的切线方程，利用平面向量数量积求解向量的长度是解题关键.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知直角三角形的斜边为，向量，，则实数______.

【答案】

【解析】

【分析】根据向量垂直的坐标运算公式直接计算.

【详解】因为直角三角形的斜边为，所以，

又因为，，

所以，解得.

故答案为：

14. 已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，焦距为8，且的离心率与它的一条渐近线的斜率之比恰好为2，则的标准方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意及双曲线的性质列出关于a，b，c的方程求解即可.

【详解】设的实半轴长、虚半轴长、半焦距分别为a，b，c，

由已知得，即，又焦距为8，

所以，，，

所以的标准方程为．

故答案为：．

15. 唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新.为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有______种.（用数字作答）

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，分两种情况讨论，第一种情况是来自江西的三位散文家中选出两人，第二种情况是来自江西的三位散文家中选出三人，然后再结合插空法即可得到结果.

【详解】由题意可得，若挑选来自江西的三位散文家中选出两人，则另外五位中挑选三人，

则有种情况，且他们互不相邻，则有种情况，即；

若挑选来自江西的三位散文家中选出三人，则另外五位中挑选两人，且他们互不相邻，

则有种情况；

故不同的排课方法共有种情况.

故答案为：.

16. 将函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象，若函数在区间内有零点，无最值，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】利用三角函数图象变换规律得，依题意得，可得，根据条件：函数在区间内有零点，无最值，结合角的范围及三角函数的性质，列出关于的不等式组，求解即可.

【详解】由题意得，

依题意得

，

因为函数在区间内有零点，无最值，

，解得，

当时，满足条件，

当时，满足条件，

当或时，显然不满足条件．

综上可得．

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 记为等差数列的前项和，已知，.

（1）求的通项公式；

（2）记，求数列的前30项的和.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列式求出和，可得通项公式；

（2）先求出，再利用并项求和法与等差数列的求和公式可得结果.

【小问1详解】

设公差为，则，解得，，

所以.

【小问2详解】

，

所以，

所以

.

18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，.

（1）求的大小；

（2）若角的平分线交于点，，，求.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理及辅助角公式得，结合角的范围可得结果；

（2）利用三角形面积公式，由求解即可.

【小问1详解】

由已知及正弦定理得，

又，所以，

所以，即，所以，

因为，所以，

所以，即．

【小问2详解】

由，

得．

所以．

即，

解得．

19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是的中点.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取中点，证明得到四边形是正方形，进而得到平面，所以，根据直角三角形相关性质可得到；

（2）先建立空间直角坐标系，结合线段长度写出坐标，求平面的一个法向量，再结合线面角计算公式求出答案.

【小问1详解】

取中点，连接，则，

又因为，所以四边形是平行四边形，

因为，，所以四边形是正方形，

所以，即是等腰三角形，则，

所以，即，

因为平面，平面，所以，

又因为平面，，

所以平面，

因为平面，所以，

又因为点是的中点，所以由直角三角形性质易得

【小问2详解】

因为平面，平面，所以，，

又因为四边形是正方形，所以，

如图，以为正交基底建立空间直角坐标系，

则，

所以，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

设直线与平面所成的角为，

所以，

所以直线与平面所成的角的正弦值为.

20. 已知抛物线：的焦点为，顶点为坐标原点，过点的直线与相交于两点，当点到直线的距离最大时，.

（1）求的标准方程；

（2）过点作轴于点，记线段的中点为，且与的面积之和为，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意设，直线与抛物线方程联立，结合弦长公式得到，进而求出最大值即可；

（2）设，，得到，得到，根据基本不等式求出最小值即可.

【小问1详解】

由题意知，，直线斜率不为，

设，，

由，得，

，，

则

，

当时，，所以，

所以的标准方程为

【小问2详解】

由（1）知，设，，

联立，则，，

因为线段的中点为，所以点纵坐标为，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为

21. 近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：

（1）是否有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？

（2）社区的市民张无忌周一、二均在网上买菜，且周一从，两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜.如果周一选择平台买菜，那么周二选择入平台买菜的概率；如果周一选择平台买菜，那么周二选择入平台买菜的概率为，求张无忌周二选择平台买菜的概率；

（3）用频率估计概率，现从社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为事件“”的概率为，求使取得最大值的的值.

参考公式：，其中.

【答案】（1）有    （2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据题意，计算，即可得到结果；

（2）根据题意，由全概率公式，代入计算，即可得到结果；

（3）根据题意，由二项分布的概率计算公式得到的表达式，然后计算，即可得到结果.

【小问1详解】

假设：社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关.

由题意可得，，

则假设不成立，

所以有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.

【小问2详解】

记事件：张无忌周一选择平台买菜；事件：张无忌周二选择平台买菜，

则，，，

由全概率公式可得，

因此，张无忌周二选择平台买菜的概率为.

【小问3详解】

由题意可知，抽取的20名市民，喜欢网上买菜的市民人数服从二项分布，

且喜欢上网买菜的频率为，则，

且，，

设

，，

若，即，即，解得，

若，即，即，解得或，所以当时，最大，故的值为.

22. 已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）求得函数定义域为，，通过分类讨论即可得到答案；

（2）首先得到的范围，将原式转化为对恒成立，即对恒成立，通过导数研究函数最值即可得到答案.

【小问1详解】

定义域为，，

①当时，令，得，此时单调递增，

令，得，此时单调递减；

②当时，令，得，此时单调递增，

令，得，此时单调递减；

综上所述，当时，在单调递增，在单调递减；

当时，在单调递增，在单调递减.

【小问2详解】

记，

由（1）知，当时，，

则，则，

当时，恒成立，

即对恒成立，

即对恒成立，

则，即对恒成立，

令，对恒成立，

则在单调递增，所以，

所以，即实数取值范围为.