2022-2023学年福建省高二下学期期末联考数学试题含答案

2022-2023学年福建省晋江市平山学校、泉州中远学校、晋江市内坑中学、晋江市磁灶中学、永春第二中学高二下学期期末联考数学试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先将集合B整理为，再根据交集的概念求交集即可.

【详解】因为 ，，

所以.

故选：A

2．复数的虚部为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】计算复数，由虚部的定义得出结果.

【详解】，故的虚部为.

故选：A

3．展开式中含项的系数为

A．15 B．30 C．60 D．120

【答案】C

【分析】根据二项式展开式的通项公式，求得指定项的系数.

【详解】二项式的二项展开式的通项公式为，

则展开式中含项的系数为.

故选：C．

【点睛】本题考查二项式定理．关于二项式的展开式问题，通常是先得到展开式的通项，再根据题意求解．

4．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】从甲校和乙校报名的教师中各任选名，列出基本事件的总数，利用古典概型求解即可.

【详解】设甲校2男1女的编号分别为1，2，A，乙校1男2女编号分别为B，3，4，

若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，

写出所有可能的结果有：，，，，，，，

，共计9个，

选出的2名教师性别相同的结果有，，，共计4个，

故选出的2名教师性别相同的概率为．

故选：B.

5．曲线在点处的切线的倾斜角为（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】A

【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，即可得出倾斜角.

【详解】由和切点可知，

切线的斜率，即倾斜角，

故选：.

6．小华为了研究数学名次和物理名次的相关关系，记录了本班五名同学的数学和物理的名次，如图，后来发现第四名同学的数据记录有误，那么去掉数据后，下列说法错误的是（    ）

A．样本相关系数r变大 B．残差平方和变大

C．变大 D．解释变量x与响应变量y的相关程度变强

【答案】B

【分析】根据散点图进行分析，利用相关系数、残差的意义即可判断.

【详解】由散点图知，去掉后，y与x的线性相关程度变强，且为正相关，所以r变大，变大，残差平方和变小.故ACD正确，B错误.

故选：B

7．若函数在处有极值10，则（    ）

A． B． C．6 D．

【答案】D

【分析】先根据极值列方程组解得值，再代入验证，即可求得的值.

【详解】由，得，

由题意可知：，，得到，解得或，

当时，，

所以不是极值点，

当时，，

所以在，上单调递增，在上单调递减，

所以则在处取极小值10，符合题意.

所以，所以.

故选：D

8．已知函数，分别与直线交于点，，则的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】依题意，表示出两点坐标和，构造函数，利用导数研究单调区间和最值.

【详解】  

由题意，， ，其中，且，

所以，令，，

则时，解得，

所以时，；时，；

则在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，，

故选：B．

二、多选题

9．设向量，，若，则x的取值可能是（    ）

A． B．0 C．3 D．5

【答案】AC

【分析】利用向量平行的充要条件列出关于x的方程，解之即得x的值.

【详解】，，

由，可得，解之得

故选：AC

10．下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是（    ）

A．相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则

B．对于独立性检验，的值越大，说明两事件相关程度越大

C．回归分析是对两个变量确定性关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系

D．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好

【答案】ABD

【分析】根据回归直线经过样本点中心计算可得A正确；根据独立性检验思想，可得B正确；根据回归分析和残差图可知C不正确；D正确.

【详解】对于A，根据回归直线经过样本点中心可得，得，故A正确；

对于B，根据独立性检验思想，的值越大，说明推断两事件无关出错的概率越大，因此两事件相关程度越大，故B正确；

对于C，回归分析是研究两个变量的相关关系，而独立性检验是对两个变量之间的是否具有某种关系的一种检验，故C不正确；

对于D，在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故D正确.

故选：ABD

11．关于，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】AD

【分析】利用赋值法，令，求得，判断A；令，可判断B；根据二项式展开式的通项公式判断C；分别令以及，即可判断D.

【详解】令，则，即，故A正确；

令，则，

即，

所以，故B错误；

根据二项式展开式的通项公式得：，故C错误；

令，则，

令，则，

两式相加可得，①

两式相减可得，②

可得，

所以，故D正确，

故选：AD

12．已知，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（    ）．

A．

B．若，则与独立

C．若与独立，且，则

D．若与独立，且，，则

【答案】BC

【分析】假设与相互独立得到，即可判断A，根据条件概率公式及相互独立事件的概率公式判断B、C、D.

【详解】对于A：因为，当与相互独立时，

此时，由于无法确定，的大小关系，

故无法确定与的大小关系，故A错误；

对于B：因为，则，

所以，即，所以与独立，故B正确；

对于C：若与独立，则，

又，所以，则，即，故C正确；

对于D：因为与独立，且，，

所以，则，

所以，故D错误；

故选：BC

三、填空题

13．若为奇函数，则       .

【答案】

【解析】先根据函数是奇函数求出a的值，再求解.

【详解】由题得函数的定义域为R,

因为函数是奇函数，所以.

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】本题主要考查奇函数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

14．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有        种（用数字作答）．

【答案】64

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.

【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；

（2）当从8门课中选修3门，

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；

综上所述：不同的选课方案共有种.

故答案为：64.

15．某餐馆在A网站有200条评价，好评率为90%，在B网站有100条评价，好评率为87%．综合考虑这两个网站的信息，这家餐馆的好评率为      ．

【答案】

【分析】根据已知数据直接计算可得答案.

【详解】由已知可得这家餐馆的好评率为．

故答案为：．

16．已知函数，则的最大值为      .

【答案】

【分析】求得函数的导数，利用导数求得函数在一个周期内的单调性，进而求得函数的最值，得到答案．

【详解】由题意，函数，则，

令，即，解得，

当时，的单调增区间为，单调减区间为，

又由，，

可得在一个周期内，函数最大值为，即函数的最大值为.

故答案为．

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的最值问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性与极值（最值）之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

四、解答题

17．已知函数，且.

(1)求的解析式；

(2)求曲线在处的切线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求导数，根据可求，进而可得答案；

（2）先求导数得到切线斜率，再求出切点，利用点斜式可求切线方程.

【详解】（1）因为，且，所以，解得，所以函数的解析式为.

（2）由（1）可知，；

又，所以曲线在处的切线方程为，即.

18．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得．假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．

(1)求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望；

(2)求这名同学总得分不为负分（即）的概率．

【答案】(1)概率分布见解析中表格，期望为180；

(2)

【分析】（1）分为进行计算概率即可；

（2）根据（1）计算结果可计算其概率.

【详解】（1）的可能值为.

,

,

,

,

所以的概率分布为

根据的概率分布,可得的期望

（2）这名同学总得分不为负分的概率为.

19．一项试验旨在研究臭氧效应．实验方案如下：选只小白鼠，随机地将其中只分配到实验组，另外只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：）．实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：

15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1

32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2

实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：

7.8  9.2  11.4  12.4  13.2  15.5  16.5  18.0  18.8  19.2

19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5

(1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；

(2)①求只小鼠体重的增加量的中位数，再分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表：

②根据①中的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．

附：，其中．

【答案】(1)分布列见解析，

(2)①， 填表见解析；②能认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异

【分析】（1）分析可知，随机变量的可能取值为、、，求出在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；

（2）①根据题中信息求出的值，进而结合已知条件可完善列联表；

②提出零假设：小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量没有差异，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.

【详解】（1）解：依题意，的可能取值为、、，

则，，，

所以的分布列为：

故.

（2）解：①依题意，可知这只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，

从小到大排后第位与第位数据的平均数，观察数据可得第位为，

第位数据为，所以，

故列联表为：

②零假设：小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量没有差异，

由①可得，，

依据小概率值的独立性检验，我们推断假设不成立，

即认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．

20．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：

记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，，经计算，．

(1)求；

(2)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望．

附：若，则，，．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据平均数的计算方法，即可求得答案；

（2）确定体质测试成绩的方差，可确定学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率，根据二项分布的均值公式，即可求得的数学期望.

【详解】（1）由题意得．

（2）因为，故，

所以，．

因为，

所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.9545，

故，所以．

21．已知函数，．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，证明．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数，分类讨论当、时函数的单调性即可求解；

（2）由（1）知，原不等式等价于，设，利用导数求出即可求解.

【详解】（1）函数的定义域为，

．

若，则当时，，故在上单调递减；

若，则当时，当时，

故在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知，当时，在处取得最小值，

所以等价于，即．

设，则．

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故当时，取得极小值且为最小值，最小值为．

所以当时，．

从而当时，，即．

22．经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.

表中

(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）

(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望.

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.

【答案】(1)适宜，

(2)分布列见解析，.

【分析】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型；令，转化线性回归方程求解，进而得关于回归方程；

（2）由题意，的取值为，由全概率公式求得对应的概率，从而可求分布列及数学期望.

【详解】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，

所以适宜作为与之间的回归方程模型；

令，则，

，

关于的回归方程为.

（2）由题意，设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的取值为，

设“所取两个鱼卵来自第批”，所以，

设“所取两个鱼卵有个”“死卵”，

由全概率公式

，

，

，

所以取出“死卵”个数的分布列为：

.

所以取出“死卵”个数的数学期望.