2022-2023学年山西省大同市浑源县第七中学校高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年山西省大同市浑源县第七中学校高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断即可.

【详解】根据全称命题的否定可得，命题“，”的否定为

“，”.

故选：C

2．设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数图象得出单调性，然后判断导函数的正负即可选出答案.

【详解】由函数的图象，知

当时，是单调递减的，所以；

当时，先递减，后递增，最后递减，所以先负后正，最后为负．

故选：B．

3．短道速滑队进行冬奥会选拔赛（6人决出第一一六名），记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若是真命题，是假命题，是真命题，则选拔赛的结果为（    ）

A．甲第一、乙第二、丙第三 B．甲第二、乙第一、丙第三

C．甲第一、乙第三、丙第二 D．甲第一、乙没得第二名、丙第三

【答案】D

【分析】根据符合命题的真假性进行判断即可求解.

【详解】是真命题意味着为真，q为假（乙没得第二名）且r为真（丙得第三名）；

是真命题，由于q为假，只能p为真（甲得第一名），这与是假命题相吻合；

由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，

故选：D．

4．若函数的最小值是，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求时函数的最小值，再根据函数的最小值，得时，，求出m的取值范围.

【详解】当时，，，

，，单调递减，

，，单调递增，，

因为的最小值为，所以当时，，

当时，.

①若，在上单调递减，

，，得；

②若，在上单调递减，在上单调递增，，舍去.

综上.

故选：B.

5．展开式中的常数项为（    ）

A．-20 B．20 C．-15 D．15

【答案】A

【分析】根据二项式定理，写出通项，建立方程，可得答案.

【详解】的展开式通项，

令，则，即展开式的常数项为.

故选：A.

6．平行六面体的所有棱长均为1，，则的长度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由为平行六面体，可知为体对角线，由向量的模长公式即可求得.

【详解】

故选：B

7．已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，分别在点处作的两条切线，两条切线交于点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设直线的方程为，，与抛物线联立可得，再利用求曲线上一点的切线方程得过与相切的直线方程，再利用两条直线的交点坐标得​​​​​​​，再利用两点间的距离公式计算得结论.

【详解】显然直线的斜率存在，因此设直线的方程为，，

由得，因此，

故.

因为，所以过与相切的直线方程分别为：、，

因此由得，即，

所以

.

因为，所以，因此，

所以的取值范围是.

故选:C.

8．的值等于（    ）

A．-2 B．0 C．8 D．10

【答案】A

【分析】应用指数运算和对数运算计算求解即可.

【详解】.

故选：A.

9．实验测得六组成对数据的值为，，，，，，由此可得y与x之间的回归方程为，则可预测当时，y的值为（    ）

A．67 B．66 C．65 D．64

【答案】B

【分析】先求出样本中心点，线性回归方程恒过，代入即可求出，再令，代入求解即可.

【详解】由表中数据可得，，，

线性回归方程为，则，解得，

故，当时，.

故选：B.

10．“”是“属于函数单调递增区间”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】根据函数单调递增区间，由复合函数单调性的性质先求得单调递增的区间；由两个区间的包含关系即可判断充分必要性.

【详解】函数单调递增区间，

由复合函数单调性可知单调递增且，

解得，即时函数单调递增，

所以“”是“属于函数单调递增区间”的必要不充分条件，

故选：B.

【点睛】本题考查了复合函数单调区间求法，注意对数函数定义域的要求，充分必要条件的判断，属于中档题.

11．已知定义在上的函数． 对任意区间和，若存在开区间，使得，且对任意（）都成立，则称为在上的一个“M点”． 有以下两个命题：

①若是在区间上的最大值，则是在区间上的一个M点；

②若对任意，都是在区间上的一个M点，则在上严格增．

那么（    ）

A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题

C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题

【答案】D

【分析】举出反例，得到①②错误.

【详解】对于①，设，满足是在区间上的最大值，但不是在区间上的一个M点，①错误；

对于②，设，对于区间，令为有理数，满足对任意（）都成立，故为区间上的一个M点，

但在上不是严格增函数.

故选：D

【点睛】举出反例是一种特殊的证明方法，它在证明“某命题”不成立时，可达到事半功倍的效果.

12．若不等式在上有实数解，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先分离参数得，因为不等式在上有实数解，所以，进而求出即可.

【详解】由不等式在上有实数解，知不等式在上有实数解.

设，，则.

而，

令得.

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

，

.

.

故选：B.

二、填空题

13．设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为          ．

【答案】/

【分析】根据双曲线方程求出、、，再由双曲线的定义求出、，最后由余弦定理计算可得.

【详解】因为双曲线，则，，所以，

因为为双曲线右支上一点，所以，又，

所以，，，

由余弦定理，

即，解得，又，

所以.

故答案为：

14．数列中，，，则的前项的和为         ．

【答案】

【分析】推导出数列是首项为，公比为的等比数列，求出数列的通项公式，利用分组求和法可求得数列的前项的和的值.

【详解】在数列中，，，则，且，

所以，数列是首项为，公比为的等比数列，

所以，，则，

所以，数列的前项和为

.

故答案为：.

15．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为    分钟.

【答案】7.5

【解析】分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数.

【详解】

故答案为：7.5

【点睛】此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清导致计算出错.

16．已知圆，，是圆上两点，点且，则最大值是      .

【答案】

【分析】根据题意作出图象，结合圆的性质及直角三角形中线的性质，可得，即可求出最大值.

【详解】如图所示，设是线段的中点，则，

因为，于是，

在中，，，，

由勾股定理得，，

整理得，

故的轨迹是以为圆心，半径为的圆，

故，

又由圆的弦长公式可得

.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了圆的性质，圆的弦，弦心距，半径的关系，考查了数形结合的思想，属于中档题.

三、解答题

17．已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直．

(1)求函数的解析式；

(2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)将点坐标代入函数解析式得到关于的方程，再根据函数在切点处的导数等于切线的斜率再建立关于的另一个方程，即可求出，即可确定函数的解析式; (2)求出函数的单调区间，利用可求解.

【详解】（1）因为函数的图象过点,所以,

又因为,且点P处的切线恰好与直线垂直,

所以,

由解得,所以.

（2）由(1)知，

令，即，解得或，

令，即，解得，

所以在单调递增，单调递减，

单调递增，

根据函数在区间上单调递增，

则有或，解得或.

18．已知正项数列的前项和为，且满足．

(1)求，；

(2)设，数列的前项和为，求证：．

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】(1)当时由＝(＋1)与＝(＋1)作差，由此得出是等差数列，从而求出即可；

(2).通过（1）再裂项得出数列的通项公式，进而并项相加即得结论．

【详解】（1）……① ，……②

由 ②－①得，，

．

又，

所以，由①

所以是首项为1公差为的等差数列，

所以，

代入①得．

（2），

，

因为，

所以，即．

19．如图，直四棱柱，底面是边长为2的菱形，，，点在平面上，且平面.

（1）求的长；

（2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离的向量公式求解；

（2）利用向量法求线面角的正弦即可.

【详解】如图建立空间直角坐标系，

则,.

（1）设平面的法向量为，

, ,

则，取，，，

∴可为

.

（2）由（1）知平面的法向量为，且，

设平面的法向量为,

，

，取，，，

∴，

.

20．已知.

(1)求单调区间；

(2)点为图象上一点，设函数在点A处的切线为直线l，若直线l与x轴交于点，求c的最大值.

【答案】(1)的单增区间为，单减区间为和

(2).

【分析】（1）求出的定义域和导函数的根，列表判断即可求解；

（2）先求出切线l的方程和c，再构造函数求最大值即可求解.

【详解】（1）由题：定义域为，

，令得，列表如图：

故的单增区间为，单减区间为和.

（2）由题意：，故直线方程为：

将点代入方程，得：，化简得：，

令，即求的最大值.

，令得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

故在处取得最大值，=.

故的最大值为.

21．.

(1)求在上的最小值；

(2)，且，，，求a的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的最小值；

（2）问题转化为，恒成立，令，则，利用导数求出函数的最小值，即可得解.

【详解】（1），在上单调递增，又，

故当时，，当时，，故在单调递减，单调递增

①当即时，在单调递减，故；

②当即时，在单调递减，单调递增，

故；

③当时，在单增，故

综上，当时，；

当时， ；

当时， .

（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，故，

故问题转化为对，都有，

令，则，

，

令，，令，

则，故在单调递增，，

即，从而在单调递增，故，

则，，

从而在单调递减，在单调递增，

，故.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

22．已知抛物线C：（）上一点（）与焦点的距离为2.

(1)求p和m；

(2)若在抛物线C上存在点A，B，使得，设的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标.

【答案】(1)，

(2)或.

【分析】（1）根据抛物线的性质，求出，然后将代入抛物线的方程即可求出m；

（2）根据D到抛物线C的准线的距离求出D的横坐标，将转为，从而得到，两者结合即可求出，即可求出点D的坐标.

【详解】（1）设抛物线C的焦点为F，根据题意可知，解得.

故抛物线C：.

因为M在抛物线C上，所以.又因为，所以.

（2）设，，，直线的斜率为，直线的斜率为.

易知，一定存在，则，.

由，得，即，化简得，即

因为D到抛物线C的准线的距离，所以，

则，即，.

，即，

解得或，则或.

故点D的坐标为或.