2022-2023学年宁夏银川市第六中学高二下学期期末数学（理）试题含答案

2022-2023学年宁夏银川市第六中学高二下学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．已知点P的直角坐标为则它的极坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据点的直角坐标系求出，再由，即可求出，从而得到点的极坐标.

【详解】由于点的直角坐标为，则，

再由，结合选项可得：，所以点的极坐标为.

故选：B.

2．若直线的参数方程为（为参数），则其倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出直线的斜率，结合诱导公式可求得该直线的倾斜角.

【详解】由题意可知，直线的斜率为，

所以，该直线的倾斜角为，

故选：B.

3．已知二项式展开式的二项式系数和为，则展开式中的常数项为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用展开式二项式系数和求出的值，然后写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.

【详解】二项式展开式的二项式系数和为，可得，

所以，二项式展开式的通项为，

令，可得，则展开式中常数项为.

故选：D.

4．下列说法正确的是（    ）

A．已知一组数据的方差为10，则的方差为12

B．已知变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是

C．已知随机变量服从正态分布，若，则

D．已知随机变量服从二项分布，若，则

【答案】C

【分析】直接利用均值和方差的关系式及正态分布的性质判断、、、的结论．

【详解】对于A：已知一组数据的方差为10，则的方差为，故A错误；

对于B：对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，故，解得，故B错误；

对于C：已知随机变量服从正态分布，若，则，故C正确；

对于：已知随机变量服从二项分布，所以，若，则，故D错误．

故选：C．

5．某家庭有三个孩子，假定生男孩和生女孩是等可能且相互独立的．记事件A：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩；则下列说法中正确的是（    ）

A．事件与事件互斥但不对立 B．事件A与事件互斥且对立

C．事件与事件相互独立 D．事件A与事件相互独立

【答案】D

【分析】先列出生3个小孩包含的基本事件数及事件A，事件B，事件C，包含的基本事件数，再利用互斥，对立和独立事件所满足的关系，对四个选项一一作出判断.

【详解】生3个小孩的总事件包含（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共8个基本事件，

事件A包含（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），共6个基本事件，

事件B包含（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共4个基本事件，

事件C包含（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），共4个基本事件，

A选项，因为，，所以事件与事件互斥且对立，A错误；

B选项，因为，所以事件A与事件B不互斥，不对立，B错误；

C选项，因为，所以，又，故，故事件与事件不独立，C错误；

D选项，因为有3个基本事件，所以，又，

所以，D正确.

故选：D

6．某射手射击所得环数的分布列如下表：

已知的数学期望，则的值为（    ）

A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.3

【答案】C

【分析】根据分布列的性质和数学期望公式列方程组可求出结果.

【详解】由表格可知，,解得.

故选：C

7．现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下事件发生的概率即（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别求出，，根据条件概率的计算公式即可求得答案.

【详解】由题意可得A表示事件“抽到两名同学性别相同”，

则,

表示事件“抽到两名女同学”，则,

故,

故选：A

8．(2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标为

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：根据，得：解得，选A.

【解析】极坐标

9．表示（　　）

A．一个圆 B．一个圆与一条直线

C．两个圆 D．两条线

【答案】B

【分析】根据已知条件，解得或，再结合极坐标公式，即可求解．

【详解】∵，解得或，

∵,∴或．

故表示一个圆与一条直线.

故选：B．

10．在的展开式中，的系数为（    ）

A．12 B． C．6 D．

【答案】D

【分析】根据题意，由二项式的展开式可得只有中的与中的相乘才会得到，然后代入计算，即可得到结果.

【详解】因为，

所以只有中的与中的相乘才会得到，

即，所以的系数为.

故选:D.

11．在极坐标系中，圆：上到直线：距离为1的点的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，再判断圆心到直线的距离，即可得解.

【详解】由，则直线：，即直线：，

圆：，即，

即，所以，

即，所以圆的方程为，圆心为，半径，

圆心到直线的距离，因为，

故圆上有2个点到距离为1，

故选：B．

12．“校本课程”是现代高中多样化课程的典型代表，自在进一步培养学生的人文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，艺术科组准备了学生喜爱的中华文化传承系列的校本活动课：创意陶盆，拓印，扎染，壁挂，的纸五个项目供同学们选学，每位同学选择1个项目．则甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有（    ）

A．360种 B．480种 C．720种 D．1080种

【答案】B

【分析】分为恰有2名学生所选的课相同，以及4名学生所选的课全不相同两种情况，分别计算求解得出，相加即可得出答案.

【详解】①恰有2名学生选课相同，

第一步，先将选课相同的2名学生选出，有种可能；

第二步，从5个项目中选出3个排序，有．

根据分步计数原理可得，方法有种；

②4名学生所选的课全不相同的方法有种．

根据分类加法计数原理可得，

甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有种．

故选：B.

二、填空题

13．已知随机变量，且，则           .

【答案】

【分析】根据二项分布的期望与方差公式计算可得.

【详解】因为随机变量，且，

即，解得，所以.

故答案为：

14．已知，则      ．

【答案】6

【分析】利用排列数公式求解.

【详解】因为，

所以，

即，

解得（舍去）．

故答案为：6.

15．若，则        .

【答案】

【分析】求得二项式展开式的通项公式，得到，令，即可求解.

【详解】二项式展开式的通项公式为，

所以，

令，可得.

故答案为：.

16．假设云南省40万学生数学模拟考试的成绩近似服从正态分布，已知某学生成绩排名进入全省前9100名，那么该生的数学成绩不会低于            分.（参考数据：，）

【答案】118

【分析】求出从40万名学生任取1名，成绩排名在前9100名的概率，再利用正态分布的对称性求出对应分数作答.

【详解】从40万名学生任取1名，成绩排名在前9100名的概率为，

因为成绩近似服从正态分布，则，，

，

显然，从而数学成绩大于等于118分的人数恰好为，

所以要进入前9100名，成绩不会低于118分.

故答案为：118

三、解答题

17．已知甲､乙､丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响.

(1)求甲､乙､丙都通过测试的概率：

(2)求甲､乙､丙至少有一人通过测试的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用独立事件的乘法公式可得答案；

（2）利用独立事件的乘法公式、对立事件概率计算公式可得答案.

【详解】（1）甲、乙、丙都通过测试的概率为；

（2）甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为.

18．5G技术对社会和国家十分重要.从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命､电气革命和计算机革命后的第四次工业革命，某科技集团生产，两种5G通信基站核心部件，下表统计了该科技集团近几年来在部件上的研发投入（亿元）与收益（亿元）的数据，结果如下：

(1)利用样本相关系数说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性）：

(2)求出关于的经验回归方程，若要使生产部件的收益不低于15亿元，估计至少需要投入多少研发资金？（精确到0.001亿元）

附：样本相关系数，回归直线方程的斜率，截距.

【答案】(1)可以用线性回归模型拟合与的关系，且认为两个变量有很强的线性相关性

(2)

【分析】（1）计算出，，，，，求出可得答案；

（2）利用（1）求出关于的经验回归方程可得答案.

【详解】（1），，

，

，

，

所以，

所以可以用线性回归模型拟合与的关系，且认为两个变量有很强的线性相关性；

（2），所以，

所以关于的经验回归方程为，

由得，

若要使生产部件的收益不低于15亿元，估计至少需要投入亿元.

19．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），点．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线l的极坐标方程为．

(1)写出曲线的极坐标方程；

(2)若l与，分别交于A，B（异于原点）两点，求△PAB的面积．

【答案】(1)

(2)5

【分析】（1）由参数方程可得，，进而即可推得，根据公式即可得出曲线的极坐标方程；

（2）将分别代入，的极坐标方程得出，，进而得出弦长.然后求出点到射线的距离，即可得出答案.

【详解】（1）由的参数方程得，，

所以.

又，，所以，

所以的极坐标方程为.

（2）将代入曲线的极坐标方程可得，

将代入曲线的极坐标方程可得，

所以.

又射线l的直角坐标方程为，即为，

所以点到射线的距离为，

所以.

20．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点，曲线的极坐标方程为，过点作直线的垂线，分别交曲线于，两点.

（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；

（2）若，，成等比数列，求实数的值.

【答案】（1） ；（2）

【分析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式来求解；

（2）根据，，成等比数列，建立等量关系，利用参数的几何意义求解.

【详解】（1）由，得.

得曲线的直角坐标方程为

的直角坐标为

又直线的斜率为1.且过点.故直线的直角坐标方程为

（2）在直角坐标系中，直线参数方程为（为参数）.

代入得

，，即

，解得

，

【点睛】本题主要考查参数方程和极坐标，极坐标与直角坐标的相互转化要熟记公式，利用参数的几何意义能简化求解过程.

21．为了了解中学生是否有运动习惯，我校以高一新生中随机抽取了100人，其中男生40人，女生60人，调查结果显示，男生中只有表示自己不喜欢运动，女生中有32人不喜欢运动，为了了解喜欢运动与否是否与性别有关，构建了列联表：

(1)请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为“喜欢运动”与性别有关.

(2)从男生中按“是否喜欢运动”为标准采取分层抽样方式抽出10人，再从这10人中随机抽出2人，若所选2人中“不喜欢运动”人数为，求分布列及期望.

附：，

【答案】(1)列联表见解析；有把握认为“喜欢运动”与性别有关

(2)分布列见解析；

【分析】（1）根据卡方的计算即可求解，

（2）根据超几何分布的概率公式即可求解概率，

【详解】（1）

，有把握认为“喜欢运动”与性别有关.

（2）抽出的10人中，2人不喜欢运动，8人喜欢运动，所以的可能取值为，

，

，

，

所以分布列为

.

22．某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有次选题答题的机会，选手累计答对题或答错题即终止其初赛的比赛，答对题者直接进入决赛，答错题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为．

(1)求选手甲可进入决赛的概率；

(2)设选手甲在初赛中答题的个数为，试写出的分布列，并求的数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）由于答对题者直接进入决赛,故可分为三类：一类是三题全对；一类是答题，前题错一题，第题答对；一类是答题，前题错两题，第题答对，故可求求选手甲可进入决赛的概率；

（2）依题意，的可能取值为，，，利用独立重复试验的概率公式分别求出相应的概率，从而得出的分布列，进而的数学期望.

【详解】（1）解：选手甲答道题可进入决赛的概率为；

选手甲答道题可进入决赛的概率为；

选手甲答道题可进入决赛的概率为；

∴选手甲可进入决赛的概率．

（2）解：依题意，的可能取值为，，．

所以，

，

，

所以的分布列为

．