2022-2023学年四川省宜宾市高二下学期期末数学（理）试题含答案

这是一份2022-2023学年四川省宜宾市高二下学期期末数学（理）试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知是虚数单位，复数满足，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数模的计算公式，即可求解.
【详解】由复数满足，可得，所以.
故选：B.
2．已知命题，，则命题为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题：“，”
则命题为“，”.
故选：A.
3．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用导数的运算法则可判断C选项；利用基本初等函数的导数公式可判断AB选项；利用复合函数的求导法则可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：C.
4．下图是我国2012-2018年眼镜及其零件出口金额柱状图及同比增速折线图，则下列说法正确的是（ ）

A．2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额逐年增加
B．2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额的极差为16.41
C．2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速逐年减少
D．2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速最大的是2013年
【答案】D
【分析】根据出口金额柱状图及同比增速折线图逐项判断.
【详解】根据出口金额柱状图及同比增速折线图，
可看出我国眼镜及其零件出口金额在2016年出现减少，选项A错误；
2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额的极差为
，选项B错误；
2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速先减少，再增加，
后又减少，选项C错误；
从图中可知，2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速最大的是2013年，
为，选项D正确.
故选：D
5．已知为函数图象上一点，则曲线在点处切线斜率的最小值为（ ）
A．1B．C．D．4
【答案】C
【分析】求出函数的导函数，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】函数定义域为，
，当且仅当，即时取等号，
所以曲线在点处切线斜率的最小值为.
故选：C
6．数据与有较强的线性相关关系，通过计算得到关于的线性回归方程为，经过分析、计算得，则样本点的残差为（ ）
A．B．C．D．64.5
【答案】A
【分析】先根据线性回归方程过样本中心点求出，再求出观测值，再根据残差得定义即可得解.
【详解】由题意可得，解得，
所以，
当时，，
所以样本点的残差为.
故选：A.
7．设随机变量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二项分布的方差公式求出的值，再利用方差的性质可求得的值.
【详解】因为随机变量，则，
又因为，则.
故选：D.
8．某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（ ）附：若，则，，.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出、的值，结合原则可求得的值，乘以可得结果.
【详解】因为，，则，，
则
，
因此，估计单果质量在范围内的大枣个数约为个.
故选：A.
9．函数的部分图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再取特殊值分析判断即可
【详解】函数的定义域为，
因为，所以为偶函数，
所以的图象关于轴对称，所以排除BC，
因为，所以排除D，
故选：A
10．设，是椭圆上的两个点，且为坐标原点)，则的最大值和最小值的积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，利用极坐标中的几何意义结合三角变换求解即可求解即可.
【详解】以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
则椭圆的极坐标方程为，
设，则
，
当时，的最大值为，则的最大值为；
当时，的小值为，则的最小值为；
所以的最大值和最小值的乘积为.
故选：D
11．某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将与捆绑，然后要求在的左边，在的右边，结合倍缩法可得结果.
【详解】由题意可知，与相邻，则将与捆绑，
然后要求在的左边，在的右边，
由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种.
故选：C.
12．已知，，，则，，的大关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，求导得出函数的单调区间，即可比较；构造函数，求导得出函数的单调区间，即可比较，即可得解．
【详解】由条件知，，
设，，
则，所以函数在上单调递增，
于是，即，
所以，
设，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，当时取等号，
所以，得到，所以．
故选：C
二、填空题
13．在的展开式中，的系数为 ．
【答案】10
【分析】根据二项式定理写出通项公式，令即可求的系数.
【详解】展开式的第项为，
令，则.
故答案为：10
14．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲、乙等4名志愿者将分别安排到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每个场地至少安排一名志愿者，且每名志愿者只能去一个场地服务，则甲、乙两名志愿者在同一个场地服务的概率为 ．
【答案】
【分析】根据题意，先将4人分为三组，再计算得出甲乙在同一个场地的情况，利用古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】根据题意，先将4人分为三组，共有种分法，
在将三组分段三个不同的场地，共有种分法，
由分步计数原理得，共有种不同的情况，
又由甲乙两名志愿者在同一场地服务，共有种情况，
则甲乙两面志愿者在同一场地服务的概率为.
故答案为：
15．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2023年为癸卯年，则3023年为 年．
【答案】癸未
【分析】分析天干与地支的相配原则可知天干地支纪年法以为周期，依次将十天干、十二地支标序号，2023年可记为，而由天干地支的循环可算出对应第40年的天干与地支.
【详解】将天干按顺序依次排列，十个一组；将地支也一样排列十二个一组，由此可知天干地支纪年法以为周期.
不妨给十天干与十二地支依次标号：
将甲子年记为，乙丑年记为
则2023年可以记为，而，
可知对应天干还是第10号；
可知对应地支为第8号，
则3023年为癸未年.
故答案为：癸未.
16．已知，且对都有成立，则实数的范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意转化为即对恒成立，令，利用导数求得函数的单调区间，得到，令，由在单增，结合，故使得，进而得到答案.
【详解】由题意，函数，
要使得，即，即对恒成立，
即对恒成立，
令，可得，
当时，，单调递增；当时，，单调递增，
所以函数在单增，在单减，
所以，即，当且仅当时，等号成立，
令，因为在单增，
且，故使得，即，
即，
即，所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
三、解答题
17．已知函数
(1)求的极值；
(2)过坐标原点作曲线的切线，求切点坐标.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由，求导再利用极值的定义求解；
（2）设切点坐标为有，再利用导数的几何意义求解；
【详解】（1）解：因为，
所以
则的单调增区间为，的单调减区间为，
所以，；
（2）设切点坐标为则①，
由得：则
由，，得：则.②，
由①②得，
即，
即，若，此时，则该方程无实数根，若，解得，
综上，代入得，
所以切点坐标为
18．如图，在四棱锥中，底面是一个边长为的菱形，且，侧面是正三角形.

(1)求证：；
(2)若平面平面，求平面与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接、、，证明出平面，再由线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）推导出平面，然后以点为坐标原点，、、的正方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得平面与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）证明：取的中点，连接、、.

底面是一个边长为的菱形，且，则，是正三角形，
为的中点，，
是正三角形，为的中点，，
，、平面，平面，
平面，.
（2）解：由（1）知，，
当平面平面时，平面平面，平面，
平面，又，
以为坐标原点，、、的正方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系.

则、、、、、，
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，，，
则，令，可得，
所以，，
则，
平面与平面所成角的正弦值为.
19．四川2022年启动新高考，2025年实行首届新高考，新高考采用“3+1+2”模式.“3”为语文、数学、外语3门全国统一考试科目，不分文理科；“1”为在物理、历史2门选考科目中自主选择1门；“2”为从思想政治、地理、化学、生物4门选考科目中自主选择2门.
某校2022级高一学生选科情况如下表：
(1)完成下面的列联表，并判断能否有99％的把握认为“选择物理与学生的性别有关”？
(2)在新高考中，数学学科有如下变化：数学增加了多选题，选择题部分的结构为：第1至第8题为单选题，单选每题选对得5分，选错或不选得0分；第9至第12题为多选题，每道多选题共有4个选项，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.
若在某次数学考试中，第11题正确选项为ABD，第12题正确选项为CD.某考生因找不到第11题、12题的解题思路和方法，只能对这2道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.此考生针对11、12题两道有难度的多选题，为避免得零分，采取了保守的方案，即每题均随机选取一项，求该考生11题和12题得分之和的数学期望.
附表及公式：
【答案】(1)不能有99％的把握认为“选择物理与学生的性别有关”
(2)
【分析】（1）根据题意得出的列联表，求得，结合附表，即可求解；
（2）根据题意，得出随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.
【详解】（1）解：依题意可得的列联表
可得，
所以不能有99％的把握认为“选择物理与学生的性别有关”
（2）解：根据题意，可得得分的随机变量的可能取值为0，2，4，
则，，
，
所以随机变量的的分布列为：
则随机变量的期望为.
20．已知椭圆的焦距为，为坐标原点，椭圆的上下顶点分别为，左右顶点分别为，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于（不同于）两点，问：是否存在实数使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，使得.
【分析】（1）根据给定条件，列出关于的方程组，求解方程组作答.
（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式推理计算作答.
【详解】（1）依题意，，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，
显然直线不垂直于y轴，设其方程为，，
由消去x并整理得，则，，
因为直线的斜率，直线的斜率，而，
因此，
即直线和的斜率之比为定值，于是，，
所以存在，使得.

21．已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)记，若与的图像有两个交点，记交点的横坐标分别为求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，分类讨论得的解集从而得到结果；
（2）根据题意，由有两个零点可得，然后将转化为，，然后利用导数解决恒成立问题即可得证.
【详解】（1）由题得，
因为，令，
①当，即时，
当时；当时，；
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
②当，即时，，
所以函数在上单调递减；
③当，即时，
当时，；当时，；
函数在单调递减，在单调递增；
综上：当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题得，
因为由是函数若与图像的两个交点的横坐标，
所以是函数的两个零点，
故
因为
要证，即证
只需证
因为令则证明
令对是恒成立，
所以在单调递减，，即恒成立，
故成立.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于通过构造函数将证明转化为证明，，应用导数求出函数值范围即可得到结果.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
(2)已知点，曲线与曲线交于，两点，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，结合极坐标方程与直角坐标方程互化公式进行求解即可.
（2）根据直线参数方程中参数的几何意义进行求解即可.
【详解】（1）由题可知：，，
所以的普通方程为
又，即的直角坐标方程为：
（2）由（1）可知，的参数方程为：，
代入中有：，
即，即，
所以
23．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)已知函数的最小值为，且，，都是正数，，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分类讨论去掉绝对值解不等式即可；
（2）根据绝对值的三角不等式求出，再由“1”的技巧及均值不等式证明.
【详解】（1）当时，，解得；
当时，则有，解得；
当时，，解得.
综上所述，不等式的解集为.
（2）证明：由绝对值三角不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，故，
所以，
又因为，，均为正数，
所以，
当且仅当时，等号成立，故.
选科组合
物化生
物化政
物化地
史政地
史政生
史化政
总计
男
180
80
40
90
30
20
440
女
150
70
60
120
40
20
460
总计
330
150
100
210
70
40
900
选择物理
不选物理
总计
男
女
总计
0.15
0.1
0.05
0.01
2.072
2.706
3.841
6.635
选择物理
不选择物理
合计
男
300
140
440
女
280
180
合计
580
320
900
0
2
4