2022-2023学年吉林省白城市通榆县第一中学校高二下学期期末考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年吉林省白城市通榆县第一中学校高二下学期期末考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知随机变量的分布列如表：
则实数（ ）
A．0.05B．0.15C．0.25D．0.35
【答案】C
【分析】由随机变量的分布列的性质可得.
【详解】由随机变量的分布列的性质知，解得.
故选：C.
2．若名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这个兴趣小组，每人选报组，则不同的报名方式有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】D
【分析】分析可知每个人都有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果.
【详解】名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这个兴趣小组，每人选报组，
每个人都有种选择，则不同的报名方式种数为种.
故选：D.
3．在如图所示的散点图中，若去掉点，则下列说法正确的是（ ）

A．样本相关系数变大
B．变量与变量的相关程度变弱
C．变量与变量呈正相关
D．变量与变量的相关程度变强
【答案】D
【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可.
【详解】由散点图知，自变量与因变量呈负相关，即，故C错误；
去掉点后，进一步接近1，所以变小，故A错误；
去掉点后，与的线性相关加强，即相关程度变强，故B错误，D正确．
故选：D．
4．一面国旗燃起青春的向往，一身戎装肩负国家的担当.6名学生（含甲、乙）决定参军报国，不负韶华，报名前6人排成一排拍照，则甲、乙两人不相邻的不同的排法有（ ）
A．960种B．480种C．288种D．144种
【答案】B
【分析】应用插空法，结合分步原理，先排不含甲、乙的4人，再将甲、乙插入4人所成列的5个空中，利用排列数求排法数即可.
【详解】先将不含甲、乙的4人排列，有种，再在4人之间及首尾5个空位中任选2个空位安排甲、乙，有种，
所以甲、乙两人不相邻的不同的排法有（种）．
故选：B
5．某市组织高二学生统一体检，其中男生有10000人，已知此次体检中高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，统计结果显示高二男生中身高高于180cm的概率为0.32，则此次体检中，高二男生身高不低于170cm的人数约为（ ）
A．3200B．6800C．3400D．6400
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出高二男生身高不低于170cm的概率，即可计算作答.
【详解】因为高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，且，
于是，因此，
所以高二男生身高不低于170cm的人数约为.
故选：B.
6．已知随机变量，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二项分布的性质结合已知条件列方程求解即可
【详解】因为随机变量，所以，，
因为，所以，解得，或（舍）．
故选：C．
7．某防空导弹系统包含3辆防空导弹发射车，其中8联装，6联装，4联装防空导弹发射车各1辆，当警戒雷达车发现敌机后通知指挥车，指挥车指挥防空导弹发射车发射导弹，每次只选择1辆防空导弹发射车.已知指挥车指挥8联装，6联装，4联装防空导弹发射车发射导弹的概率分别为0.5，0.3，0.2，且8联装，6联装，4联装防空导弹发射车命中敌机的概率分别为0.8，0.6，0.4.在某次演习中警戒雷达车发现一架敌机，则此防空导弹系统发射导弹命中敌机的概率为（ ）
A．0.66B．0.58C．0.45D．0.34
【答案】A
【分析】根据全概率公式计算即可.
【详解】由全概率公式，得此防空导弹系统发射导弹命中敌机的概率为.
故选：A.
8．元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有15个大小和形状均相同的小球，其中白球10个，红球5个，每次摸出2个球．若摸出的红球个数为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知的可能取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出，再利用期望的性质可求得结果.
【详解】的可能取值为0，1，2，则
，，，
所以，
故．
故选：A．
二、多选题
9．已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在处取得极小值D．在处取得极大值
【答案】ACD
【分析】根据导函数与函数的单调性和极值的关系求解.
【详解】当时，单调递增，
由图可知时，，单调递增，故A正确；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，故B错误；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，故C正确；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，故D正确.
故选：ACD.
10．已知，且，，则下列式子不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据排列组合的公式逐个分析判断.
【详解】对于A，，故A不正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选：AB．
11．已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则（ ）
A．
B．的展开式中有理项有5项
C．的展开式中偶数项的二项式系数和为512
D．除以9余8
【答案】ABD
【分析】由二项式系数的概念与组合数的性质可判断A；由二项式的通向结合有理项的概念判断B；由偶数项的二项式系数和判断C；由二项式定理判断D
【详解】对于，因为第4项与第7项的二项式系数相等，所以，
由组合数的性质知，故A正确；
对于，在的展开式中，令，得，
所以，
所以的二项式通项为.
由为整数，得，
所以展开式中有理项有5项，故B正确；
对于，展开式中偶数项的二项式系数和为，故错误；
对于D，由B知，则
，
所以除以9余8，故D正确.
故选：ABD.
12．有一座高度是10级（第1级~第10级）台阶的楼梯，小明在楼梯底部（第0级）从下往上走，每跨一步只能向上1级或者向上2级，且每步向上1级与向上2级的概率相同，设第n步后小明所在台阶级数为随机变量，则（ ）
A．B．
C．D．中最大
【答案】ABD
【分析】每步向上1级与向上2级的概率都是，求出第n步后小明所在台阶级数随机变量的概率，即可判断A、C、D的正误，再计算，可得B正确.
【详解】小明每步向上1级与向上2级的概率都是，表示跨2步到达第2级台阶，
所以每步向上1个台阶，，故A正确；
的所有可能取值为2，3，4，，，
，所以，故B正确；
表示跨4步到达第6级台阶，所以有2步每步向上1个台阶，
有2步每步向上2个台阶，；
表示跨4步到达第7级台阶，所以有1步向上1个台阶，有3步每步向上2个台阶，
，故C错误；
由题意，表示跨5步到达第10级台阶，所以每步向上2个台阶，，
表示跨6步到达第10级台阶，所以有2步每步向上1个台阶，有4步每步向上2个台阶，
，以此类推可得，
，，
，其中最大，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
13．在密室逃脱游戏中，小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为．事件A表示小明第一关闯关成功，事件表示小明第二关闯关成功，则 ．
【答案】/0.8
【分析】根据条件概率的计算公式，即可得答案.
【详解】由题意，得，，所以，
故答案为：
14．牛膝是苋科多年生药用草本植物，具有活血通经、补肝肾、强筋骨等功效，可用于治疗腰膝酸痛等症状．某农户种植牛膝的时间（单位：天）和牛膝的根部直径（单位：）的统计表如下：
由上表可得经验回归方程为，若此农户准备在时采收牛膝，据此模型预测，此批牛滕采收时间预计是第 天．
【答案】110
【分析】由表格求出中心点坐标从而得出，利用回归直线估计即可.
【详解】，，
又过点，所以，即，
当时，，所以此批牛膝采收时间预计是第110天．
故答案为：110
15．的展开式中的系数是 .
【答案】
【分析】求出通项公式，赋值计算即可.
【详解】的展开式中通项是（，），
的展开式中通项是（，），
所以中通项为（，）
，令，则，或，或，或，，
所以的系数是.
故答案为：
16．已知数列满足，且，若，则数列的前n项和 ．
【答案】
【分析】利用累乘法求得，可得，再利用裂项相消法得答案.
【详解】由，得，，…，（），
以上各式相乘，得（），
又，所以（），
当时，，满足上式，所以，
，
所以．
故答案为：.
四、解答题
17．部队是青年学生成长成才的大学校，是砥砺品格、增强意志的好课堂，是施展才华、成就事业的大舞台，国防和军队现代化建设迫切需要一大批有责任、敢担当的有志青年携笔从戎、报效祖国．为响应征兵号召，某高等院校7名男生和5名女生报名参军，经过逐层篮选，有5人通过入伍审核．
(1)若学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？
(2)若至少有2名女生通过入伍审核，但入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？
【答案】(1)120
(2)596
【分析】（1）根据组合数计算即可；
（2）利用组合数公式分类讨论计算即可，
【详解】（1）因为学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，
所以从学生甲和乙以外的10人中任选3人，
所以所有的可能结果有种．
（2）从12人中任选5人的所有可能结果有种，
选出的5人中没有女生所有可能结果有种，
选出的5人中有1名女生所有可能结果有种，
所以至少有2名女生被选出的选法数为种．
18．已知数列是公差不为零的等差数列，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列性质得到，解得答案.
（2）利用分组求和法结合等差等比数列求和公式计算即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
因为成等比数列，所以，
解得或（舍去）.
故.
（2）由（1）可得，
故
19．牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，T骨牛排，某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取100盒，利用牛排的分类标准得到的数据如下：
(1)用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，再从抽取的10盒牛排中随机抽取4盒，求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率；
(2)若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取3盒，若X表示抽到的菲力牛排的数量，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）先根据分层抽样分别求出T骨牛排和非T骨牛排的和数，再利用古典概型求解即可；
（2）先求出从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的概率，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的分布列及期望公式求解即可.
【详解】（1）用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，
其中T骨牛排有3盒，非T骨牛排有7盒，
再从中随机抽取4盒，设恰好有2盒牛排是T骨牛排为事件A，
则；
（2）这100盒牛排中菲力牛排有20盒，所以菲力牛排的频率为，
设从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的事件为B，
将频率视为概率，用样本估计总体可得，
从这批牛排中随机抽取3盒，抽到的菲力牛排的数量X满足，
，
．
所以X的分布列为
所以．
20．设各项都是正数的数列的前项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系计算即可；
（2）利用错位相减法计算即可.
【详解】（1）已知，得，
两式作差，得，即．
又数列的各项都是正数，所以，所以，
显然数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以．
（2）由（1）得，
所以，①
．②
①－②，得
，
所以．
21．2022年5月14日6时52分，编号为B-001J的C919大飞机从上海浦东机场第4跑道起飞，于9时54分安全降落，标志着中国商飞公司即将交付首家用户的首架C919大飞机首次飞行试验圆满完成．C919大飞机某型号的精密零件由甲、乙制造厂生产，产品按质量分为，，三个等级，其中，等级的产品为合格品，等级的产品为不合格品．质监部门随机抽取了甲、乙制造厂的产品各400件，检测结果为：甲制造厂的合格品为380件，甲、乙制造厂的级产品分别为80件、100件，两制造厂的不合格品共60件．
(1)补全下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品的合格率与制造厂有关？
(2)若每件产品的生产成本为200元，每件，等级的产品出厂销售价格分别为400元、320元，等级的产品必须销毁，且销毁费用为每件20元．用样本的频率代替概率，试比较甲、乙制造厂生产1件这种产品的平均盈利的大小．
附：
【答案】(1)表格见解析，认为产品的合格率与制造厂有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
(2)甲制造厂生产1件这种产品的平均盈利比乙制造厂大．
【分析】（1）卡方计算求解，然后比对做出判断即可；
（2）列出、的分布列，然后求解期望值比较；
【详解】（1）列联表如下
零假设为：产品的合格率与制造厂无关，
因为，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品的合格率与制造厂有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）对于甲制造厂，抽到的400件产品中有等级产品80件，等级产品300件，等级产品20件，设生产一件产品的利润为元，则可能取得的值为200，120，．
，
的分布列为
所以．
对于乙制造厂，抽到的400件产品中有等级产品100件，等级产品260件，等级产品40件，设生产一件产品的利润为元，则可能取得的值为200，120，．
，
的分布列为
所以．
因为，所以甲制造厂生产1件这种产品的平均盈利比乙制造厂大．
22．已知函数在处的切线与直线：垂直．
(1)求的单调区间；
(2)若对任意实数，恒成立，求整数的最大值．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为．
(2)1
【分析】（1）利用导数的几何意义得出，再利用导数判断单调区间即可；
（2）分离参数将问题转化为恒成立，利用导数求最值结合隐零点计算即可.
【详解】（1）由，得，又切线与直线：垂直，所以，即．
所以，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）对任意实数，恒成立，
即对任意实数恒成立．
设，即．
，令，
所以恒成立，所以在上单调递增．
又，，所以存在，使得，
即，所以．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以
，
当时，，
所以，由题意知且
所以，即整数的最大值为1．
1
2
3
4
0.15
0.35
0.25
20
30
40
50
60
0.8
1.3
2.2
3.3
4.5
牛排种类
菲力牛排
肉眼牛排
西冷牛排
T骨牛排
数量/盒
20
30
20
30
X
0
1
2
3
P
合格品
不合格品
合计
甲制造厂
400
乙制造厂
400
合计
800
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
合格品
不合格品
合计
甲制造厂
380
20
400
乙制造厂
360
40
400
合计
740
60
800
200
120
0.2
0.75
0.05
200
120
0.25
0.65
0.1