2022-2023学年云南省元谋县第一中学高二下学期数学期末模拟（六）试题含答案

这是一份2022-2023学年云南省元谋县第一中学高二下学期数学期末模拟（六）试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求得集合和集合，再根据集合的并运算即可求解.
【详解】因为，，
所以.
故选：A
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出复数，进而求出.
【详解】由，得，所以
故选：D
3．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出甲、乙两名同学各从4门校本劳动选修课程任选2门的选法种数，再求出甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法种数，进而由古典型概率的计算公式可求得结果.
【详解】甲、乙两名同学各从4门校本劳动选修课程任选2门的选法共有种；
其中，甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法共有种，
所以，甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率.
故选：C.
4．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设圆锥底面圆半径为，球的半径为，根据题意画出图形，结合图形求出与的关系，再计算球与圆锥的表面积和它们的比值.
【详解】设圆锥底面圆半径为，球的半径为，
由题意知，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，
球的大圆是该等边三角形的内切圆，
所以，，
，
所以球与圆锥的表面积之比为
故选：B
【点睛】本题考查了球的内切问题，考查了球的表面积公式、圆锥的表面积求法，需熟记公式，属于基础题.
5．若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
6．已知为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由求出，从而可求得，然后再利用正切的二倍角公式求出，再利用两角差的正切公式可求得结果.
【详解】因为为锐角，所以.
由可得，
则，
又，
故
，
故选：A.
7．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题可得最长弦为直径，最短弦为过且与最长弦垂直的弦，据此可得答案.
【详解】设圆圆心为M，则圆M：，则，半径为.如图，最长弦为过的直径，长度为10.最短弦为过且与最长弦垂直的弦，设E，则由垂径定理可得，.
又，则.
又，则四边形的面积为：.
故选：C

8．若函数有两个极值点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由极值点定义确定的关系，化简，由此求的范围.
【详解】因为函数有两个极值点，
又函数的定义域为，导函数为，
所以方程由两个不同的正根，且为其根，
所以，，，
所以，
则
，
又，即，可得，
所以或（舍去），
故选：C.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强
B．若，若函数为偶函数，则
C．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验（ ），可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05
D．已知，，若，则
【答案】BCD
【分析】根据相关系数的含义判断A；根据正态分布的对称性判断B；根据独立性检验的原理可判断C；根据条件概率的概率公式结合对立事件的概率公式判断D.
【详解】对于A，相关系数，且越接近于1，相关程度越大，
反之两个变量的线性相关性越弱，A错误；
对于B，函数为偶函数，则，
即，
又，故区间与关于对称，
所以，B正确；
对于C，因为，故可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05，C正确；
对于D，由，，，
可得,故,
则，则，D正确，
故选：BCD
10．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若为椭圆，则B．若为双曲线，则或
C．曲线可能是圆D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
【答案】BC
【分析】分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可
【详解】若为椭圆，则 ，且 ，故A错误
若为双曲线，则 ， ，故B正确
若为圆，则 ， ，故C正确
若为椭圆，且长轴在轴上，则 ， ，故D错误
故选：BC
11．已知函数在处取得极小值，与此极小值点最近的图象的一个对称中心为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象
C．在区间上单调递减D．在区间上的值域为
【答案】ACD
【分析】利用三角函数的图象性质以及图象的平移变换即可一一判断求解.
【详解】第一步：根据余弦函数的图象与性质求出，，的值，判断A选项
A选项：由题知，，
设的最小正周期为，
则，∴，∴.（三角函数图象的相邻对称中心与对称轴之间的距离为，其中为该三角函数的最小正周期）
∵，
∴，则，
得，（整体思想）
又，∴，
∴，故A正确；
第二步：利用三角函数图象的平移变换法则判断B选项
B选项：的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，
故B错误；
第三步：利用整体思想及余弦函数的图象与性质判断C，D选项
C选项：由得，则在区间上单调递减，
故C正确；
D选项：∵，∴，∴，
∴，
∴在区间上的值域为，故D正确.
故选:ACD.
12．正多面体因为均匀对称的完美性质，经常被用作装饰材料.正多面体又叫柏拉图多面体，因古希腊哲学家柏拉图及其追随者的研究而得名.最简单的正多面体是正四面体.已知正四面体的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）
A．异面直线与所成角为
B．点到平面的距离为
C．四面体的外接球体积为
D．四面体的内切球表面积为
【答案】BCD
【分析】由题画出图形，证明，可知A错；直接求出到平面的距离判断B；求出正四面体外接球的半径，进一步求得外接球的体积判断C；根据图形，得出正四面体的内切球半径，进一步求得内切球的表面积判断D.
【详解】
由题意，四面体为正四面体，
取底面的中心为，连接并延长，交于，
则为的中点，且，
连接，则平面，又平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以，故A错；
由四面体的所有棱长为，得，又，
，故B正确；
设四面体的外接球的球心为，半径为，
连接，则，解得，
则四面体的外接球的体积为，故C正确；
根据对称性，正四面体的外接球和内切球球心均是，
设正四面体内切球半径为，则，
又，，
所以,
则四面体的内切球表面积为.故D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．已知向量，，，若∥，则 .
【答案】21
【分析】先由∥，列方程求出，然后求出的坐标，再利用数量积的坐标运算可求得结果.
【详解】因为，，∥，
所以，解得，所以，
所以，
所以，
故答案为：21.
14．某市举行“中学生诗词大赛”，某校有1000名学生参加了比赛，从中抽取100名学生，统计他们的成绩（单位：分），并进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），得到的频率分布直方图如图所示，则估计该校学生成绩的80%分位数为 .
【答案】122.
【解析】通过计算成绩在130分以下的学生和成绩在110分以下的学生所占比例，确定80%分位数所在位置，利用比例求解即可.
【详解】根据频率分布直方图可知，成绩在130分以下的学生所占比例为，
成绩在110分以下的学生所占比例为，
因此80%分位数一定位于内，
由，故可估计该校学生成绩的80%分位数为122.
故答案为：122
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用和分位数的计算，考查学生分析数据的能力，属于中档题.
15．在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为 .
【答案】135
【分析】根据各项的系数之和为512得到，解得，然后利用通项公式求常数项即可.
【详解】因为二项式的展开式中，各项的系数之和为512，所以令，得，解得.又因为的展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中常数项为.
故答案为：135.
16．已知过抛物线的焦点F且互相垂直的直线分别交抛物线于点A，B和点C，D，线段AB，CD的中点分别为P，Q，则的最小值为 .
【答案】32
【分析】由题意知直线的斜率均存在且不为零，可设直线的方程为，则直线的方程为，将直线的方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系结合中点坐标公式可表示出点的坐标，同理可求出点的坐标，从而可求出，再利用基本不等式可求出的最小值.
【详解】由题意知直线的斜率均存在且不为零，，因此可设直线的方程为，则直线的方程为.
由，消去x，得.设，则，
所以，将其代入直线的方程，得，故点，
所以，同理可得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为32.
故答案为：32

四、解答题
17．某校为了解学生对体育锻炼时长的满意度，随机抽取了位学生进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占被调查人数的一半，且在回答“满意”的人中，男生人数是女生人数的在回答“不满意”的人中，女生人数占．
(1)请根据以上信息填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生对体育锻炼时长的满意度是否与性别有关
附
参考公式：，其中．
(2)为了解增加体育锻炼时长后体育测试的达标效果，一学期后对这名学生进行体育测试，将测试成绩折算成百分制，规定不低于分为达标，超过的学生达标则认为达标效果显著已知这名学生的测试成绩服从正态分布，试判断该校增加体育锻炼时长后达标效果是否显著
附：若∽，则，，．
【答案】(1)表格见解析，认为学生对于体育锻炼时长的满意度与性别有关
(2)该校增加锻炼时长后达标效果显著
【分析】（１）根据位学生中回答“满意”的人数占被调查人数的一半，且男生人数是女生人数的可得男女生回答“满意”的人数，再根据回答“不满意”的人中，女生人数占补全列联表，再计算卡方判断即可；
（２）根据正态分布，可得，，再根据所给数据结合正态分布的对称性，计算判断即可
【详解】（1）由题意，回答“满意”的人数有人，且男生人数是女生人数的，故回答“满意”的男生有人，回答“满意”的女生有人，回答“不满意”的人中，女生人数，故补充列联表如图：
则，
故认为学生对于体育锻炼时长的满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于
（2）因为学生的测试成绩服从正态分布，所以，，且，
所以
．故该校增加锻炼时长后达标效果显著．
18．已知的内角所对边分别为，且
(1)证明：；
(2)求的最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）将正切化成正弦，化简整理，再利用正弦定理即可得证；
（2）结合（1）及余弦定理化简，再利用基本不等式可求得的最大值，进而得解.
【详解】（1），，
，
由正弦定理可得
（2）由（1）知，则
由余弦定理可得
，当且仅当时，即为正三角形时，等号成立，
由知，为锐角，
所以的最大值为，的最大值为
19．已知等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，若，且，，，成等差数列.
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，数列的前n项和为，数列的前n项和为，求，.
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）由，，成等差数列和，，成等差数列分别列方程，可求出，从而可求出数列，的通项公式；
（2）由（1）可得，然后利用分组求和法结合等比数列的求和公式求，利用裂项相消求和法求.
【详解】（1），，成等差数列，①，
又，，成等差数列，，得②，
由①②得，，
∴，；
（2）由（1）得，
，
又，
.
20．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中 点，，.

(1)求证：平面.
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出 的长：若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，则由三角形中位线定理可得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）由题意可得，，，所以以，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解；
（3）假设存在点，设，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）连接，因为四边形为矩形，所以为的中点，
在中，分别为，的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，，平面，
所以，，
又，所以，
以，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系

则，，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，，
所以平面的一个法向量为，
因为，，，平面，
所以平面
所以平面的一个法向量为
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
（3），，
假设存在点，设，
则，
由（2）知，平面的一个法向量为，
因为与平面所成角的大小为，
所以，
所以，即，所以
故存在满足题意的点，此时.
21．已知椭圆的右焦点为F，点 在椭圆C上，且 三点共线．
(1)若直线的倾斜角为，求的值；
(2)已知点，其中，若直线不与坐标轴垂直，且点B到直线的距离相等，求的值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）求出直线的方程，联立椭圆方程，利用弦长公式即可求得答案.
（2）设直线，由题意可得到直线的斜率互为相反数，表示出直线的斜率分别为，可得，联立直线和椭圆方程，得根与系数关系式，代入中化简求值，可得答案.
【详解】（1）依题意得，直线的方程为，
联立 ，消去y得，
设，则，
则．
（2）由题意直线不与坐标轴垂直，设直线．
由题意知，，且,
故设直线的斜率分别为，则．
因为点B在x轴上，到直线的距离相等,
故直线的斜率互为相反数，得．
因为在直线上，
所以，
则，
联立 ，消去x，得， ，
则，
则，
由于,则，故或（舍去）．
故的值为4．
【点睛】方法点睛：解决此类直线和圆锥曲线相交时的相关问题时，一般方法是设直线方程并和圆锥曲线方程联立，得到根与系数的关系式，由题意得到某个等式，代入化简即可；本题的关键是由题意要能得到直线的斜率互为相反数，即.
22．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.
方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
满意
不满意
合计
男生
女生
合计