2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高二下学期期末考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高二下学期期末考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数是（ ）
A．16B．15C．12D．8
【答案】D
【分析】根据分类加法计数原理即得.
【详解】根据分类加法计数原理，可知共有4+3+1=8种不同的走法．
故选：D.
2．袋中装有11个除颜色外质地大小都相同的球，其中有9个红球，2个黑球．若从中一次性抽取2个球，则恰好抽到1个红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由组合知识求得抽取2球的方法数，由分步计数原理求得抽取的2个球恰好1个红球1个黑球的方法数，然后由概率公式计算．
【详解】．
故选：D．
3．已知随机变量，随机变量，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二项分布的期望和方差公式，结合期望和方差的性质即可求解.
【详解】因为，所以，，
因为，所以，解得，
又，即，解得.
故选：B
4．已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小.
【详解】由题图中的对称轴知：，
与(一样)瘦高，而胖矮，
所以.
故选：C
5．回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如22，575，1661等．那么用数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为（ ）
A．25B．20C．30D．36
【答案】A
【分析】计算出由1个数字组成的4位回文数和由2个数字组成的4位回文数，相加后得到答案.
【详解】1，2，3，4，5可以组成的4位“回文数”中，
由1个数字组成的4位回文数有5个，
由2个数字组成的4位回文数有个，
所以由数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为20+5=25.
故选：A
6．某学校高一、高二、高三的学生人数之比为，这三个年级分别有20%，30%，20%的学生获得过奖学金，现随机选取一名学生，此学生恰好获得过奖学金，则该学生是高二年级学生的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件概率公式计算．
【详解】设事件A为被选到的学生获得过奖学金，事件B为该学生是高二年级学生，则．
故选：B
7．若，则（ ）
A．366B．365C．364D．363
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用赋值法列式计算作答.
【详解】令得：，
令得：，
两式相加得：，当时，，
所以.
故选：C
8．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有
A．种B．种C．种D．种
【答案】C
【解析】根据题意，分2步进行分析，第一步从3件次品中抽取2件次品，第二步从7件正品中抽取3件正品，根据乘法原理计算求得结果．
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①.从3件次品中抽取2件次品，有种抽取方法，;
②.从7件正品中抽取3件正品，有种抽取方法， 则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有种； 故选：C．
【点睛】本题考查排列组合的实际应用，注意是一次性抽取，抽出的5件产品步需要进行排列．
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．若事件与事件互斥，则
B．若，，，则
C．若随机变量服从正态分布，，则
D．这组数据的分位数为
【答案】BC
【分析】利用互斥事件的定义判断A，利用条件概率公式和独立事件的定义判断B，利用正态分布曲线的对称性判断C，利用百分位数的定义判断D.
【详解】选项A，若事件与事件互斥，则，故A错误；
选项B，若，，，
则，即事件与事件相互独立，
所以，故B正确；
选项C：若随机变量服从正态分布，，
则，
所以，故C正确；
选项D：将数据进行排序得，共个，
，所以这组数据的分位数为，故D错误；
故选：BC
10．下列说法正确的有（ ）
A．数据4，7，6，5，3，8，9，10的第70百分位数为8
B．线性回归模型中，相关系数的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强
C．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越大，拟合效果越好
D．根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），没有充分证据推断原假设不成立，即可认为与独立
【答案】ABD
【分析】将数据重排，再按照百分位数的计算规则计算即可判断A，根据相关系数的定义判断B，根据相关指数的定义判断C，根据独立性检验的思想判断D.
【详解】对于A：数据重排后如下：3，4，5，6，7，8，9，10共8个数，由可得第70百分位数为第6个数，即为8，故A正确；
对于B：线性回归模型中，相关系数的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强，故B正确；
对于C：回归分析中残差平方和越小，决定系数越接近于1，拟合效果越好，故C错误；
对于D：由独立性检验可知，没有充分证据推断原假设不成立，即认为与独立，即D正确.
故选：ABD.
11．已知展开式中的二项式系数和为32，若，则（ ）
A．n＝5
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】由二项式系数的性质求得，判断A，然后根据二项式定理判断BC，用赋值法求解判断D．
【详解】由，得n＝5，A正确．令x＝0，得，B正确．因为n＝5，所以，C错误．令x＝－1，得，D正确．
故选：ABD．
12．现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A．所有可能的安排方法有125种
B．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种
C．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种
D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种
【答案】AB
【分析】利用分步计数原理及排列知识逐项分析即得.
【详解】对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有种，A正确；
对于B，由选项A知，所有可能的方法有种，A 医院没有专家去的方法有种，
所以A 医院必须有专家去的不同的安排方法有种，B正确；
对于C，专家甲必须去A 医院，则专家乙、丙的安排方法有种，C错误；
对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有种，D错误．
故选：AB.
三、填空题
13．二项式的展开式中的常数项为 .
【答案】
【解析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．
【详解】解：的展开式的通项公式为，
令，解得，
∴展开式的常数项为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
14．若，则n＝ ．
【答案】3
【分析】根据排列数组合数定义变形后解方程可得．
【详解】由，得，化简得n＝3．
故答案为：3．
15．已知随机变量，若，则 ．
【答案】
【分析】由二项分布的均值和方差公式列方程求得，再由概率公式计算．
【详解】因为，所以，解得或（舍去），所以．
故答案为：．
四、双空题
16．某城市的电力供应由1号和2号两个负荷相同的核电机组并联提供．当一个机组发生故障时，另一机组能在这段时间内满足城市全部供电需求的概率为．已知每个机组发生故障的概率均为，且相互独立，则机组发生故障的概率是 ．如果机组发生故障，那么供电能满足城市需求的概率是 ．
【答案】 /0.19
【分析】利用互斥事件和相互独立事件的概率公式计算机组发生故障的概率，再利用条件概率公式计算作答.
【详解】设供电能满足城市需求为事件A，机组发生故障为事件B，
则，，所以．
故答案为：；
五、解答题
17．（1）书架上有3本不同的语文书，4本不同的数学书，2本不同的英语书，将这些书全部竖起排成一排，如果同类书不能分开，一共有多少种不同的排法？
（2）某学校要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则共有多少种不同的安排方法？
【答案】（1）1728；（2）72.
【分析】（1）用“捆绑法”将同类的书“捆绑在一起”进行排列；
（2）先排两端的节目，再安排中间三个节目．由分步计数原理计算．
【详解】解：（1）用“捆绑法”将同类的书“捆绑在一起”进行排列，有种不同的排法，
再将同类书进行排列，有种不同的排法，
所以一共有6×288＝1728种不同的排法．
（2）先排两端的节目有种顺序，
再排其余3个位置的节目，有种顺序，
所以一共有12×6＝72种不同的安排方法．
18．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.7，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．
【答案】(1)0.5
(2)0.85
【分析】（1）先把事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”分成两个互斥事件，
然后根据互斥事件概率加法求解即可；
（2）先求事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”对立事件概率，
再根据对立事件概率公式求解即可.
【详解】（1）解：设事件A为“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，
事件B为“进入商场的1位顾客购买乙种商品”
（1）设事件C为“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”，
则，
所以．
（2）设事件D为“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”，
则，
所以，
所以．
19．某产品的广告费用支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的数据如下表．
(1)在给出的坐标系中画出散点图；
(2)建立销售额关于广告费用支出的一元线性回归模型；
(3)利用所建立的模型，预测当广告费用支出为12万元时，销售额为多少．
（参考公式：线性回归方程中的系数，）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)107万元
【分析】（1）根据表中数据直接描点即可；
（2）根据公式求出所要求的数据，分别求出，即可得出答案；
（2）根据回归方程，将代入即可得解.
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：，，
则，
，
所以，
则，
所以销售额关于广告费用支出的一元线性回归为；
（3）解：由（2）得，当时，，
所以当广告费用支出为12万元时，销售额为万元.
20．为了研究高三年级学生的性别与体重是否超过55kg的关联性，某机构调查了某中学所有高三年级的学生，整理得到如下列联表．
单位：人
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与体重有关联？
(2)按性别采用分层随机抽样的方式在该中学高三年级体重超过55kg的学生中抽取9人，再从这9人中任意选取3人，记选中的女生数为X，求X的分布列与期望．
参考公式和数据：，n＝a＋b＋c＋d．
【答案】(1)可以认为该中学高三年级学生的性别与体重有关联；
(2)分布列见解析，1.
【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值表比对即可作答.
（2）求出抽取的9人中男女生人数，再求出X的可能值及对应的概率，列出分布列、计算期望作答.
【详解】（1）零假设为：该中学高三年级学生的性别与体重无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为该中学高三年级学生的性别与体重有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．
（2）依题意，抽取的9人中，男生有人，女生有人，
从中任意选取3人，X的取值可能为0，1，2，3，
且，，，．
则X的分布列为
故．
21．已知．
(1)求展开式中含的项的系数；
(2)设的展开式中前三项的二项式系数的和为，的展开式中各项系数的和为，若，求实数的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求出展开式的通项公式，令的指数为，可求出值，从而得解；
（2）求出的展开式中前三项的二项式系数和，再令，求出的展开式中各项系数的和，然后建立方程即可求解.
【详解】（1）的展开式的通项为（，1，2，3，4，5）．
令，则，
∴展开式中含的项为，
∴展开式中含的项的系数为．
（2）由题意可知，，
∵，
∴，解得或．
22．某地区为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为，引种树苗B，C的自然成活率均为．
(1)若，任取树苗A，B，C各一棵，求只有一棵树苗自然成活的概率；
(2)任取树苗A，B，C各一棵，记自然成活的棵数为X，求X的分布列及数学期望，若，求的最大值．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，，的最大值为.
【分析】（1）利用互斥事件及独立事件概率公式即得；
（2）由题可知X的可取0，1，2，3，分别计算概率的分布列，然后利用期望公式即得.
【详解】（1）依题意，记只有一棵树苗自然成活为事件M，
则．
（2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
所以的分布列为
，
因为，
当时，取得最大值．
广告费用支出
3
5
6
7
9
销售额
20
40
60
50
80
性别
体重
合计
超过55kg
不超过55kg
男
180
120
300
女
90
110
200
合计
270
230
500
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P