2022-2023学年江西省萍乡市安源中学高二下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年江西省萍乡市安源中学高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A．60° B．45° C．90° D．0°

【答案】B

【分析】根据倾斜角与斜率的关系，可得答案.

【详解】由直线方程，则其斜率为，设该直线的倾斜角为，则，

由，解得.

故选：B.

2．在等差数列中，若，则（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质求得.

【详解】依题意，.

故选：C

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．

【详解】，

则．

故选：D

4．已知抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，且，则（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】将代入抛物线得，结合弦长可得，根据抛物线定义求即可.

【详解】令，则，故，所以，

所以，故准线为，则.

故选：B

5．如图，在四棱锥中，平面，，，，已知Q是棱上靠近点P的四等分点，则与平面所成角的正弦值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点、的坐标，求出平面的法向量，最后求出与平面所成角的正弦值.

【详解】

平面，，

以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，

建立空间直角坐标系，则，..

易知平面的法向量.

设与平面所成角为，

则.

故选：C.

6．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往16km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付的车费为（    ）

A．23.2 B．24.4 C．25.6 D．26.8

【答案】C

【分析】根据出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，车费增加1.2元，构成一个等差数列求解.

【详解】根据题意，当出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，车费增加1.2元，可知车费构成等差数列，

记表示走4km的车费，公差，

那么，当出租车行驶至16km时，，

所以.

故选：C.

7．已知正项数列中，，则数列的通项（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】解法一：给已知等式两边同除以，令则可得，从而得数列是等比数列，求出，进而可求出；解法二：设，化简后与已知等式比较可得，从而可得数列是首项为，公比为2的等比数列，进而可求出.

【详解】解法一：在递推公式的两边同时除以，得①，

令，则①式变为，即，

所以数列是等比数列，其首项为，公比为，

所以，即，

所以，

所以，

解法二：设，则，

与比较可得，

所以，

所以数列是首项为，公比为2的等比数列，

所以，所以，

故选：D

8．已知实数满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将化为，构造函数，利用导数判断其单调性，根据单调性可得，即，再根据导数可求出其最小值.

【详解】由，得，

则，所以，即.

设，则0，可知在上为增函数，

所以，则，即.

令，则，

当时，，当时，，

所以在上为减函数，在上为增函数，

所以.

故选：B

【点睛】关键点点睛：将化为，再利用指对同构构造函数进行求解是解题关键.

二、多选题

9．已知是等比数列，，，则公比（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】AD

【分析】利用等比数列的通项公式即可求解

【详解】由题意可得，解得或

故选：AD

10．如果一个人爬楼梯的方式有两种，一次上1个台阶或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为， 则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】由题知，且,再根据递推关系依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：根据题意，爬上第个台阶有两种可能，

一种是从个台阶上爬上来，有种方式；

一种是从个台阶上爬上来，有种方式，

所以，，且

所以，，故正确；

所以，，故C选项错误；

因为，

所以，，故B正确；

，

，

，

．．．

，

累加可得 ， 故 D 正确，

故选： ABD．

11．已知函数，则函数在上的最小值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】利用导函数对进行分类讨论即可求出结果.

【详解】，

因为，所以，

当时，，，

所以，在单调递增，

；

当时，，

单调递减，

单调递增，

；

当时，，，

所以，在单调递减，

，

故选：ABC.

12．已知是圆上不同的两点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，直线分别是圆的两条切线，为椭圆的离心率.下列选项正确的有（    ）

A．直线与椭圆相交

B．直线与圆相交

C．若椭圆的焦距为两直线的斜率之积为，则

D．若两直线的斜率之积为，则

【答案】BCD

【分析】由时，点时，得到直线方程，联立方程组，结合，可判定A错误；由原点到直线的距离为，可判定B正确；设，根据题意求得，进而得到，结合离心率的定义，可判定C正确；不妨设，根据得到，求得，结合离心率的定义，求得，可判定D正确.

【详解】对于A中，当时，点的坐标可以为，

可得直线为，即，

由，整理得，此时，

所以直线与椭圆无交点，所以A错误；

对于B中，因为，所以，设原点到直线的距离为，

由点到直线的距离公式，可得，

所以直线与圆相交，所以B正确；

对于C中，椭圆的焦距为，可得，即，

不妨设，则直线，

由原点到直线的距离等于1，可得，解得，

同理可得，因为，即，

解得，又由，解得，

所以离心率，所以C正确；

对于D中，不妨设，则,，

所以，解得，

所以，

因为，可得，所以，所以D正确.

故选：BCD.

【点睛】解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：

（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；

（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.

三、填空题

13．      .

【答案】58025

【分析】根据等比数列求和公式可求出结果.

【详解】是以为首项，为公比的等比数列的前10项的和.

.

故答案为：.

14．函数的单调递减区间为       .

【答案】/

【分析】利用导数求得的单调递减区间.

【详解】函数的定义域为，

，

由得，由得，

所以在区间上单调递减．

故答案为：

15．立德中学高三年级大课间事件提供三项体育活动，足球、篮球、乒乓球供学生选择.小明、小红从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响，在小明选择篮球的前提下，两人的选择不同的概率为           .

【答案】

【分析】记事件小明选择篮球，事件小明、小红的选择不同，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值.

【详解】记事件小明选择篮球，事件小明、小红的选择不同，

则，，

由条件概率公式可得.

故答案为：.

16．已知函数有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，则的取值范围是   ．

【答案】

【分析】根据切线的斜率列方程，化简后利用根与系数关系、判别式等知识求得的取值范围.

【详解】由题意可知的定义域为，

所以，,

由导数的几何意义可得，切点为时，切线斜率为，

切点为时，切线斜率为．

又∵两条切线与直线平行，可得，

即，

所以是关于方程的两根，

由，又，

可得，所以．

故答案为：

四、解答题

17．为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00～22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：

(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？

(2)将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差.

.

【答案】(1)能

(2)数学期望为，方差为

【分析】（1）根据卡方计算公式计算卡方，即可求解，

（2）根据二项分布的期望和方差公式即可求解.

【详解】（1）提出假设H0：在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别无关系，

根据样本提供的2×2列联表得，

，

当H0成立时，的概率约为0.01，所以我们有99%的把握认为居民的休闲方式与性别有关.

（2）由题意得， ，且，

故,

18．已知数列满足，数列满足.

(1)求的通项公式；

(2)求的前20项和.

【答案】(1)

(2)110

【分析】（1）利用退一作差法求得.

（2）利用分组求和法求得的前20项和.

【详解】（1）因为，

所以当时，，

两式相减得，

又时，，也符合.

所以.

（2）由（1）知，，因为对任意的正整数，

有，

故数列的前20项和

.

19．如图，直四棱柱的底面为菱形，且，，E，F分别为BC，的中点．

(1)证明：平面平面．

(2)求平面和平面的夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）连接，根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，面面垂直的判定推理作答.

（2）连接，以A为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面夹角余弦作答.

【详解】（1）在直四棱柱中，底面为菱形，，连接，如图，

显然为正三角形，由为的中点，得，而平面，

平面，则，又，平面，

因此平面，又平面，

所以平面平面．

（2）连接，由（1）知是正三角形，为的中点，则，而，即有，

又平面，于是两两垂直，

以A为原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

由，得，

，，，，

设平面的法向量为，则，令，得，

设平面的法向量为，则，令，得，

因此，

所以平面和平面的夹角的余弦值为．

20．已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.

(1)求抛物线C的方程及点M的坐标；

(2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值.

【答案】(1)，或

(2)证明见解析

【详解】（1）由抛物线的定义，得，解得p＝2.

所以抛物线C的方程为，M的坐标为或.

（2）由题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x＝ty＋1（t≠0），则.将x＝ty＋1代入得.设，，则，.

由，得；由，得.

所以，故是定值1.

21．已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，设数列的前项和，求证：.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)证明见解析.

【分析】（1）选择条件①②③，利用给定条件并作变形，再结合求解作答.

（2）利用（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助数列单调性推理作答.

【详解】（1）选择①：因为，则，

两式相减得，即，

而，，则，因此数列是以为首项，2为公差的等差数列，

所以.

选择②：因为，则，

于是当时，，即，由，得，

即有，因此，，即数列是以为首项，2为公差的等差数列，

所以.

选择③：因为，又，

则，即，

显然，于是，即是以1为首项，1为公差的等差数列，

从而，即，因此，而满足上式，

所以.

（2）由（1）知，，，

因此，

则，

显然数列单调递减，于是，则，

所以.

22．已知函数.

(1)若，求的极值；

(2)若对任意，恒成立，求整数m的最小值.

【答案】(1)极大值为，无极小值

(2)1

【分析】（1）求导函数，由导函数确定函数的单调性得极值；

（2）不等式恒成立转化为在上恒成立，设，转化为求的最大值，确定的零点的范围，得出最大值的范围后可得最小的整数．

【详解】（1）当时，，

.

当时，，则在上单调递增；

当时.，则在上单调递减.

所以在时取得极大值且极大值为，无极小值；

（2）因为对任意，恒成立，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

设，则.

设，

显然在上单调递减，

因为，，

所以，使得，即，

当时，，；当时，，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

因为，所以，

故整数m的最小值为1.

【点睛】方法点睛：本题考查用导数求函数的极值，研究不等式恒成立问题．求解不等式恒成立问题，常常需要转化，用分离参数法转化为求函数的最值，本题中函数的最值点不能直接求出，我们用表示，通过得出的范围，从而可得最大值的范围，然后得出结论．