2022-2023学年北京大学附属中学高二下学期期末练习数学试题含答案

这是一份2022-2023学年北京大学附属中学高二下学期期末练习数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京大学附属中学高二下学期期末练习数学试题

一、单选题
1．若集合，或，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算，即可求得答案.
【详解】由题意集合，或，
则,
故选：A
2．已知，则下列结论中正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A不一定成立，如a＝1，b＝10，c＝－1，不成立；
B也不一定成立，如a＝9.5，b＝10，c＝－1，不成立；
C不成立，因为，，所以，恒成立，因此D必正确
故选D
【点睛】本题考查不等式是否成立，考查了全程量词与特陈量词，不等式的性质，属于基础题.
3．已知向量，满足，，则（    ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【分析】根据向量数量积的性质求解可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：B
4．已知函数满足：且（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】AC. 由得，再结合条件判断；BD. 由得，再结合条件判断.
【详解】A. 由得，又因为，所以，但不一定成立，故错误；
B. 由得，即，由指数函数的单调性得，故正确；
C. 由得，而，所以不一定成立，故错误；
D. 由得，而，所以不一定成立，故错误；
故选：B
5．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截
得的弦长为2，则的离心率为                      
A．2 B． C． D．
【答案】A
【详解】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，
即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．
点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
6．标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的倍，若视力4.1的视标边长为a，则视力4.9的视标边长为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设视力4.9的视标边长为x，结合视标图有，即可求.
【详解】设视力4.9的视标边长为x，则：
∴，即.
故选：B.
7．如图，已知直线与曲线相切于两点，函数 ，则函数（ ）

A．有极小值，没有极大值 B．有极大值，没有极小值
C．至少有两个极小值和一个极大值 D．至少有一个极小值和两个极大值
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义，讨论直线与曲线在切点两侧的导数与的大小关系，从而得出的单调区间，结合极值的定义，即可得出结论．
【详解】
如图，由图像可知，直线与曲线切于a，b，
将直线向下平移到与曲线相切，设切点为c，
当时，单调递增，所以有且．
对于=，
有，所以在时单调递减；
当时，单调递减，所以有且．
有，所以在时单调递增；
所以是的极小值点．
同样的方法可以得到是的极小值点，是的极大值点．
故选C．
【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义，函数导数与单调性，与函数极值之间的关系，属于中档题．
8．某公司有家直营店，现需将箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示.
  
根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（    ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【分析】结合获利表格，通过箱货物的分配方法，求解最大的获利得到结果.
【详解】箱货物的分配方法和最大利润分别为：；；
；；；；
，此时；
，此时；
，此时或；
综上，该公司获得最大总利润的运送方式有种.
故选：D.
9．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题知，，进而利用向量求解异面直线所成角即可.
【详解】解：由题知，在直三棱柱中，平面，平面，
∵平面，平面，
∴，，
∵，，
∴.
∵，，
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为
故选：C.

10．已知点是边长为2的正方形所在平面内一点，若，则的最大值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由向量的加法和减法法则得，即得，可知点在以点为圆心，1为半径的圆周上运动，根据圆的性质可得的最大值.
【详解】由，，得，即点在以点为圆心，1为半径的圆周上运动，所以的最大值为，
故选:C.
【点睛】本题考查向量的加法和减法运算，点的轨迹，以及点与圆的位置关系，关键在于运用向量的加法和减法法则对向量已知的向量关系化简成在个向量或两个向量间的关系，属于中档题.

二、填空题
11．展开式中，常数项的值为 .
【答案】
【分析】先写出通项，在通项公式中令x的指数为0，求出k，从而写出常数项．
【详解】解：
令18﹣3k＝0，k＝6，故的展开式中的常数项为T下标7＝C96＝84
故答案为84
【点睛】本题考查二项式定理中通项公式的应用：求常数项，属基本题型、基本方法的考查．

三、双空题
12．在等比数列中，若则公比 ；
.
【答案】 2
【分析】利用等比数列通项公式和求和公式直接求解
【详解】：由是等比数列得，又 所以

故答案：2；

四、填空题
13．已知抛物线的准线为，与双曲线的渐近线分别交于A，B两点．若|AB|=4，则p= ．
【答案】8
【分析】先求抛物线准线方程以及渐近线方程，解得交点坐标，再根据|AB|=4，求得结果.
【详解】抛物线y2=2px（p＞0）的准线为：x=，
双曲线的两条渐近线方程为y=±x，
可得A（，），B（，），
由|AB|==4，得p=8．
故答案为8．
【点睛】本题考查抛物线准线方程以及渐近线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.

五、双空题
14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ．
【答案】 130. 15.
【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.
【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.

六、填空题
15．是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论中正确的是 .（写出所有正确结论得序号）
①为单位向量；②为单位向量；③；④；⑤.
【答案】①④⑤
【分析】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择得到答案.
【详解】△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足，
则，，所以，即是单位向量；①正确；
因为，所以，故；故②错误；④正确；
夹角为120°，故③错误；
⑤；故⑤正确.
故答案为：①④⑤.
【点睛】本题考查了向量相关命题的判断，意在考查学生对于向量知识的综合应用.

七、解答题
16．在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱底面．D，E分别是边BC，AC的中点，线段与交于点G，且，．

（1）求证：∥平面；
（2）求证：⊥平面；
（3）求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.
【分析】（1）证明EG∥AB1．然后利用直线与平面平行的判定定理证明EG∥平面AB1D．
（2）取B1C1的中点D1，连接DD1．建立空间直角坐标系D-xyz，通过向量的数量积证明BC1⊥DA，BC1⊥DB1．然后证明BC1⊥平面AB1D．
（3）求出平面B1CB的一个法向量，平面AB1C的一个法向量，设二面角A-B1C-B的平面角为θ，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可．
【详解】（1）证明：因为E为AC中点，G为B1C中点．所以EG∥AB1．
又因为EG⊄平面AB1D，AB1⊂平面AB1D，
所以EG∥平面AB1D．
（2） 证明：取B1C1的中点D1，连接DD1．

显然DA，DC，DD1两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系D-xyz，
则D（0，0，0），，B（0，-2，0），，，，C（0，2，0）．
所以，，．
又因为，，
所以BC1⊥DA，BC1⊥DB1．
又因为DA∩DB1=D，所以BC1⊥平面AB1D．
（3）解：显然平面B1CB的一个法向量为=（1，0，0）．
设平面AB1C的一个法向量为：=（x，y，z），
又，，
由得
设x=1，则，，则．
所以．
设二面角A-B1C-B的平面角为θ，由图可知此二面角为锐二面角，
所以．
【点睛】本题考查直线与平面垂直以及平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力．
17．在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF＝AC．
(1)若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求∠ABC；
(2)若，且BD＝3CD，求cos∠CFB．
【答案】(1)∠ABC＝60°
(2)

【分析】（1）由两三角形的面积相等可得，再由可得，从而结合已知可得，进而可求得∠ABC；
（2）设，则，然后在中分别利用勾股定理求出，再在中利用余弦定理可求得结果.
【详解】（1）如图所示

在中，，点在边上．
在平面内，过作且，
所以，，
且的面积等于的面积，
由于，
所以，
因为为的中点，
故，
所以，
因为为锐角，
所以．
（2）如图所示：

设，由于，，，
所以，
由于，所以，则．
且，解得，
在中，利用余弦定理得
18．某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：
日期
1 日
2 日
3 日
4 日
5 日
6 日
7 日
8 日
9 日
10 日
元件A个数
9
15
12
18
12
18
9
9
24
12
日期
11 日
12 日
13 日
14 日
15 日
16 日
17 日
18 日
19 日
20 日
元件A个数
12
24
15
15
15
12
15
15
15
24
从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数．
（Ⅰ）求X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；
（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）
【答案】（Ⅰ）分布列见解析，；(Ⅱ)；(Ⅲ)至少增加2人.
【解析】（Ⅰ）求出X的所有可能取值为9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．
（Ⅱ）当P（a≤X≤b）取到最大值时，求出a，b的可能值，然后求解P（a≤X≤b）的最大值即可．
（Ⅲ）利用前两问的结果，判断至少增加2人．
【详解】(Ⅰ)X的取值为：9，12，15，18，24；
,,,
,，
X的分布列为：
X
9
12
15
18
24
P





故X的数学期望；
(Ⅱ)当P(a≤X≤b)取到最大值时,
a,b的值可能为：,或,或.
经计算,,，
所以P(a≤X≤b)的最大值为.
(Ⅲ)至少增加2人.
【点睛】本题考查离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，属于中等题.
19．已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P．
（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且AQ∥BM，求证：∠PFQ为定值．
【答案】（Ⅰ）kAM∈（，0）（0，）；（Ⅱ）见解析
【分析】（Ⅰ）根据题意可得得c2＝a2﹣2，由e，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可求得直线AM的斜率的取值范围，（Ⅱ）题意F（，0），M（x0，y0），可得直线AM的方程，求出点P的坐标，再根据直线平行，求出直线AQ的方程，求出Q的坐标，根据向量的数量积即可求出•0，即可证明．
【详解】Ⅰ）由题意可得c2＝a2﹣2，∵e，∴a＝2，c，∴椭圆的方程为1，
设P（0，m），由点P在椭圆C的内部，得m，又∵A（﹣2，0），
∴直线AM的斜率kAM∈（，），又M为椭圆C上异于A，B的一点，
∴kAM∈（，0）（0，），
（Ⅱ）由题意F（，0），M（x0，y0），其中x0≠±2，则1，
直线AM的方程为y（x+2），令x＝0，得点P的坐标为（0，），
∵kBM=kAQ，∴直线AQ的方程为y（x+2），
令x＝0，得点Q的坐标为（0，），由（，），（，），
∴•20，∴⊥，即∠PFQ＝90°，
故∠PFQ为定值
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线的斜率，点在椭圆上的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题
20．已知函数．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的零点个数．
【答案】（Ⅰ）-2；（Ⅱ）答案见解析.
【分析】（Ⅰ）求出导函数，利用可得值；
（Ⅱ）利用导数讨论函数的单调性、极值，结合零点存在定理分类讨论确定零点个数．
【详解】（Ⅰ）由已知，
∵函数图象在点处的切线方程为，
∴，即，．
（Ⅱ），
，，
由得，，，
①当，即时，当变化，，变化情况如下：







＋
0
－
0
＋

增
极大值
减
极小值
增
∴在和是增函数，在是减函数，
又，，∴函数有一个零点；
②当当，即时，当变化，，变化情况如下：





＋
0
＋

增

增
∴函数在上是增函数，又，函数有一个零点；
③当，即时，
当变化，，变化情况如下：







＋
0
－
0
＋

增
极大值
减
极小值
增
∴在和是增函数，在是减函数，
又，，∴函数有一个零点；
，，，，
∴当时，此时，函数只有一个零点，
时，，函数有两个零点，
时，，函数有三个零点，
④，即时，由于，因此函数有两个零点，
综上所述，（1）时，函数有一个零点，或时，函数有两个零点，当时，函数有三个零点．
【点睛】本题考查导数的几何意义，用导数研究函数零点个数，解题关键是确定导数与函数单调性、函数极值的关系，本题属于困难题，旨在考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，分类讨论思想的应用．
21．若数列满足：，且，则称为一个X数列. 对于一个X数列，若数列满足：，且，则称为的伴随数列.
(1)若X数列中，，，，写出其伴随数列中的值；
(2)若为一个X数列，为的伴随数列.
①证明：“为常数列”是“为等比数列”的充要条件；
②求的最大值.
【答案】(1)，，；
(2)①证明见解析；②.

【分析】（1）利用题中定义，利用代入法进行求解即可；
（2）①根据充要条件的定义，结合反证法进行证明即可；②根据的性质分类讨论进行求解即可.
【详解】（1），，；
（2）①充分性：若数列为常数列，∵，∴，
∴，又，
∴其伴随数列是以1为首项，以为公比的等比数列；
必要性：假设数列为等比数列，而数列不为常数列，
∴数列中存在等于0的项，设第一个等于0的项为，其中，
∴，得等比数列的公比．
又，得等比数列的公比，与矛盾．∴假设不成立．
∴当数列为等比数列时，数列为常数列．
综上“为常数列”是“为等比数列”的充要条件；
②当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
综上，结合可得：，，，
由题意知，所以，
于是有，
所以的最大值为.
【点睛】关键点睛：利用分类讨论法，结合题中定义是解题的关键.