四川省江油中学2022-2023学年高二数学（理）下学期第一次阶段考试试题（Word版附解析）

江油中学2021级高二下期第一阶段考试

数学（理）试题

一、单选题（每小题5分，共60分）

1. 的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的四则运算与复数虚部的概念即可得解.

【详解】因为，

所以的虚部为.

故选：B.

2. 命题 “，”的否定是（   ）

A. ， B. ， C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】根据全称命题的否定即可得出答案.

【详解】根据题意，命题 “，”的否定是“，”，

故选：A.

3. 若z满足，则（    ）．

A. 10 B.  C. 20 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的除法运算化简，再利用模长公式计算即可.

【详解】因为，所以

则.

故选：B.

4. 已知函数​，则​（    ）

A. ​ B. 1 C. ​ D. 5

【答案】B

【解析】

分析】利用导数运算求得.

【详解】，

令得.

故选：B

5. 下列导数运算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据导数公式运算对选项一一验证即可.

【详解】对于A，，故A错；

对于B，，故B错；

对于C，，故C正确；

对于D，，故D错．

故选：C．

6. “”是“关于x的不等式对任意实数x恒成立”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】先根据关于x的不等式对任意实数x恒成立得出，再根据取值范围的关系判断即可得出答案.

【详解】因为关于x的不等式对任意实数x恒成立，

当时，不等式可化为恒成立；

当时，要使不等式恒成立，则有解得：；

综上：实数的取值范围为：，

若成立，则不一定成立；反之也不成立，

所以“”是“关于x的不等式对任意实数x恒成立”的既不充分也不必要条件，

故选：.

7. 函数的单调递增区间为（    ）

A. () B. (1，+) C. (1，1) D. (0，1)

【答案】D

【解析】

【分析】利用导数与函数单调性的关系即得.

【详解】∵函数，，

∴，

由，，解得，

即函数的单调递增区间为.

故选：D.

8. 已知一个圆柱形空杯，其底面直径为，高为，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积（单位：）关于时间（单位：）的函数为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求得杯中溶液上升高度，求导，再令即可得解.

【详解】由题意杯子的底面面积，

则杯中溶液上升高度，

则，

当时，，

即当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为.

故选：B.

9. 已知函数f（x）的定义域为[－1，5]，其部分自变量与函数值的对应情况如下表：

f（x）的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论：

①f（x）在区间[－1，0]上单调递增；

②f（x）有2个极大值点；

③f（x）的值域为[1，3]；

④如果x∈[t，5]时，f（x）的最小值是1，那么t的最大值为4．

其中，所有正确结论的序号是（    ）

A. ③ B. ①④ C. ②③ D. ③④

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用函数的导函数的图像，进一步画出函数的图像，进一步利用函数的性质的应用求出函数的单调区间，函数的极值和端点值可得结论

【详解】解：由f（x）的导函数的图像，画出的图像，如图所示，

对于①，在区间上单调递减，所以①错误，

对于②，有1个极大值点，2个极小值点，所以②错误，

对于③，根据函数的极值和端点值可知的值域为，所以③正确，

对于④，如果x∈[t，5]时，由图像可知，当f（x）的最小值是1时， t的最大值为4，所以④正确，

故选：D

10. 已知命题函数的最小值为；命题在中，角、、的对边分别为、、，则“”是“”的充要条件.则下列命题为真命题的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】判断命题、的真假，利用复合命题的真假逐项判断可得出合适的选项.

【详解】对于命题，当时，，

当且仅当时，即当时，等号成立，命题为假命题；

对于命题，在三角形中，由大边对大角、大角对大边定理可知“”是“”充要条件，命题为真命题.

因此，为真命题，、、均为假命题.

故选：A.

11. 若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果.

【详解】设与直线平行的直线的方程为，

∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，

设切点， ，所以，

，，，

点，直线的方程为，

两点间距离的最小值为平行线和间的距离，

两点间距离的最小值为.

故选：.

12. 已知函数有两个极值点，则的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求导可得，令，其中且，利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数的图象，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，可得出实数的取值范围.

【详解】函数的定义域为，

，

令，可得或，不满足等式，

可得，其中且，

令，其中且，则，

当时，且，此时函数单调递减，

当时，且，此时函数单调递减，

当时，且，此时函数单调递增，

所以，函数的极小值为，如下图所示：

①当时，直线与函数交点的横坐标设为，则，

若时，，，，此时，单调递增，

若时，，，，此时，单调递减，

若时，，，，此时，单调递增，

若时，，，，此时，单调递增.

故当时，函数有两个极值点，合乎题意；

②当时，方程在的根为.

若时，，，，此时，单调递增，

若时，，，，此时，单调递增，

当时，，，，此时，单调递增，

此时函数无极值点；

③当时，直线与函数交点的横坐标设为，则，

若时，，，，此时，单调递增，

若时，，，，此时，单调递减，

若时，，，，此时，单调递增，

若时，，，，此时，单调递增，

此时函数有两个极值点，合乎题意；

④当时，直线与函数的图象无交点，

若时，，，，此时，单调递减，

若时，，，，此时，单调递增，

若时，，，，此时，单调递增，

此时函数只有一个极值点，不合乎题意；

⑤当时，直线与函数的图象的公共点的横坐标为，

若时，，，，此时，单调递减，

若时，，，，此时，单调递增，

若时，，，，此时，单调递增，

此时函数只有一个极值点，不合乎题意；

⑥当时，直线与函数图象有两个公共点，设这两个公共点的横坐标分别为、，设，则，

若时，，，，此时，单调递减，

若时，，，，此时，单调递增，

若时，，，，此时，单调递增，

若时，，，，此时，单调递减，

若时，，，，此时，单调递增，

此时函数有三个极值点，不合乎题意.

综上所述，实数的取值范围是.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数极值点的个数求参数，注意到，本题在考查方程时，要特别注意到时的取值，再求解时还应注意导数为零处的点时导数符号的变化，充分利用极值点的定义来求解.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【解析】

【分析】先计算，在借助导数得，即可求解切线方程.

【详解】,

又，，

故切线方程为，即，

故答案：.

14. 已知复数满足，则的最大值为__________．

【答案】5

【解析】

【分析】确定表示复数几何意义，再结合的几何意义求解作答.

【详解】由，得复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，

表示复数对应的点到的距离，

点到点的距离为，

所以的最大值为.

故答案为：5

15. 已知函数．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为__________．

【答案】

【解析】

【分析】先求函数的导函数，再由条件可知在上恒成立，再分离参数求最值即可求解.

【详解】，

由已知时，恒成立，所以恒成立，

即恒成立，则.

令函数，

由知在单调递增，

从而.

经检验知，当时，函数不是常函数，

所以的取值范围是.

故答案为：

16. 已知函数，，对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________

【答案】

【解析】

【分析】对于任意，都有成立可等价为对于任意，都有成立，求出，然后将不等式参变分离转化为，进而等价为成立，令，，求其最小值，从而得到的取值范围.

【详解】依题意得，对于任意，都有成立可等价为

对于任意，都有成立，

，，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

又，，

对于任意，都有成立，

即对于任意，都有成立，等价为成立，

令，，

，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

，

，，

的取值范围是.

故答案为：.

三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）

17. 复数.

（Ⅰ）实数m为何值时，复数z为纯虚数；   

（Ⅱ）若m=2，计算复数．

【答案】（1） （2）

【解析】

【详解】试题分析：

(1)复数为纯虚数，则实部为0，虚部不为零，据此可得；

(2)利用复数的运算法则计算可得.

试题解析：

（1）欲使z为纯虚数，则须且，所以得

（2）当m=2时，z=2+,=2-,故所求式子等于=

18. 设集合，集合．

（1）已知p：，若p为真命题，求实数m的取值范围；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据，得到不等式组，求出实数m的取值范围；

（2）根据题意得到是的真子集，并得到，得到方程组，求出实数m的取值范围.

【小问1详解】

由题意得，故，解得：，

故实数m的取值范围是；

【小问2详解】

由题意得：，

由“”是“”的必要不充分条件，得到是的真子集，

因为，所以，

故或，

解得：，

故实数m的取值范围是.

19. 已知函数

（1）求，，；

（2）求曲线在点处切线方程；

（3）求函数的极值．

【答案】（1），，   

（2）   

（3）极小值为，无极大值

【解析】

【分析】（1）求导函数及，即可；

（2）先求出切线的斜率为，然后由点斜式求解方程即可；

（3）利用导数分析函数的单调性，求极值即可.

【小问1详解】

函数，所以.

所以，

【小问2详解】

切点为，斜率为，

所以曲线在点处的切线方程为：，

即.

【小问3详解】

已知函数，其定义域为：.

由（1）可知，，

令，得.

所以当时，，为减函数；

当时，，为增函数.

所以当时，有极小值，无极大值.

20. 已知：方程表示圆：：方程表示焦点在轴上的椭圆．

（1）若为真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题为真，为假，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由圆的一般方程计算即可；

（2）根据条件判断两个命题一真一假，分类讨论求范围即可.

【小问1详解】

由题意，命题：方程，可化得，则，解得，

所以实数的取值范围．

【小问2详解】

命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，则，

当为真，为假时，结合（1）可得：，

当为假，为真时，结合（1）可得：．

综上，实数的取值范围为：．

21. 已知函数在时有极值0．

（1）求m，n的值；

（2）求的单调区间．

【答案】（1）   

（2）单调减区间为，单调增区间为.

【解析】

【分析】（1）对求导，利用极值的性质可得关于的方程组，求出的值，验证即可求得答案；

 （2）求出的定义域，对求导，由导数与单调性的关系即可得函数的单调区间.

【小问1详解】

由题可得，

由可得，，解得，

此时，

当时，解得；当时，解得或，

所以函数在时有极值，故；

【小问2详解】

由（1）可知，，

则函数，其定义域为，

则，

由，可得，由，可得，

所以的单调减区间为， 单调增区间为.

22. 已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若有两个极值点，，且，求的取值范围.

【答案】（1）答案见详解   

（2）

【解析】

【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对进行分类讨论即可求解；

（2）结合函数极值与导数零点关系进行转化后，结合题目特点进行合理的构造，然后结合导数与单调性关系即可求解.

【小问1详解】

因为函数，则，，

令，则，

①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增，

②当时，即时，

令，得或，

∴在和上单调递增，在上单调递减，

综上所述，当时，在上单调递增，

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

【小问2详解】

由（1）得，当时，有两极值点，，

由（1）得，为的两根，所以，，

不妨设，因为，故，

易知在单调递减，故，

所以，

将代入化简可得：，

即原不等式等价转化为，

令，构造，

，故在时单调递增，又因为，

故要使得，仅需，即，

又因为，

故，由上可知，故，

故的取值范围是.

【点睛】方法点睛：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.