2022-2023学年黑龙江省绥化市绥棱县第一中学高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省绥化市绥棱县第一中学高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．命题，则是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据全称量词的否定是特称量词可得答案.

【详解】若命题，则是.

故选：D

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】可根据特殊元素与集合的关系作答.

【详解】A. 为偶数，故，故

B. ，故B错

C. ，故错

D. ,故D错

故选：A

3．已知函数，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据，利用可构造方程求得结果.

【详解】，，解得：.

故选：C.

4．已知实数，则下列结论一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可.

【详解】解：由题可知，，

A项中，若，则，故A项错误；

B项中，若，则，故，故B项错误；

C项中，若，则，故C项错误；

D项中，，

因为，则，故正确，故D项正确.

故选：D.

5．已知函数满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求导后代入可求得；将代入可求得结果.

【详解】，，解得：；

，解得：.

故选：A.

6．不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由不等式的解集可得方程的两根为，再根据韦达定理可求得，再根据一元二次不等式的解法即可得解.

【详解】解：因为不等式的解集为，

所以方程的两根为，

则，所以，

则关于的不等式即为，

即，解得，

即不等式的解集为.

故选：B.

7．“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（a，b为常数），若该果蔬在6的保鲜时间为216小时，在24的保鲜时间为8小时，那么在12时，该果蔬的保鲜时间为（    ）小时．

A．72 B．36 C．24 D．16

【答案】A

【分析】根据题意列出时所满足等式，利用指数幂的运算分别可求解出的值，然后即可计算出时的值，则对应保鲜时间可求.

【详解】当时，；当时，，

则，整理可得，于是，

当时，．

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题属于指数函数模型的实际应用，解答本题的关键在于通过所给的两组的取值计算得到所满足的等式，然后通过化简指数幂的运算求解出最终结果.

8．定义在正整数上的函数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知结合换元法求出函数的周期，进而得解.

【详解】①

②

由①②可得

，

所以函数的周期，

故选：C

二、多选题

9．已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据题意讨论和情况，求得实数a的取值范围，可得集合M,即可得答案.

【详解】由题意集合，，

因为，所以当时，，即 ；

当时，有 ，解得，

故,则M的一个真子集可以是或，

故选：BC.

10．已知正数满足，则下列说法一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】由已知等式可得，由，，结合基本不等式可知AB正误；利用基本不等式可直接验证CD正误.

【详解】由，，得：；

对于A，（当且仅当，即，时取等号），A正确；

对于B，（当且仅当，即，），B错误；

对于C，（当且仅当，即，时取等号），

，解得：（当且仅当，时取等号），C正确；

对于D，（当且仅当，即，时取等号），

由C知：（当且仅当，时取等号），

（当且仅当，时取等号），D正确.

故选：ACD.

11．已知函数（是常数）在上的最大值是5，则的值可能是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】AB

【分析】先化简解析式，再对参数进行分类讨论，即可求解.

【详解】令（是常数），

因为，所以.

若，的最大值为5，符合题意；

当时，的最大值为与中较大的数，由，

即，解得，

显然当时，的最大值为5，当时，的最大值不为定值.

综上，当时，在上的最大值是5，结合选项可知，的值可能是0或1，

故选AB.

12．若，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】分别构造函数，，，，求导得到导函数，根据函数是否在上单调得到答案.

【详解】对选项A：，即，

设，，又，，，故在上不单调，对于不成立，错误；

对选项B：，，设，，

在上单调递减，故对，正确；

对选项C： ，即，即，即，

设，，在上单调递增，

故对，正确；

对选项D：，即，即，

设，，令，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故在上不单调，对于不成立，错误.

故选：BC

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数确定函数的单调性，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造合适的函数，将大小关系转化为函数的单调性是解题的关键.

三、填空题

13．请写出一个满足条件①和②的幂函数，条件：①是偶函数；②为上的增函数．则      ．

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据幂函数的性质即可求解.

【详解】设，根据幂函数为偶函数，则为偶数，

又为上的增函数，

则为上单调递减，故 ，故可取，

故答案为：（答案不唯一）

14．若不等式的解集为，则实数的取值范围是      ．

【答案】

【分析】根据解集为可得，解不等式即可.

【详解】由不等式的解集为可得：，

解得：，即实数的取值范围为.

故答案为：.

15．已知定义在R上的函数的导函数为，，且，则不等式的解集为      .

【答案】

【分析】首先构造函数，理由导数判断函数的单调性，再求解不等式.

【详解】设函数，

，所以单调递增，

不等式，即，即，

所以不等式的解集为.

故答案为：

16．已知满足，满足，则        ．

【答案】2

【解析】设，可得在上为增函数，从而有存在，使得，由条件可得，满足，，所以得到答案.

【详解】由，即，

，即

设，由，在上均为单调递增函数.

则在上单调递增.

, ,

所以存在唯一，使得

由满足，满足

即满足，满足

即，满足

由存在唯一，使得，所以，即

故答案为：2

【点睛】关键点睛：本题考查根据方程的根构造函数求值问题，解答本题的关键是设，根据导数得到存在，使得，从而即，满足，得到，属于中档题.

四、解答题

17．设集合，集合．

（1）若，求和；

（2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】（1），；（2）．

【分析】（1）确定集合中的元素后，由集合运算法则计算；

（2）由是成立的必要不充分条件，得，根据集合包含关系可得参数范围．

【详解】解：（1）．

因为，所以，或，

所以，；

（2）因为是成立的必要不充分条件，所以，

当时，，得

当时，，得，

所以实数的取值范围．

18．已知函数，且．

（1）求实数的值；

（2）求过点且与函数图象相切的直线方程．

【答案】（1）；（2）或．

【分析】（1）首先求出函数的导函数，再代入计算可得；

（2）设切点坐标为，求出切线方程，再将代入得到方程，求出，即可求出切线方程；

【详解】解：（1）由，

由，得．

（2）由（1）有，，，

设切点坐标为，则所求切线方程为：，

把点的坐标代入可得：，

整理为：，

解得：或，得或，

当时，所求切线方程为：，

当时，所求切线方程为：，

则所求切线方程为：或．

19．消毒液已成为生活必需品，日常的消费需求巨大．某商店销售一款酒精消毒液，每件的成本为元，销售人员经调查发现，该款消毒液的日销售量（单位：件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式．

(1)求该款消毒液的日利润与销售价格间的函数关系式；

(2)求当该款消毒液每件售价为多少元时，每日销售该款消毒液所获得的利润最大，并求出日最大利润．

【答案】(1)

(2)当该款消毒液每件售价为元时，每日销售该款消毒液所获得的利润最大，最大利润为元.

【分析】（1）由可整理得到结果；

（2）利用导数可求得函数单调性，验证和的情况即可求得最大利润.

【详解】（1）由题意知：，

即.

（2）由（1）得：，

令，解得：（舍），，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

又，当时，；当时，；

当该款消毒液每件售价为元时，每日销售该款消毒液所获得的利润最大，最大利润为元.

20．已知函数是定义域为的偶函数．

(1)求实数的值；

(2)若，都有成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由可构造方程求得的值；

（2）根据指数函数和对勾函数性质可求得，从而构造不等式，分别讨论和的情况即可求得结果.

【详解】（1）由偶函数定义知：，

即，.

（2）由（1）得：；

当时，令，则，又在上单调递减，

，，即，

当时，，解得：；

当时，，解得：；

综上所述：实数的取值范围为.

21．已知函数，函数在定义域内有唯一零点，且在区间上的最大值为16．

(1)求的解析式；

(2)若不等式在上恒成立，求正整数k的取值集合．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1），利用二次函数的图象与性质即可得到的值.

（2）设，利用分离参数法得，再结合导数即可得到答案.

【详解】（1）由题意得，定义域为，

因为且，且函数在定义域内有唯一零点，

所以，即，

对称轴为，所以在区间上的最大值为为，解得，

所以.

（2）当，，，

即，在上恒成立，

设，，当时，，

所以在上单调递增，所以，

所以，又因为为正整数，

所以或，即的取值集合为.

22．已知函数，．

(1)讨论的单调性；

(2)若，且斜率为k的直线与函数的图象交于点，，，证明：且．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求导，分，和三种情况讨论，根据导数的符号即可得出答案；

（2）由（1）可知，当时，函数在上递增，根据斜率公式即可证明，要证，即证且，即证且，利用导数分别构造函数证明两个不等式成立即可.

【详解】（1）解：函数的定义域为，

，

当时，，所以函数在上递增；

当时，，所以函数在上递增；

当时，当或时，，当时，，

所以函数在和上递增，在上递减，

综上所述，当时，函数在上递增；

当时，函数在和上递增，在上递减；

（2）证明：由（1）可知，当时，函数在上递增，

则，，

所以，

则要证，

即证且，

即证且，

此时，，

则，

令，，

则，

所以在上递增，

所以，即，

又，所以，即，

，

令，

则，

所以函数在上递减，

所以，即，

又，所以，即，

所以且．

【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式问题，考查了分类讨论思想及转化思想，有一定的难度.