2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二下学期4月月考数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求函数在处的导数，再根据导数的几何意义确定切线斜率，并利用点斜式求切线方程.

【详解】函数的定义域为，其导函数，

所以，

所以曲线在点处的切线的斜率为1，又，

故曲线在点处的切线方程为.

故选：D.

2．函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先对函数求导，然后令导函数大于0解出不等式，并结合函数的定义域，即可得到本题答案.

【详解】因为，所以，

令，得或，

又函数的定义域为，所以函数的单调递增区间为，

故选：C

3．已知等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．30 B．36 C．42 D．54

【答案】B

【分析】利用等差数列的前项和公式列方程组求解即可.

【详解】因为等差数列中，，

所以，

解得，

则，

故选：B

4．函数的最小值是（    ）

A． B． C． D．不存在

【答案】C

【解析】函数求导，判断单调性，求得最小值得解.

【详解】由题意得，.

令，得.

当时，单调递减；当时，单调递增.

因此在处取得极小值也是最小值，且最小值为.

故选：C.

【点睛】利用导数求函数在某区间上最值的规律：

(1)若函数在区间上单调递增或递减，与一个为最大值，一个为最小值．

(2)若函数在闭区间上有极值，要先求出上的极值，与，比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．

(3)函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．

5．抛物线的准线经过椭圆的右焦点，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得抛物线的准线方程以及椭圆的右焦点，再根据抛物线的准线经过椭圆的右焦点求解.

【详解】抛物线的准线方程是，椭圆的右焦点是 ，

因为抛物线的准线经过椭圆的右焦点，

所以p=4，

故选：B

6．已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令，求导分析，可得在上单调递减，不等式可等价转化为，根据单调性可得答案．

【详解】令，

，

，

在上单调递减，

又，

，

不等式可化为，

，

故选：B.

7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为8，是双曲线右支上的一点，直线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】内切圆与，交于，点，，得到，计算离心率即可.

【详解】如图所示：内切圆与，交于，点，

，故，又，.

故选：C

8．若不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意得恒成立，令，则恒成立，利用的单调性可得在时恒成立，即恒成立，构造函数，由其单调性得，即可得出答案.

【详解】因为，恒成立，

即恒成立．

令，则恒成立．

因为恒成立，故单调递增，

所以在时恒成立，

∴恒成立．

令，

．

令，则

∴单调递减．∴，即，

∴单调递减，故．

则正实数的取值范围是.

故选：B．

【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数法：分离出函数中的参数，问题转化为求新函数的最值或范围．若恒成立，则；若恒成立，则；②最值法：通过对函数最值的讨论得出结果．若恒成立，则；若恒成立，则；③分段讨论法：对变量进行分段讨论，然后再综合处理．

二、多选题

9．已知是数列的前项和，，，，则（    ）

A．

B．数列是等比数列

C．

D．

【答案】ABD

【分析】根据递推关系式依次求得数列的前项，加和即可知A正确；将递推关系式转化为，结合，由等比数列定义可得B正确；利用累加法可求得C错误；采用分组求和的方式，结合等比数列求和公式可求得D正确.

【详解】对于A，，，，

，，，

，A正确；

对于B，由得：，

又，数列是以为首项，为公比的等比数列，B正确；

对于C，由B知：，

当时，，

又满足，，C错误；

对于D，，D正确.

故选：ABD.

10．设椭圆的左、右焦点分别为，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．离心率 B．的最小值为4

C．面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切

【答案】CD

【分析】根据椭圆的方程求，由此可求离心率，判断A，根据椭圆的定义和基本不等式求的最值，判断B，根据椭圆的性质，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，即可判断C项，利用圆心到直线的距离即可判断D项.

【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，

因为椭圆的方程为，

故，所以离心率，故A错误；

由椭圆的定义可知，

所以，当且仅当时等号成立；

所以的最大值为4，B错误；

由已知，，

当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，

最大值为，故C正确；

以线段为直径的圆的方程为，圆心为，半径为，

又直线方程为，故圆心到直线的距离为，

所以以线段为直径的圆与直线相切，故D正确.

故选：CD.

11．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数只有两个极值点

B．方程有且只有两个实根，则的取值范围为

C．方程共有4个根

D．若，，则的最大值为2

【答案】ACD

【分析】对函数求导，利用导数研究函数的极值判断；分析函数的性质，借助图象判断；结合图象和函数的零点判断；由结合取最大值的x值区间判断D作答.

【详解】对于，对求导得：，当或时，，当时，，即函数在，上单调递减，在上单调递增，因此，函数在处取得极小值，在处取得极大值，故选项正确；

对于，由选项知，作出曲线及直线，如图，要使方程有且只有两个实根，观察图象得当时，直线与曲线有2个交点，

所以方程有且只有两个实根，则的取值范围为，故选项错误；

对于，由得：，解得，

令，则，结合图象方程有两解，，，所以或，

因为，所以，所以方程有两解；

又因为，结合图象可知：也有两解，

综上：方程共有4个根，故选项正确；

对于，因为，而函数在上单调递减，

因此当时，，当且仅当，

所以t的最大值为2，故选项正确.

故选：CD

【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察

与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.

12．函数的大于0的零点为，函数的大于1的零点为，下列判断正确的是（提示：）（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据题意可知，即可计算得出A，B答案.再将计算结果代入化简即可得出C.最后根据单调性即可判断出零点区间.

【详解】根据题意可知，即

将代入等式，等式成立，故A正确.

因，所以，故B错误.

,因为，所以，故C正确.

在先小于0，后大于0，故在先减后增，，，所以在没有零点，故D错误.

故选:AC

三、填空题

13．在等比数列中，若，则           .

【答案】16

【分析】根据给定条件，结合等比数列通项列式计算作答.

【详解】设等比数列的公比为，由，得，解得，

所以.

故答案为：16

14．已知，则___________.

【答案】

【分析】将作为常量对求导，得到导函数，再将作为未知量求解即可.

【详解】由解析式知：，

，解得.

故答案为：

15．已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数a的取值范围是          ．

【答案】

【分析】将原函数分解为 ，再作图，根据几何意义即可得出结论.

【详解】有且仅有一个整数解， ， 等价于有且仅有一个整数解，

即，令， ，当 时， ， 时， ，在 处取得极大值，

直线：过定点，作下图，

∴2是唯一的整数解，即 ，解得： ；

故答案为： .

四、双空题

16．牛顿选代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值．一般的，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值．设的零点为，取，则的次近似值为     ；设，数列的前项积为．若任意恒成立，则整数的最小值为     ．

【答案】         

【分析】（1）对函数求导，依次求出切点、斜率、斜线方程，即可得出结果.

（2）由（1）可得，进而可得，，即可得出结果.

【详解】（1）

，所以

当，所以

当

（2）

因为

所以，为整数，

故答案为：；2

【点睛】关键点点睛：由和，观察得出是本题的关键.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.

五、解答题

17．已知等差数列中，.

(1)求数列的通项；

(2)设，求数列的前项和

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，求出数列的首项、公差作答.

（2）由（1）的结论，利用错位相减法求和作答.

【详解】（1）依题意，等差数列的公差，由，得，解得，

所以数列的通项.

（2）由（1）得：，

则，

于是，

两式相减得

，

所以.

18．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与交于两点，与轴交点为P.

(1)若，求的方程；

(2)若，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直线的方程设为，联立直线与抛物线方程，设,，,，利用韦达定理，结合抛物线的定义，转化求解即可；

（2）直线的方程设为，求出，通过，结合韦达定理，转化求解点的坐标，然后求解即可．

【详解】（1）由题意，直线的方程设为，

联立直线与抛物线方程，可得，

，可得，

设,，,，，，

因为，所以，可得，可得，

所以直线的方程为：．即．

（2）直线的方程设为，

令，可得，所以，

所以,，,，

因为，所以：,,，

所以，，

，，

，

化简可得，，，

可得，，，

．

19．已知函数，其中为实数，

（1）若，求函数的最小值；

（2）若方程在上有实数解，求的取值范围；

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）利用导数可求得单调性，由此可确定；

（2）求导后，在和两种情况下可确定单调，不满足题意；当时，可求得单调性，结合单调性可知只需即可满足题意，由此可求得结果.

【详解】（1）当时，，则，由得：；

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增；

.

（2）；

①当时，在上恒成立，在上单调递增，

，方程在上无实数解，不合题意；

②当时，在上恒成立，在上单调递减，

，方程在上无实数解，不合题意；

③当时，令得：；

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，，

若方程在上有实数解，则只需，

即，解得：，；

综上所述：的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查根据方程有根求解参数范围，解题关键是能够通过分类讨论得到函数在区间内的单调性，结合单调性确定函数最值，由此得到不等关系.

20．斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，与共线.

(1)求椭圆的离心率；

(2)若（异于）为椭圆上一点，且，求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）设出焦点的坐标，求出直线的方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理及共线向量列式计算作答.

（2）利用（1）的信息，用韦达定理及点在椭圆上列式求解作答.

【详解】（1）令椭圆的右焦点，则直线的方程为，

由消去y并整理得，

显然过椭圆右焦点的直线与椭圆必交于两点，即，设，

则，有，

而与共线，于是，

即有，解得，

所以椭圆的离心率.

（2）由（1）知，，椭圆的方程为，

且，，

而，，

即有点在椭圆上，因此，

整理得，即，

而，解得，

所以的值为.

21．在数列中，.

(1)求数列的通项；

(2)若存在，使得成立，求实数的范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，结合数列前n项和与第n项的关系变形，再构造等比数列求解作答.

（2）变形给定不等式，构造数列并探讨其单调性，再求出最小值作答.

【详解】（1）由，，得当时，，

两式相减得：，即，而，

因此构成以为首项，3为公比的等比数列，

则当时，，即，显然不满足上式，

所以数列的通项.

（2）依题意，由不等式，得，

当时，，当时，，

令，，而，因此当时，，

数列是递增数列，，即当时，，

于是，依题意，，

所以实数的范围是.

22．已知是常数，函数有两个极值点

(1)求的取值范围；

(2)求证：

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据函数极值点转化为有两个不等实根，再利用导数研究函数的单调性，转化为求解；

（2）根据（1）可得在上递增，可证，再构造函数，利用导数判断单调性即可得出.

【详解】（1），

，

因为函数有两个极值点，

所以有两个不相等的根.

令，

则，

当时，，函数单调递增，不合题意；

当时，令，可得，

当时，，在上单调递增，当时，，

当时，，在上单调递减，当时，，

所以有两个不相等的根需满足，

即，解得，

故的取值范围为.

（2）由（1）知，当时，有两根，

且由单调性知当时，，

故在上单调递增，所以，

又，可知，

又由可得，

所以，

设，

则，所以在上单调递减，

所以，

 即，

综上，.

【点睛】关键点点睛：根据函数有极值，转化为导函数有两个零点是解题的关键之一，再由导函数的导数确定导函数的单调性、极值是关键之二，利用导函数的单调性判断导函数在的符号，得出函数在区间的单调性是关键之三，据此可得出.