2022-2023学年贵州省威宁县第八中学高二下学期第二次月考数学试题含答案

2022-2023学年贵州省威宁县第八中学高二下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．在等差数列中，若，则（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质求得.

【详解】依题意，.

故选：C

2．已知空间向量，，且，则（    ）

A．6 B．10 C．8 D．4

【答案】A

【分析】根据空间向量平行的坐标运算即可求得答案.

【详解】因为，所以，解得，

则.

故选：A.

3．学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是（    ）

A．20 B．30 C．35 D．40

【答案】B

【分析】根据组合的知识求得正确答案.

【详解】选出的志愿者中，个女生个男生时，方法数有种，

个女生个男生时，方法数有种，

所以不同选法有种.

故选：B

4．某校组织高二学生体检，其中男生有500人，已知此次体检中高二男生的身高h（cm）近似服从正态分布，统计结果显示高二男生中身高高于179cm的概率为0.34，则此次体检中，高二男生身高不低于169cm且不高于174cm的人数约为（    ）

A．60 B．75 C．80 D．100

【答案】C

【分析】根据正态分布的概念，正态曲线的性质进行计算求解.

【详解】由题可知，高二男生中身高不高于169cm的概率为0.34，

所以高二男生身高不低于169cm且不高于179cm的概率为，

所以高二男生身高不低于169cm且不高于174cm的概率为，

所以高二男生身高不低于169cm且不高于174cm的人数约为，故A，B，D错误.

故选：C.

5．从1，2，3，…，8，9这9个数字中任取3个数组成一个没有重复数字的三位数，若这些三位数能够被5整除，则这样的三位数的个数为（    ）

A．504 B．336 C．72 D．56

【答案】D

【分析】根据三位数的个位为以及分步乘法计数原理求得正确答案.

【详解】依题意可知，这些三位数的个位为，

所以这样的三位数有个.

故选：D

6．已知公比为2的等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（    ）

A．31 B．63 C．64 D．127

【答案】B

【分析】根据已知条件求得，由此求得.

【详解】由于，，成等差数列，

所以，即，

所以，解得，

所以.

故选：B.

7．高二年级组在一次考试后，年级总分排名前6名的同学站成一排照相，若排名为第一名与第二名的同学不站两端，第三名与第四名同学要站在一起，则不同站队方法的种数为（    ）

A．36 B．48 C．60 D．72

【答案】D

【分析】利用捆绑，先安排第一名与第二名，然后安排其他同学，由此计算出正确答案.

【详解】第三名与第四名同学要站在一起，将人捆绑，

相当于个人，中间有个位置，安排第一名与第二名，

所以不同站队方法的种数为.

故选：D

8．如图，已知双曲线的右焦点为F，过点F的直线与双曲线的两条渐近线相交于M，N两点．若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】先利用向量的坐标表示求得，再利用双曲线焦点到渐近线的距离为求得，进而求得，从而利用两点距离公式得到关于的齐次方程，从而得解.

【详解】依题意，双曲线的渐近线为，不妨设，

因为，所以，

又，所以，则，则，

因为到，即的距离为，

又，，即，所以，

又，所以，

所以，则，即，则.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题的关键点有两个，一个是利用平面向量的坐标表示求得点的坐标，另一个利用点线距离公式求得双曲线焦点到渐近线的距离，从而求得，由此得解.

二、多选题

9．圆心在轴上，半径为2，且与直线相切的圆的方程可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】设圆心坐标为，由圆和直线相切，得出圆心到直线的距离等于半径2，根据点到直线的距离公式列出方程，求解即可．

【详解】依题可设圆心坐标为，

由题意得圆心到直线的距离为2，

即，解得，

所以圆的方程为：或，

故选：AC．

10．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：．某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐分别记为事件，，且，，第二天去甲、乙两家餐厅就餐分别记为事件，，且，，已知王同学每天按时到甲、乙两家餐厅中的一家就餐，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】根据题中所给的公式进行逐一判断即可.

【详解】对A，因为，

所以，

所以有，

因此选项A正确,

对B，，故B正确；

对C，，

，所以选项C正确；

对D，因为为对立事件，则，所以选项D不正确，

故选：ABC.

11．为了响应国家强军强国的战略，某中学在军训中组织了射击比赛．规定每名同学有4次射击机会，击中一次得10分，没击中得分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射击机会，每次击中的概率为是，每次射击相互独立．记X为小明的得分总和，记Y为小明击中的次数，下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】由题可知，，再根据二项分布的期望与方差公式一一分析即可.

【详解】对A，由题可知，则，

∴，故A正确；

对B，，，故B错误；

对C，计算易得，时，；时，时，时；；

时，，所以

，故C正确；

∴，故D正确.

故选：ACD.

12．若不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则的值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】将不等式变形为，然后由指数切线不等式得，再构造函数求出其最小值即可求解.

【详解】因为，所以，则．

令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．故，即，

从而，当且仅当时，等号成立．

又，所以，则，所以．

令，则．

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．故，

且当时，.

故选：ABD．

三、填空题

13．已知随机变量X的分布列为

且，则      ．

【答案】/

【分析】先由条件分别计算出，从而可的结果．

【详解】由题可得 ，解得

所以.

故答案为：.

14．展开式中含项的系数为      ．

【答案】3

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的次数为求出，代入通项公式中可求得结果.

【详解】展开式的通项公式为，

令，得，

所以展开式中含项的系数为，

故答案为：3

15．甲、乙、丙、丁四人去电影院看电影，有4张连排的座位，要求甲、乙两人不相邻而坐，则不同安排方法的种数为      ．

【答案】12

【分析】利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法.

【详解】4张连排的座位，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的2人进行全排列，有种排法，

再将甲、乙两人插空，有种排法，

则共有种不同的排法.

故答案为：12

16．在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，且，为的中点，则到平面的距离为      ．

【答案】/

【分析】根据题意，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可

【详解】因为底面，平面，所以，

因为四边形为正方形，所以，

所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则

，

因为为的中点，所以，

所以，

设平面的法向量为，则

，令，则，

所以到平面的距离为，

故答案为：

四、解答题

17．中国在第七十五届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某一地区电动汽车的销售情况，一机构调查了该地区某家电动汽车企业近5个月的产值情况，如下表，由散点图知，产值y（百万）与月份代码x线性相关．

(1)求y与x的经验回归方程，并预测下一年2月份该企业的产值；

(2)为了进一步了解车主对电动汽车的看法，该机构从某品牌汽车4S店当日4位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取3位车主进行采访，记选取的3位车主中购买燃油汽车的车主人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．

参考公式：，．

【答案】(1)，预测产值为亿元.

(2)分布列见解析，期望为

【分析】（1）求出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回归直线方程，并将代入回归直线方程，可得出结果；

（2）分析可知，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，利用超几何分布的期望公式可求.

【详解】（1）解：由表格中的数据可得，

，

，

，

所以，，，

所以，与的线性回归方程为，

当时，（百万元），

预计明年月份该企业的产值约为百万元.

（2）由题意得，则，其中，

，，，，

则分布列为：

则根据其服从超几何分布得.

18．在如图所示的三棱锥中，已知，为的中点，为的中点，为的中点.

(1)证明：平面.

(2)求平面与平面所成锐角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面平行的判定定理可证结论正确；

（2）以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求出结果.

【详解】（1）证明：因为是的中位线，所以.

因为平面平面，

所以平面.

（2）以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则点，，，，，

.

设平面的一个法向量为，

则，取，得，，则.

设平面的法向量为，因为，

所以，得，取，得，则，

所以，

所以平面与平面所成锐角的余弦值为.

19．保护知识产权需要将科技成果转化为科技专利，这样就需要大量的专利代理人员从事专利书写工作，而物理方向的研究生更受专利代理公司青睐．通过培训物理方向的研究生，他们可以书写化学、生物、医学等方面的专利，而其他方向的研究生只能写本专业方面的专利．某大型专利代理公司为了更好、更多地招收研究生来书写专利，通过随机问卷调查的方式对物理方向的研究生进行了专利代理方向就业意向的调查，得到的数据如下表：

(1)用频率近似概率，估计从物理方向的研究生中任选人，求至少有人喜欢专利代理方向就业的概率；

(2)根据的独立性检验，能否认为物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别有关联？

附临界值表及参考公式：

，．

【答案】(1)

(2)物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别有关联

【分析】（1）计算出物理方向的研究生中每人喜欢专利代理方向就业的概率，再结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）提出零假设为物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别没有关联，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.

【详解】（1）解：由调查问卷知，名物理方向的研究生中有名喜欢专利代理方向就业，

所以估计物理方向的研究生喜欢专利代理方向就业的概率为．

从物理方向的研究生中任选人，设喜欢专利代理方向就业的人数为，

则，

即估计从物理方向的研究生中任选人，至少有人喜欢专利代理方向就业的概率为．

（2）解：零假设为物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别没有关联．

，

所以根据的独立性检验，可以推断不成立，

所以物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于．

20．前进中学某班选派16名学生参加书法、唱歌、朗诵、剪纸、绘画五场（同时进行）比赛，其中3人参加书法比赛，5人参加唱歌比赛，2人参加朗诵比赛，2人参加剪纸比赛，4人参加绘画比赛．

(1)从参加比赛的学生中任选3人，求其中一人参加剪纸比赛，另外2人参加同一项比赛的概率；

(2)如果该中学可以再安排3名教师选择参加上述比赛，假设每名教师选择参加各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的，记参加书法或唱歌比赛的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

【答案】(1)

(2)分比例见解析，期望为.

【分析】（1）根据组合公式结合古典概型即可；

（2）根据二项分布的分布列和期望公式即可得到答案.

【详解】（1）设事件为“从参加比赛的学生中任选3人，其中1人参加剪纸比赛，

另外2人参加同一项比赛”，则由题意有

.

（2）由题意可知， 参加书法或唱歌比赛的教师人数 的的可能取值为0，1，2，3.

又每名教师参加书法或唱歌比赛的概率均为，则随机变量，

所以，

，

则 的分布列为：

所以 .

21．为响应全国亿万学生阳光体育运动，某学校准备进行乒乓球双打比赛，某班有10名同学报名组成5个队去参加比赛，这些同学中有4名队员擅长用左手打球，简称“左手队员”，6名队员擅长用右手打球，简称“右手队员”．

(1)如果让这4名“左手队员”都分别与“右手队员”搭配组队，求不同组队方法的种数；

(2)我们将双打队的两名队员刚好是左、右手队员的搭配称为“最佳搭配”，记这5个队中“最佳搭配”的组数为X，求X的分布列与数学期望．

【答案】(1)360

(2)分布列见解析，期望为

【分析】（1）根据排列组合公式即可得到答案；

（2）首先分析出，再按步骤计算出各自概率，最后利用期望公式即可.

【详解】（1）由题意得：有10个队员分成5队，则每队2人，又因为“左手队员”有4名，“右手队员”有6名，

设有2个“右手队员”会组成一队，则共有种，

再将剩下的4名“右手队员”分配给4名“左手队员”，共有种，

则根据分步乘法原理总共有种.

（2）由题意得“最佳搭配”组数必为偶数，则，

总共搭配有种，

则，

，

由（1）知，，

则分布列为：

则.

22．已知函数的最小值为．

(1)求的值；

(2)设函数，求的最值．

【答案】(1)1

(2)有最小值为0，无最大值.

【分析】（1）用导数求出的单调性即可知，从而可求的值；

（2）构造函数可得，无最大值，而即可得的最值．

【详解】（1）函数的定义域为，

，令得，

时，，单调递减，

时，，单调递增，

所以，解得，

故所求的值为1.

（2）令，

，令得，

时，，单调递减，

时，，单调递增，

所以，无最大值，

所以，

而函数单调递增，且，

由上可知有最小值为0，当且仅当即时取得最小值，无最大值.