2022-2023学年甘肃省白银市会宁县第四中学高二下学期第一次月考数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省白银市会宁县第四中学高二下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据条件，利用元素与集合的关系即可求解.

【详解】因为集合，且，

所以，即，解得或.

故选：A.

2．已知命题，则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.

【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”，

则为“”.

故选：D.

3．已知x，y的取值如表所示：

如果y与x线性相关，且线性回归方程为，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】算出、，然后代入方程可得答案.

【详解】∵，，

∴回归直线过点，∴，

∴．

故选：A．

4．已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用点到平面的向量求法，列式计算作答.

【详解】依题意，，而为平面的一个法向量，

所以点到平面的距离.

故选：A

5．设随机变量服从正态分布，若，则a的值为（    ）

A．9 B．7 C．5 D．4

【答案】B

【分析】根据正态分布概率密度函数的对称性即可求解.

【详解】由题意，根据正态分布的对称性，

得，

解得，

故选：B．

6．已知函数的导函数是，且，则（    ）

A．1 B．2 C．12 D．24

【答案】D

【分析】对求导并令求得，即有，进而求.

【详解】由题设，，故，可得，

所以，故.

故选：D

7．已知离散型随机变量X的分布列如下表：

则E(X)=（    ）

A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8

【答案】A

【分析】由概率之和为1可求出的值，再根据分布列直接计算均值..

【详解】由题可得，解得或，

当时，，不符合题意，舍去，

；

所以可得分布列为

，

故选：A.

8．已知则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据条件概率的定义，利用条件分别求得和，从而求得.

【详解】由题知，，，

，

又，

则.

故选：C

【点睛】关键点点睛：利用条件概率的定义分别求得事件同时发生的概率，再利用求得.

二、多选题

9．下列关于极值点的说法正确的是（    ）

A．若函数既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值

B．在任意给定区间上必存在最小值

C．的最大值就是该函数的极大值

D．定义在上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点

【答案】BCD

【分析】A选项可以举出反例，C选项，可以结合函数的单调性，判断出正确；D选项可以举出例子，B选项，从函数的连续性上来进行解决.

【详解】A选项，例如，在处取得极小值，在处取得极大值，而，故极大值不一定大于极小值，A错误，

C选项，，

函数在上单调递增，在上单调递减，

根据极值的定义可知：在处取得极大值，也是最大值，C正确；

对于D，无极值点，有无数个极值点，D正确；

在R上为连续函数，因为连续函数在闭区间上必定存在最值，所以B正确；

故选：BCD．

10．以下关于独立性检验的说法中，正确的是（    ）

A．独立性检验得到的结论一定正确

B．样本不同，独立性检验的结论可能有差异

C．独立性检验不是判断两分类变量是否相关的唯一方法

D．若随机变量，我们有99%以上的把握说吸烟与患肺病有关，则某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病

【答案】BC

【分析】利用独立性检验的意义，逐项判断作答.

【详解】利用独立性原理检验时，与样本的选取有关，因此得到的结论可能有误，A错误；

样本不同，独立性检验的结论可能有差异，B正确；

可以利用等高堆积条形图直观地反映两个分类变量之间是否具有关联性，

因此独立性检验不是判断两分类变量是否相关的唯一方法，C正确；

若，则有99%以上的把握说吸烟与患肺病有关，某人吸烟，不表示他有99%的可能患有肺病，D错误.

故选：BC

11．在四面体中，，则以下选项正确的有（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】AB

【分析】根据空间向量坐标表示公式、空间向量模的坐标表示公式、空间向量垂直的性质和数量积坐标公式逐一判断即可.

【详解】A：因为，所以本选项正确；

B：因为，，

所以有，，

因此本选项正确；

C：因为，，

所以有，因此本选项不正确；

D：因为，，

所以，因此本选项不正确，

故选：AB

12．若随机变量，，其中，下列等式成立的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断各选项的正误.

【详解】对于A选项，利用正态密度曲线的对称性可知，

所以，，A对；

对于B选项，，B错；

对于C选项，

，C对；

对于D选项，，D对.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知p：x2-8x-20≤0，q：x2-2x+1-m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为   

【答案】{m|m≥9}(或[9，+∞))

【分析】首先解一元二次不等式，根据p是q的充分不必要条件可得{x|-2≤x≤10}是{x|1-m≤x≤1+m，m>0}的真子集，再利用集合的包含关系即可求解.

【详解】由x2-8x-20≤0，得-2≤x≤10，由x2-2x+1-m2≤0(m>0)，

得1-m≤x≤1+m(m>0).

因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp.

即{x|-2≤x≤10}是{x|1-m≤x≤1+m，m>0}的真子集，

所以或，解得m≥9.

故答案为：{m|m≥9}(或[9，+∞))

【点睛】本题考查了由命题的逻辑关系求参数的取值范围，同时考查了一元二次不等式的解法以及集合的包含关系，属于基础题.

14．已知且，则的最小值为        .

【答案】4

【解析】将代入中，结合基本不等式即可得解.

【详解】

当且仅当，即时取等

的最小值为4

故答案为：4.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，注意“1”的灵活应用和不等式成立的条件.

15．已知函数的定义域为，满足，且对任意，均有，则不等式的解集为        .

【答案】

【分析】根据题意得到函数关于对称，且在上单调递增，在上单调递减，把不等式，转化为，即可求解.

【详解】由题意，函数满足，可得函数关于对称，

又由对任意，均有，可得函数在上单调递增，

由对称性可知函数在上单调递减，

因为，即，

所以，即，

整理得，解得或，

即不等式的解集为.

故答案为：.

16．已知曲线的方程为，则曲线在点处的切线方程为      .

【答案】或

【分析】求导函数，求切线斜率，最后用点斜式即可写出切线方程

【详解】，，由点斜式得曲线在点处的切线方程为，即

故答案为：

四、解答题

17．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．

(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式、组合数计算公式求得.

（2）根据古典概型的概率计算公式、组合数计算公式求得的分布列.

【详解】（1），

所以.

（2）的可能取值为，

，

，

.

所以的分布列为：

18．一个暗箱里放着6个黑球､4个白球.

(1)依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；

(2)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数的分布列和均值.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据条件概率的求法，找到第第1次取出的是白球的概率与第1次取出的是白球，第3次取到黑球的概率，求其比值即可；

（2）取到白球个数服从二项分布，根据独立重复实验的概率公式与均值公式求解即可

【详解】（1）设事件为“第1次取出的是白球”，

事件为“第3次取到黑球”，

；

（2）设事件为“取一次球，取到白球”，

则，这3次取球结果互不影响，

则，所以，

其分布列为：

.

19．如图是某采矿厂的污水排放量（单位：吨）与矿产品年产量（单位：吨）的折线图：

(1)依据折线图计算相关系数（精确到0.01），并据此判断是否可用线性回归模型拟合与的关系？（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）

(2)若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量.

相关公式，

参考数据：.回归方程中，.

【答案】(1)0.95，可用线性回归模型拟合与的关系；

(2)，5.5吨.

【分析】（1）利用公式计算出相关系数，从而作出判断；

（2）利用公式计算出，得到线性回归方程，并代入，求出答案.

【详解】（1）由折线图得如下数据计算，得，

，

，

所以相关系数，

因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系；

（2），

所以回归方程为，当时，，

所以预测年产量为10吨时的污水排放量为5.5吨.

20．被赞誉为“波士顿比利”的美国知名跑者比尔·罗杰斯曾经说过：“跑步是全世界最棒的运动．”坚持跑步可以增强体质、提高免疫力、改善精神状态．某数学兴趣小组从某地大学生中随机抽取200人，调查他们是否喜欢跑步，得到的数据如下表所示．

(1)分别估计该地男、女大学生喜欢跑步的概率；

(2)依据的独立性检验，能否认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关？

参考公式：，其中．

参考数据：

【答案】(1)，

(2)该地大学生是否喜欢跑步与性别有关

【分析】（1）根据题意可得女大学生有人，进而可得喜欢跑步的频率，再完善列联表可得男大学生喜欢跑步的频率；

（2）完善列联表，计算卡方进行独立性检验即可.

【详解】（1）由题意可得样本中女大学生有人，则女大学生喜欢跑步的频率是，故该地女大学生喜欢跑步的概率是．

由题意可知样本中喜欢跑步的男大学生有人，则男大学生喜欢跑步的频率是，

故该地男大学生喜欢跑步的概率是．

（2）由题意，完善列联表：

零假设为：该地大学生是否喜欢跑步与性别无关．

由题意可得．

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．

21．如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点．

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面；

(3)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）取中点，连，，由线面平行的判定定理可得平面，平面，再由面面平行的判定定理可得平面平面及性质定理可得答案；

（2）过作交于，利用得，由线面垂直的判定定理可得平面，面面垂直的判定定理可得答案；

（3）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量求法可得答案.

【详解】（1）如图，取中点，连，，

∵为中位线，∴，又平面，平面，

∴平面，

同理，在梯形中，，又平面，平面，

∴平面，且平面，平面，，

∴平面平面，

又平面，所以平面．

（2）如上图，在四边形中，过作交于，

在中，得，，，则，得，

∵，∴， 又由已知条件，

，平面，故平面，

又平面，∴平面平面．

（3）∵为等腰三角形，∴，又因为平面，

以为原点建立空间直角坐标系，如图：可得，，

，，，，，

设平面的法向量为，，，

根据，得，解得，

，设直线与平面所成角为，

则，

故直线与平面所成角的正弦值．

22．如图，为圆柱底面的直径，是圆柱底面的内接正三角形，和为圆柱的两条母线，若.

(1)求证：平面平面；

(2)求与面所成角正弦值；

(3)求平面与平面所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证明平面BDQ，再证明，由此可得平面BDQ，再由面面垂直判定定理证明平面PCQ⊥平面BDQ；

（2）建立空间直角坐标系，求出直线BP的方向向量与平面ABQ的法向量，再求两向量的夹角余弦即可得BP与面ABQ所成角正弦值；

（3）求平面的法向量，再求其与平面的法向量的夹角的余弦值，即可求出结果．

【详解】（1）因为为圆柱底面的直径，所以，

因为DQ为圆柱的母线，故，

又，平面，

故平面，

又和为圆柱的两条母线，所以四边形为矩形，因此，

故平面，

又因为平面，所以平面平面．

（2）由题意知两两垂直，

以D为坐标原点，为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，

令，因为是圆柱底面的内接正三角形，

故，故，．

，，，

，，

设平面的法向量为，

由，即，

令，得，

故，

所以直线与面所成角正弦值为

（3）过C作，垂足为H，

，，

故点C的坐标为，，

设平面ACQ的法向量为，

由，即，

令，得，

所以，

所以平面与平面所成角的余弦值为.

【点睛】.