2022-2023学年甘肃省民勤县第一中学高二下学期第二次月考数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省民勤县第一中学高二下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知向量，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】由，得，化简可求得的值

【详解】因为向量，且，

所以，解得，

故选：C

2．已知，则（    ）

A．－4 B．－1 C．1 D．4

【答案】A

【分析】根据导数的定义运算求解.

【详解】因为，则，

所以.

故选：A.

3．已知随机变量服从正态分布，若，则等于（    ）

A．0.14 B．0.28 C．0.68 D．0.86

【答案】A

【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求出．

【详解】因为随机变量服从正态分布，所以，即正态曲线关于直线对称，所以．

故选：A．

4．直线是曲线的一条切线，则实数的值为

A．-1 B． C． D．1

【答案】D

【详解】切线的斜率为，令，故切点为，代入曲线方程得.

5．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员.2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为x，则x的数学期望是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可知x的可能取值为0，1，2，然后求出各自对应的概率，从而可求出数期望

【详解】由题意可知x的可能取值为0，1，2，则

,

,

,

所以，

故选：D

6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题可知导函数在上恒大于等于零.再参变分离求解函数最值即可.

【详解】函数在上单调递增，

即在恒成立.

故，即在恒成立，

因为在上单调递减，

所以在处取得的最大值0，所以.

故选：A

7．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量共面定理求解．

【详解】由题意， ，，

∵，，共面，

∴存在实数唯一实数对，使得，

，

∴，解得．

故选：B．

【点睛】结论点睛：本题考查空间向量共面定理．空间上任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，其他向量都可用基底表示，且表示方法唯一．是不共面的向量，，则共面．

8．英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（    ）

A．0.01 B．0.0099 C．0.1089 D．0.1

【答案】C

【分析】利用条件概率的概率公式求解即可.

【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件，

则，，，，

故所求概率，

故选：C.

二、多选题

9．相关变量，的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性归直线方程：，相关系数为．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断即可.

【详解】由散点图可知这两个变量为负相关，所以，．

因为剔除点后，剩下点的数据更具有线性相关性，更接近1，

所以．

故选：CD．

10．下列结论正确的是（    ）

A．若随机变量x服从两点分布，，则

B．若随机变量Y的方差，则

C．若随机变量ζ服从二项分布，则

D．若随机变量η服从正态分布，，则

【答案】AD

【分析】根据两点分布的期望公式，方差公式，二项分布概率公式，正态分布的对称性，判断选项.

【详解】由条件可知，，，故A正确；

，故B错误；

若随机变量ζ服从二项分布，则，故C错误；

根据对称性可知，正态分布曲线关于对称，所以，故D正确.

故选：AD

11．在长方体中，，，，以为原点，以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．异面直线与所成角的余弦值为

C．平面的一个法向量为

D．二面角的余弦值为

【答案】ACD

【分析】根据坐标系求出各相关点坐标，结合异面直线向量夹角公式，平面法向量求解公式，二面角向量夹角公式，对选项一一判断即可．

【详解】解：在长方体中，，，，

以为原点，以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，

对于A，∵，，∴，故A正确；

对于B，，，，，

设异面直线与所成角为，

则异面直线与所成角的余弦值为：

，故B错误；

对于C，，，，

设平面的一个法向量为，

则，取，得平面的一个法向量为，故C正确；

对于D，平面的一个法向量为，

平面的一个法向量为，

∴二面角的余弦值为：

，故D正确.

故选：ACD．

12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的值域为 B．函数的图象关于点对称

C．函数有且只有2个零点 D．曲线的切线斜率的最大值为－1

【答案】ABC

【分析】由函数的值域判断A；由判断B；利用导数研究函数的单调性，结合函数零点的判定判断C；利用导数及基本不等式求得曲线的切线斜率判断D.

【详解】因为，所以，所以，得，所以的值域为，故选项A正确；

因为，

所以的图象关于点对称，故选项B正确；

令，得．因为函数的图象与函数的图象有且只有两个交点如图所示，故选项C正确；

因为，，

所以，所以，所以，所以，所以曲线的切线斜率无最大值，故选项D错误．

故选：ABC．

三、填空题

13．如下图，在三棱雉中，设，若，则                ．（用表示）

【答案】

【分析】利用空间向量基本定理结合向量的加减法运算和已知条件求解

【详解】因为

所以

，

因为，

所以，

故答案为：

14．为了判断某高中学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到列联表：

根据表中数据，得到，则认为选修文科与性别有关系出错的概率约为           .（参考数据：，）

【答案】

【分析】根据独立性检验的方法即可求解.

【详解】因为，，

所以认为选修文科与性别有关系出错的概率约为.

故答案为：.

15．已知随机事件A，B，且，，，则     .

【答案】

【分析】根据条件概率公式先得，再计算即可.

【详解】解：因为，，

所以，解得，

所以.

故答案为：

16．若图象上存在两点关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”），若恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是                ．

【答案】

【分析】根据题意分析可得在上有两解，利用导数判断的单调性和最值，数形结合处理问题.

【详解】当时，关于原点对称的函数为，

若要恰有两个“友情点对”，则有两解，

即在上有两解，

令，求导可得，

当，，则在内为减函数，

当，，则在内为增函数，

可得，，且当趋近于时，趋近于0，

所以其图像为：

若要在上有两解，则，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表：

（1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的经验回归方程；

（2）若该地参与社区养老的老人，他们的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？

参考公式：线性回归方程，，.

参考数据：，

【答案】（1）；（2）人．

【分析】（1）利用条件及回归直线方程公式即求；

（2）由题可求，结合条件即求.

【详解】（1）由题意知，

，

，

，

所以，

，

故所求经验回归方程为；

（2）由题可知，

该地参与社区养老的老人有（人）

该地参与社区养老的老人约有人.

18．如图，在平行六面体中，，，

（1）求的长；

（2）求证：直线平面．

【答案】（1）；（2）证明见解析

【分析】（1）首先设，，，得到，再平方即可得到答案。

（2）首先根据题意得到，，计算，，从而得到，，再利用线面垂直的判定即可证明。

【详解】（1）设，，，则。

因为，，，

所以，

所以

，

所以

（2）由（1）知：，，

所以，

，

即，，又，

所以平面。

【点睛】本题第一问考查利用空间向量求线段长度，第二问考查利用空间向量证明线面垂直，属于中档题。

19．已知函数在处取得极值4．

(1)求的值；

(2)求函数在区间上的最值．

【答案】(1)

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）由题意可得，然后列方程组可求出；

（2）利用导数求出的单调区间，从而可求出函数的最值.

【详解】（1）由，得，

因为曲线在处取得极值4．

所以，即得，

解得，

所以，

当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极值，

所以.

（2）由（1）得：，

令，得或，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

因为，所以．

所以在区间上的最大值为，最小值为．

20．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，且点和分别为和的中点.

(1)求证：∥平面；

(2)求点到平面的距离；

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据给定条件建立空间直角坐标系，再借助直线的方向向量与平面的法向量垂直即可得证；

（2）借助空间向量中点到平面的距离公式即可求解.

【详解】（1）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，

则，

因为分别为的中点，则，

由题意可知，是平面的一个法向量，又，

所以，因此，平面，而平面，

所以平面；

（2）因为，

设平面的一个法向量为，则，

令，得，又，

设点到平面的距离为，则，

所以点到平面的距离为.

21．某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值（其中：），得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：

(1)从样本的级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在的零件的件数为，求的分布列和数学期望；

(2)该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500件一箱包装，已知一个A级零件的利润是10元，一个级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润．

【答案】(1)分布列见解析；期望为

(2)4750元

【分析】（1）根据题意求相应的频率和人数，进而结合超几何分布求分布列和期望；

（2）根据题意分析可得，，根据二项分布期望的公式，结合期望的性质运算求解.

【详解】（1）因为质量指标值在、的频率均为，个数均为，

所以样本的级零件个数为10个，故可能取的值为0，1，2，3，

相应的概率分别为：

，

，

随机变量的分布列为

所以期望．

（2）设每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，则级零件有个，

由题意知：，

由（1）知：每箱零件中级零件的概率为，A级零件的概率为，

所以，所以（元），

所以（元）．

所以每箱零件的利润是4750元．

22．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.

【答案】(1)见详解；(2) .

【分析】(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2) 讨论的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得的取值范围.

【详解】(1)对求导得.所以有

当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；

当时，区间上单调递增；

当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.

(2)若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为.

所以，设函数，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.

若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.

所以，而，所以.即的取值范围是.

综上得的取值范围是.

【点睛】(1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，由计算量补充.