2022-2023学年河北省高碑店市崇德实验中学高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年河北省高碑店市崇德实验中学高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．若复数是纯虚数，则实数a的值是（    ）

A．1 B．0 C． D．

【答案】A

【分析】由复数的除法运算、复数分类可得答案.

【详解】依题意，由于是纯虚数，

所以，解得.

故选：A.

2．下列命题中，正确的个数是（    ）

①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；

②若||＝||，则＝或＝－；

③若 (λ为实数)，则λ必为零；

④已知λ，μ为实数，若，则与共线．

A．0 B．1

C．2 D．3

【答案】A

【分析】根据向量相等、向量的模的概念可判断①②；根据数乘向量可判断③；由特例可判断④.

【详解】①错误，如在▱ABCD中，，但是这两个向量的起点和终点分别不重合；

②错误，模相等的两个向量，方向关系不确定；

③错误，若 (λ为实数)，则λ＝0或；

④错误，当λ＝μ＝0时，＝0，但与不一定共线．

故选：A

3．已知向量，，若，则（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【分析】由题可得，即可求出.

【详解】因为，，，

所以，解得.

故选：C.

4．已知数列的前项和为，若，则（    ）

A．8 B．-8 C．64 D．-64

【答案】D

【解析】可写出时，满足，与相减得到关于的递推公式，由是等比数列求解.

【详解】当时，，解得；当时，，

两式相减得，即，∴ ，

∴ ，

故选：D.

【点睛】给出 与 的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出与之间的关系，再求.

5．在平面直角坐标系中，若角以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接利用任意角的三角函数定义即可得解.

【详解】由任意角三角函数定义得：.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义，属于基础题.

6．已知，则值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由，得到，结合“降幂公式”化简得到，代入，即可求解.

【详解】由，可得，即，

则.

故选：D.

7．已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，则（    ）

A．3 B． C．-3 D．

【答案】D

【解析】设数列是公差为，，根据等差数列的通项公式及前项和公式计算可得；

【详解】解：设数列是公差为，，首项为，因为

所以，所以，所以

所以

故选：D

8．设,其中，若在区间上为增函数，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式，在利用正弦函数的性质，即可求解.

【详解】由题意

，

由，得，

因为在上为增函数，

所以，得，解得

所以的最大值为，

故选：C.

二、多选题

9．下列与的值一定相等的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据三角函数的诱导公式化简各选项中的函数值，可得答案.

【详解】因为，A错误；，B错误；

，C正确；，D正确，

故选：CD

10．若复数满足（为虚数单位），则下列结论正确的有（　　）

A．的虚部为 B． C．的共轭复数为 D．是第三象限的点

【答案】BC

【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.

【详解】，，

所以，复数的虚部为，故A错误；

，故B正确；

共轭复数为，故C正确；

复数在复平面对应的点在第四象限，故D错误.

故选：BC.

11．如图，在平行四边形中，，，，延长DP交BC于点M，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据向量的线性运算以及数量积公式即可求解.

【详解】依题意，

因为在平行四边形中，，，

所以，即M为BC的中点，

所以，故A正确；

因为不共线，所以错误，故B错误；

，故C正确；

，

故D正确．

故选：ACD.

12．下图是函数（其中，，）的部分图象，下列结论正确的是（    ）

A．函数的图象关于原点对称

B．函数的图象关于点对称

C．函数在区间上单调递增

D．方程在区间上的所有实根之和为

【答案】ABD

【分析】根据函数图象求出的解析式，根据正弦型函数的性质判断选项正误.

【详解】由已知，，，因此，

∴，

所以，过点，

因此，，又，

所以，∴，

对A，图象关于原点对称，故A正确；

对B，当时，，故B正确；

对C，由，有，故C不正确；

对D，当时，，所以与函数有4个交点令横坐标为，，，，，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】本题考查根据正弦型函数的部分图象求函数的解析式，以及分析正弦型函数的性质，属于基础题.

三、填空题

13．已知，是第四象限角，则的值是      ．

【答案】/

【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得；

【详解】解：因为，且，解得，

因为是第四象限角，所以；

故答案为：

14．已知数列{}的通项公式为，那么是它的第          项．

【答案】

【详解】试题分析：由得因为解得

【解析】数列通项

15．在中，，，若角有两个解，则的取值范围是            .

【答案】

【分析】利用正弦定理得到，再根据有两个解，即可得到且，从而得到，即可求出的取值范围；

【详解】解：由正弦定理，则，因为角有两个解，又，所以且，所以，即，解得，即

故答案为：

16．已知，，且，,则的值为        ．

【答案】

【分析】利用配凑角求cos 2α再利用二倍角公式求解

【详解】∵<α<π，∴π<2α<2π.

∵－<β<0，∴0<－β<，π<2α－β<，而sin(2α－β)＝>0，

∴2π<2α－β<，cos(2α－β)＝.

又－<β<0且sin β＝，

∴cosβ＝，

∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β]

＝cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sin β

.

又cos 2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝.

又，∴sin α＝.

故答案为：

四、解答题

17．已知向量.

(1)求；

(2)若，求实数的值；

(3)若，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】利用平面向量线性运算、向量相等、向量平行的坐标表示进行求解.

【详解】（1），

.

（2），

又，，

所以，解得，

所以.

（3）,

，

，

，

，

解得.

18．已知函数.

(1)求的值；

(2)求的单调区间；

(3)若对，关于的方程都有解，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)增区间为，减区间为

(3)

【分析】（1）利用特殊角三角函数值即可求得的值；

（2）利用整体代换法即可求得的单调区间；

（3）求得在上的值域，进而求得实数的取值范围.

【详解】（1）

（2）

，所以，

由，可得

则增区间为；

由，可得

则减区间为；

（3）因为，所以

则，则

因为，方程都有解

即有解，所以的取值范围是.

19．已知直线分别是函数与图象的对称轴.

（1）求的值；

（2）若关于的方程在区间上有两解，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据正弦函数的对称轴列式可得，然后代入，利用诱导公式可求得；

（2）将问题转化为在区间上有两解，根据正弦函数的图像列式可得答案.

【详解】（1）由题知：

，

，

，.

（2）由+1-m

，所以，

，

在上有两个不同实数解，

，

所以，

.

【点睛】本题考查了正弦函数的对称轴，考查了正弦函数的图像，考查了函数与方程思想，属于中档题.

20．已知函数，，，.的部分图象，如图所示，、分别为该图象的最高点和最低点，点的坐标为.

（1）求的最小正周期及的值；

（2）若点的坐标为，，求的值；

（3）在（2）的条件下，若，求函数的值域.

【答案】（1）6，；（2）；（3）.

【解析】（1）由周期公式可求得的最小正周期，把点坐标代入即可求出的值；

（2）先求出向量，的坐标，根据已知代入即可求出的值．

（3）先判断在上递增，在上递减，利用单调性求最值可得结果.

【详解】（1）利用公式可知：．

点的横坐标为1，，．

（2）的坐标为，

又点的坐标为，，．

又

即可求得：．

（3）在上递增，在上递减，所以，

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象、周期性单调性最值，考查了数量积表示两个向量的夹角，属于中档题．

21．在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c.已知.

(1)求；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，结合两角和的公式可得，进而可得结果；

（2）通过正弦定理将表示为关于的三角函数，结合正弦函数的性质可得结果.

【详解】（1）∵

∴由正弦定理得

∵且

又∴，即

（2）由正弦定理有

∴

∵

∴

又∵，∴

22．已知，，若的内角，，的对边分别为，，.

（1）若，，且的面积为，求，的值.

（2）若，试判断的形状.

【答案】（1）；（2）直角三角形或等腰三角形

【分析】（1）根据题意,由正弦的二倍角及余弦的降幂公式,结合辅助角公式化简三角函数式,并结合即可求得.再根据面积公式可求得的值.在中应用余弦定理,代入即可求得,的值.

（2）由,代入后结合正弦的和角公式与差角公式化简,即可得.讨论与,即可判断三角形形状.

【详解】（1）由正弦的二倍角及余弦的降幂公式,结合辅助角公式化简可得

,

又,

则,

又,

故,

,

所以

在中由余弦定理可知,

化简可得,

则可解得.

（2）由条件,

可知,

化简可得,

则或,

即或,

所以为直角三角形或等腰三角形.

【点睛】本题考查了正余弦二倍角公式及辅助角公式的应用,三角形面积公式及余弦定理解三角形的应用,正弦的和角公式与差角公式对三角函数式进行变形化简,三角形形状的判断,综合性较强,属于中档题.