2022-2023学年河北省邯郸市鸡泽县第一中学高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年河北省邯郸市鸡泽县第一中学高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简集合，根据补集和交集的概念可求出结果.

【详解】由得或，则或，则，

又，所以.

故选：A

2．的一个必要条件是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】通过一一判断即可.

【详解】由题意，

∵，

∴，A正确

对B项，，故B错误；

对C项，不能小于2，故C错误，

对D项，不能等于1，故D错误，

故选：A.

3．已知命题或，则命题的否定为（    ）

A．或

B．且

C．且

D．且

【答案】D

【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.

【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，因为命题或是存在量词命题，所以命题的否定为且.

故选：D.

4．将英文单词“”中的6个字母重新排列，其中字母b不相邻的排列方法共有（    ）

A．120种 B．240种 C．480种 D．960种

【答案】B

【分析】先排除b之外的其余四个字母，再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b即可.

【详解】由题意可先排除b之外的其余四个字母，有种排法，

再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b，有种放法，

故字母b不相邻的排列方法共有（种），

故选：B

5．若，则当，1，2，…，100时（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用比大小的方法，即可求出k的值.

【详解】解：由题意得：

即，

化简得：，

又k为整数,可得,所以，

故选：C．

6．设函数，在上的导函数存在，且，则当时（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】对于AB，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD，构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得在上单调递减，从而得以判断.

【详解】对于AB，不妨设，，则，，满足题意，

若，则，故A错误，

若，则，故B错误；

对于CD，因为，在上的导函数存在，且，

令，则，

所以在上单调递减，

因为，即，所以，

由得，则，故C正确；

由得，则，故D错误.

故选：C.

7．如图，在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，，则此数列的前项的和为（    ）

A．680 B．679 C．816 D．815

【答案】D

【分析】根据“杨辉三角”以及组合数性质运算可求出结果.

【详解】根据“杨辉三角”，得，

因此，此数列的前30项和为：

.

.故选：D.

8．已知在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将问题化为与有两个不同的交点，利用导数研究单调性、值域，即可求参数范围.

【详解】由，则，故，

要使原方程在有两个不等实根，即与有两个不同的交点，

由，令，则，，则，

所以在上递增，上递减，故，

又趋向于0时，趋向负无穷，趋向于正无穷时，趋向0，

所以，要使与有两个不同的交点，则，

所以.

故选：D

二、多选题

9．已知事件A，B满足，，则（    ）

A．若，则

B．若A与B互斥，则

C．若，则A与B相互独立

D．若A与B相互独立，则

【答案】BD

【分析】由事件的包含关系、互相独立事件、互斥事件和条件概率的计算公式验证各选项.

【详解】解：对于A，因为，，，所以，故A错误；

对于B，因为与互斥，所以，故B正确；

对于C，因为，即，所以，又因为，所以，故C错误；

对于D，因为与相互独立，所以与相互独立；因为，所以，所以，故D正确.

故选：BD

10．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合，逐项判断即可.

【详解】因为是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且两函数在上单调递减，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，

所以，，

所以，，，

所以BD正确，C错误；

若，则，A错误.

故选：BD

11．设 为的导函数，下列命题正确的有（    ）

A．若 ，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则 ，且

【答案】BCD

【分析】根据导数的定义以及运算规则逐项分析.

【详解】对于A，∵ ∴ ∴ ，

∵ ∴ ， ，故A错误；

对于B， ，可得，故B正确；

对于C， ，则 ，故C正确；

对于D，若 ， ，故D正确；

故选：BCD.

12．已知，函数，则（    ）

A．对任意，，存在唯一极值点

B．对任意，，曲线过原点的切线有两条

C．当时，存在零点

D．当时，的最小值为1

【答案】ABD

【分析】对于A，求出函数导数，数形结合，判断导数正负，从而判断函数单调性，确定函数极值点；对于B，设切点为，利用导数的几何意义可得方程，结合方程的根的个数，判断切线的条数；对于C，利用导数判断函数单调性，求函数最值，根据最值情况判断函数的零点情况；对于D，由于为偶函数，故先判断时函数的单调性，结合偶函数性质，即可判断的单调性，进而求得函数最值.

【详解】对于A，由已知，函数，可得，

令，

则即在R上单调递增，

令，则，

当时，作出函数的大致图象如图：

当时，作出函数的大致图象如图：

可知的图象总有一个交点，即总有一个根，

当时，；当时，，

此时存在唯一极小值点，A正确；

对于B，由于，故原点不在曲线上，且，

设切点为，则，

即，即，

令，，

 当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

故，

当时，的值趋近于0，趋近于无穷大，故趋近于正无穷大，

当时，的值趋近于正无穷大，趋近于无穷大，故趋近于正无穷大，

故在和上各有一个零点，即有两个解，

故对任意，，曲线过原点的切线有两条，B正确；

对于C，当时，，，

故，该函数为R上单调增函数，，

故，使得，即，

结合A的分析可知，的极小值也即最小值为，

令，则，且为增函数，

当时， ，当且仅当时取等号，

故当时，，则在上单调递增，

故，令，则，

此时的最小值为，无零点，C错误；

对于D，当时，为偶函数，考虑视情况；

此时，，

结合A的分析可知在R上单调递增，，

故时，，则在上单调递增，

故在上单调递减，为偶函数，

故，D正确，

故选：ABD

【点睛】难点点睛：本题综合新较强，综合考查了导数的几何意义以及极值点、零点、最值问题，计算量较大；难点在于利用导数解决函数的零点问题时，要能构造恰当的函数，结合零点存在定理判断导数值的情况，从而判断函数的单调性，求得最值，解决零点问题.

三、填空题

13．的展开式中的常数项为           .

【答案】

【分析】由二项展开式的通项求解即可.

【详解】的展开式的通项为

，，，，，.

令，则，

∴的展开式中的常数项为.

故答案为：.

14．已知，，且，则的最小值为      ．

【答案】6

【分析】利用不等式，结合已知条件，即可求得的最小值.

【详解】因为，

故可得：，

即，

解得：或.

因为，故（当且仅当时取得最小值）

故答案为：.

15．已知曲线与有公共切线，则实数的取值范围为          .

【答案】

【分析】设公切线与曲线的切点为，，利用导数的几何意义分别求和上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.

【详解】设公切线与曲线和的切点分别为，，其中，

对于有，则上的切线方程为，即，

对于有，则上的切线方程为，即，

所以，有，即，

令，，

令，得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，故，即.

∴正实数的取值范围是.

故答案为：.

16．对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数；，请你根据上面探究结果，计算          ．

【答案】

【分析】对已知函数两次求导数，由题意可得函数关于点，对称，即，从而即可得答案．

【详解】解：由题意，，，

由，得，解得，而，

所以函数关于点，对称，

所以，

.

故答案为：.

四、解答题

17．已知一次函数满足，．

(1)求的解析式；

(2)若，，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）待定系数法求函数解析式，设，代入条件，得到方程组，解出参数即可；

（2）将函数解析式代入即可转化为一个不等式恒成立的问题.

【详解】（1）设，则．

由得．

因为，所以．

所以，的解析式为．

（2）将代入得（*）．

即，．

①当时，不等式*变为，满足条件；

②当时，原问题等价于

解得．

综上，实数的取值范围为．

18．某市为了更好地了解全体中小学生感染某种病毒后的情况，以便及时补充医疗资源，从全市中小学生中随机抽取了100名该病毒抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染某种病毒后的疼痛指数为X，并以此为样本得到了如下图所示的表格：

(1)统计学中常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的似然比．现从样本中随机抽取1名学生，记事件A为“该名学生为有症状感染者（轻症感染者和重症感染者统称为有状感染者）”，事件B为“该名学生为重症感染者”，求事件A发生的条件下事件B发生的似然比；

(2)若该市所有该病毒抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数X近似服从正态分布，且．若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机地抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为Y，求Y的概率分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可；

（2）应用，由二项分布分别写出求分布列及计算数学期望.

【详解】（1）由题意得：，

，

，

.

（2），

，则，

可能的取值为，

的分布列为：

数学期望.

19．已知函数是偶函数，其中是自然对数的底数．

(1)求的值；

(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由函数是偶函数,即得,可求出；

（2）由恒成立,可分参转化,

令，则，，然后利用基本不等式求出右边的最小值即可.

【详解】（1）∵函数 是偶函数，

∴ ，即 ，恒成立

∴

（2）由题意，知 在 上恒成立，

则 ，即 ，

∴

令 ，则 .

∴ .

∵ 在 上单调递增，当且仅当 2 时,取到最小值 .

∴ .  ∴的范围是.

20．已知函数.

(1)求函数的极值和零点个数；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)极大值，没有极小值；只有1个零点；

(2).

【分析】（1）利用导数性质，结合函数极值的定义和零点的定义进行求解即可；

（2）运用常变量分离法，构造函数，利用导数进行求解即可.

【详解】（1）函数定义域为，

当时单调递增，

当时单调递减，

所以函数在时取得极大值，函数没有极小值，

所以函数的极值点只有1个，

因为， 当时，，

当时，

所以 只有一个零点；

（2）要使恒成立，即恒成立，

令，则.

当时，， 单调递增，

当时，，单调递减，

所以在时取得极大值也是最大值，，

要使恒成立，则，

即实数k的取值范围是.

【点睛】关键点睛：运用常变量法构造函数是解题的关键.

21．为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）

(1)求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；

(2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；

(3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件“甲队第局获胜”，利用互斥事件的概率求法求概率即可；

（2）讨论上场或不上场两种情况，应用全概率公式求甲队获得最终胜利的概率；

（3）利用贝叶斯公式求甲队明星队员上场的概率.

【详解】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，

事件“甲队第局获胜”，其中相互独立.

又甲队明星队员前四局不出场，故，

，所以.

（2）设为甲3局获得最终胜利，为前3局甲队明星队员上场比赛，

由全概率公式知，，

因为每名队员上场顺序随机，故，

，

所以.

（3）由（2），.

22．已知函数．

(1)若在单调递增，求实数m取值范围；

(2)若有两个极值点，且，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意，转化为在恒成立，然后转化为最值问题，求导即可得到结果；

（2）根据题意，将零点问题转化为方程根的问题，再讲不等式转化为函数的单调性，即可得到证明.

【详解】（1）由题意，，

因为在单调递增，所以在恒成立.

即在恒成立，

令，

则，在上恒小于等于0，

故在单调递减，.

故.

（2）有两个零点，即有两个根.

由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，且.

所以，且.

要证，只需证，又在单调递减，只需证.

又，只需证.

只需证；只需证，

记，则，

故在上单调递减，

从而当时，，

所以，因此.

【点睛】解答本题的关键在于构造函数，构造函数再由导数求解函数最值，构造函数，再由函数研究其单调性，即可得到结果.