2022-2023学年河北省石家庄北华中学高二下学期4月月考数学试题含答案

2022-2023学年河北省石家庄北华中学高二下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．函数的导函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用求导公式可求答案.

【详解】因为，所以选项A正确.\

故选：A.

2．某物体运动规律是，若此物体的瞬时速度为，则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求得函数的导数，然后令导数等于零，求得对应的的值.

【详解】依题意，令，解得.

故选C.

【点睛】本小题主要考查位移的导数是速度，考查导数在物理上的运用，属于基础题.

3．若，则函数的函数关系式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】对函数求导得，令，得到关于的方程，解方程求得即可.

【详解】由，得，即，解得，

则，所以函数的函数关系式为：；

故选：B.

4．已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是

A．在上为减函数

B．在处取得最大值

C．在上为减函数

D．在处取得最小值

【答案】C

【详解】分析：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可．

详解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知：

f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0

当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减；

当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减．

可知C正确，A错误；

由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B、D错误．

故选C．

点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f′（x）＞0得增区间，由f′（x）＜0得减区间，由f′（x）=0得到的不一定是极值点，需判断在此点左右f′（x）的符号是否发生改变.

5．某高中期中考试需要考查九个学科（语文、数学、英语、生物、物理、化学、政治、历史、地理），已知语文考试必须安排在首场，且物理考试与英语考试不能相邻，则这九个学科不同的考试顺序共有（    ）种

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意利用分步乘法原理，不相邻问题运用插空法，可求出这九个学科不同的考试顺序的种数.

【详解】解：语文考试必须安排在首场，方法，除了物理、英语外，还有6科，这6科任意排，方法种，

这6科中间有7个空，从这7个空中，插入物理、英语这2科，方法有种，

则这九个学科不同的考试顺序共有种，

故选：C.

6．下列计算结果为28的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据排列数以及组合数公式，一一计算各选项中的数值，即得答案.

【详解】，A错误；

，B错误；

，C错误；

，D正确，

故选：D

7．男女六位同学站成一排，则位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先选个女生捆绑看做整体，然后将男生全排列以后再将女生插空即可.

【详解】由题意，先选个女生捆绑看做一个整体：，然后将男生全排列再将女生插空：，

所以不同的排法有种.

故选：B.

8．函数的零点个数为

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【分析】令，转化为两个函数图像的交点个数来求零点个数.

【详解】令得，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有两个交点，也即有两个零点，故选B.

【点睛】本小题主要考查函数零点个数的分析方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

二、多选题

9．下列问题是组合问题的是（    ）

A．把5本不同的书分给5个学生，每人一本

B．从7本不同的书中取出5本给某个同学

C．10个人相互发一微信，共发几次微信

D．10个人互相通一次电话，共通了几次电话

【答案】BD

【分析】利用组合的定义判断.

【详解】A.因为书不同，每个同学拿到的也不同，与顺序有关，故不是组合问题；

B.从7本不同的书中取出5本给某个同学，每种取法中取出的书不考虑顺序，故是组合问题；

C. 10个人相互发一微信，与顺序有关，故不是组合问题；

D. 因为互相通一次电话与顺序无关，故是组合问题；

故选：BD

10．在下列函数中，求导正确的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】BC

【分析】根据初等函数的导数公式和导数的运算法则，逐项计算，即可求解.

【详解】对于A中，函数，可得，则A错误；

对于B中，函数，可得，则B正确；

对于C中，函数，可得，则C正确；

对于D中，函数，可得，则D错误.

故选：BC.

11．下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】由题意利用组合数公式、排列数公式，逐一检验各个选项是否正确，从而得出结论．

【详解】解：对于A，，故A正确；

对于B，，，

所以

所以，故B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确；

故选：ABD

12．函数，则下列说法正确的是（    ）

A．在处的切线方程为

B．为函数的极小值点

C．不等式恒成立

D．方程（且）有两个不等的实数解的a的取值范围是

【答案】AC

【分析】对于A，利用导数的几何意义求解，对于B，利用导数求出函数的极值点判断，对于C，令，然后画出的图象，根据图象判断即可，对于D，令，然后利用导数求出当直线与曲线相切时的值，再根据指数函数的性质可求出a的取值范围

【详解】对于A，由，得，则，所以在处的切线方程为，所以A正确，

对于B，由，得，当时，，当时，，所以为函数的极大值点，所以B错误，

对于C，令，则在上为增函数，所以，由选项B，可知在上递增，在上递减，所以，当时，，当时，，画出两函数图象如图所示，

由图可知，所以不等式恒成立，所以C正确，

对于D，令，由题意可得两函数图象有两个交点，则，设直线与曲线相切于点，由得，则，因为，所以解得，所以，两边取自然对数得，，所以，所以 得，所以当时，直线与曲线相切，所以由指数函数的性质可知当时，直线与曲线有两个公共点，所以D错误，

故选：AC

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的极值，考查导数几何意义的应用，对于选项D，解题的关键是求出直线与曲线相切时的值，再根据指数函数的性质可求出的范围，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题

三、填空题

13．已知函数，则            .

【答案】

【分析】求得函数的导数，得到，结合极限的运算法则，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，所以，

根据极限的运算法则，可得.

故答案为：.

14．已知，则的值为          

【答案】18

【分析】由排列数公式，代入运算即可得解.

【详解】因为，

所以，

则.

故答案为： .

15．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为           .（用数字作答）

【答案】144

【分析】根据间隔排列知两端均为“冰墩墩”,可以先排

【详解】先排“冰墩墩”中间有三个空，再排“雪容融”，则.

故答案为：144.

16．        (用组合数表示)

【答案】

【分析】利用组合数的性质计算即可

【详解】

,

故答案为：

四、解答题

17．已知，求n.

【答案】6

【分析】利用组合数性质以及组合数公式和排列数公式，将化简并展开，解方程即可求得答案.

【详解】由得，

即，即，

解得，或，由知，

故.

18．若，求m.

【答案】或

【分析】根据题意，利用组合数的计算公式，求得，进而求得实数的值.

【详解】依题意，得且，所以，

由，可得，即，解得，

又因为，所以或.

19．按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？

(1)甲、乙、丙三人必须当选；

(2)甲必须当选，乙、丙不能当选；

(3)甲、乙、丙三人至多2人当选.

【答案】(1)36；

(2)126；

(3)756﹒

【分析】(1)只需从除掉甲、乙、丙的9人中选2人即可；

(2)只需从除掉甲、乙、丙的9人中选4人即可；

(3)从所有选法中去掉甲、乙、丙均当选的情况即可.

【详解】（1）甲、乙、丙都入选，余下9人中选2人，有种选法；

（2）甲入选，乙、丙不能当选，则要在余下的9人中选4人，有种选法；

（3）所有的选法种数为，甲、乙、丙都入选有种选法，故有种选法.

20．已知（，且）．

(1)求的值；

(2)若，求n的值．

【答案】(1)96

(2)8

【分析】（1）由排列数计算公式即可求解；

（2）由排列数计算公式即可求解方程.

【详解】（1）解：；

（2）解：由，得，

又，，所以，即，

正整数n为8．

21．已知函数.

(1)求的解析式；

(2)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用常见函数的导数公式及简单复合函数的导数公式即得；

（2）利用导数的几何意义可得切线方程，进而可得.

【详解】（1）；

（2）由（1）知，，

得切线方程为，

所围成的三角形的面积.

22．已知函数.

(1)当时，讨论函数的单调性；

(2)若函数有两个极值点，证明：.

【答案】(1)答案见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）对函数进行求导，根据一元二次方程是否有实根分类讨论进行求解即可；

（2）根据极值的定义，结合导数的性质、对数的运算性质，再通过构造函数进行求解即可.

【详解】（1）的定义域为，

令，，

当，即时，则即，则在上单调递增；

当，即时，令，得，，且，

∴时，

时，，

∴的单调增区间为，，

单调减区间为

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在，上单调递增，

在上单调递减；

（2）∵，且函数有两个极值点，

∴方程有两个正实根，

则有∴

∴，

令，

则，则在上单调递减，

∴，

∴.

【点睛】关键点睛：根据对数的运算性质，结合构造函数法是解题的关键.