2022-2023学年辽宁省沈阳市第三十六中学高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省沈阳市第三十六中学高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．设全集U为实数集，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A． B． C． D．，或，

【答案】D

【分析】根据集合交集和补集的定义，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.

【详解】，或，

，

又图中阴影部分所表示的集合是，

而，或，

即，或，

故选：D

2．已知等比数列的公比为q，则“”是“为递减数列”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】举例即可说明，充分条件性以及必要条件均不成立，即可得出答案.

【详解】取，，此时数列前几项为，显然该数列不是递减数列，

故由“”不能推出“为递减数列”；

取数列，

显然有，即，

所以，为递减数列，但，

故由“为递减数列”也不能推出“”．

故“”是“为递减数列”的既不充分也不必要条件．

故选：D．

3．已知，，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意得，，再根据基本不等式乘“”法即可得最小值.

【详解】由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为.

故选：A

4．已知为数列的前项和，且满足，则（    ）

A．27 B．28 C．29 D．30

【答案】B

【分析】首先根据前n项和，求出，然后即可求出结果.

【详解】因为，

当时，，

当时，

经检验，当时不符合，

所以

.

故选：B.

5．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可．

【详解】函数，

则，

由，

得，即，

解得，

所以在，上的“拉格朗日中值点”的个数为2．

故选：B.

6．等差数列的前项和为.已知，.记，则数列的（    ）

A．最小项为 B．最大项为 C．最小项为 D．最大项为

【答案】C

【分析】根据题意求得等差数列的通项公式和前项和，得到，结合，可排除A、D，再求得数列的单调性，得到B不正确，C正确.

【详解】由题意，设等差数列的公差为，

因为，，可得，

所以，，

则，可得，

所以，可排除A、D；

设，

则，

因为，所以，

所以在区间和上都是单调递增函数，

即当时，数列为递增数列，

当时，数列也为递增数列，

其中，

例如当时，可得，所以B不正确，C正确.

故选：C.

【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：

1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；

2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.

7．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】由题意可知是“最近路线”，所以一共要走次向上、次向右、次向前，一共次，然后算出一共多少种情况，再计算出满足“不连续向上攀登”的情况的数目，最后得出结果.

【详解】根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，∴一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，∴最近的行走路线共有(种).∵不能连续向上，∴先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列为.接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排3个元素，也就是，则最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有(种)，∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P＝＝.

故选：B.

【点睛】本题主要考查古典概率的求解，明确事件包含的基本事件种数是求解关键，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养，正确理解“不能连续向上”就是“三次向上”不能在一起，那么可以先将次向右和次向前首先排列出来，再将三次向上插到里面.

8．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，利用导数讨论单调性即可判断A和B，再构造，利用导数讨论单调性即可判断C和D.

【详解】令，则，

令恒成立，

即在定义域单调递增，

且

因此在区间上必然存在唯一使得，

所以当时单调递减，当时单调递增，

故A，B均错误；

令，，

当时，，

∴在区间上为减函数，

∵，∴，即，

∴选项C正确，D不正确.

故选:C.

二、多选题

9．下列四条曲线中，直线与其相切的有（    ）

A．曲线 B．曲线

C．曲线 D．曲线

【答案】ABD

【分析】根据导数的几何意义逐一判断即可.

【详解】直线的斜率为，

A中，若，则由，得，，

因为点在直线上，

所以直线与曲线相切．

B中，若，则由，

得，，

因为点在直线上，

所以直线与曲线相切．

C中，若，则由，得，

，，

因为，都不在直线上，

所以直线与曲线不相切．

D中，若，则由，得，

，，其中在直线上，

所以直线与曲线相切．

故选：ABD

10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据示意图，结合题意找到各层球的数量与层数的关系，可得，即可判断各项的正误.

【详解】由题意知：，故，

∴，故A错误；

，故B正确；

，故C正确；

，，显然，故D错误；

故选：BC

11．一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球4个，白球1个，黑球3个，则下列选项正确的有（    ）

A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望

B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则数学期望

C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望

D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为Y，则数学期望

【答案】ACD

【分析】对于A，的可能值：0，1，2，3，求出每一个取值的概率后，再求出数学期望，可判断A；

对于B，根据二项分布的数学期望公式可判断B；

对于C，X的可能值：1，2，3，求出每一个取值的概率后，再求出数学期望，可判断C；

对于D，Y的可能值：0，1，2，3，求出每一个取值的概率后，再求出数学期望，可判断D.

【详解】对于A，的可能值：0，1，2，3，

，，

，，

则，故A正确；

对于B，的可能值：0，1，2，3，取球一次取到黑球的概率为，因取球一次有取到黑球和没取到黑球两个结果，因此，，，故B错误；

对于C，X的可能值：1，2，3，

，，，

则，故C正确；

对于D，Y的可能值：0，1，2，3，

因为对应的事件为：红或白红，所以，

因为对应的事件为：黑红或黑白红或白黑红，所以，

因为对应的事件为：黑黑红或黑黑白红或白黑黑红或黑白黑红，

所以，

所以，

则，故D正确.

故选：ACD.

12．函数在上有唯一零点，则下列四个结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】把函数的零点转化为的图像与有唯一公共点，利用导数求得的单调性和极值，以及特殊点的函数值，可判定A正确，B错误，由，可判定C正确；令，求得，根据时，，结合，可判D错误．

【详解】由题意，函数的零点，即为方程，

即的根，等价于的图像与有唯一公共点，

又由，

因为在上单调递增，

当时，，当时，，

所以存在，使得，

当时，，，单调递减，

当时，，，单调递增，

所以，

所以，所以A正确，B错误．

又由，可得，所以C正确；

令，则，

当时，，，所以D错误．

故选：AC

【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.

三、填空题

13．已知数列为等比数列，若数列也是等比数列，则数列的通项公式可以为      ．（写出一个即可）

【答案】.（只要公比为3的数列，即可）

【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出.

【详解】解：设等比数列的公比为，

∵数列也是等比数列，

∴，化为：，解得，取，则.

故答案为：.（只要公比为3的数列，即可）

14．两个线性相关变量x与y的统计数据如表：

其回归直线方程是，则相应于点的残差为    ．

【答案】

【分析】先求解，根据回归直线方程求出时的预测值，然后再求解残差.

【详解】因为，

所以，解得；

所以当时，，所以残差为；

故答案为：.

15．若是函数的极值点，数列满足，，则数列的通项公式      ．

【答案】

【分析】根据极值点的定义，结合等比数列的定义、前项和公式进行求解即可

【详解】，∴，

即，

∴数列是首项为2，公比为3的等比数列，

∴，则

故答案为：

【点睛】关键点睛：利用累和法，结合极值点定义是解题的关键.

16．若函数不存在零点，则实数a的取值范围是      .

【答案】

【分析】根据题意，将问题转化为方程无实数根，进而构造函数，研究函数的最值即可得答案.

【详解】解：因为函数不存在零点，

所以方程无实数根，

所以方程无实数根，即方程无实数根，

故令，

令，故恒成立，

所以，在上单调递减，

由于，

所以，当时，，即，当时，，即，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，

所以，当方程无实数根时，即可.

所以，实数a的取值范围是

故答案为：

四、解答题

17．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足，，．

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S100．

【答案】(1)，，，

(2)11302，

【分析】（1）先由已知条件求出，，从而可求出公差和公比，进而可求出数列的通项公式，

（2）由（1），即是数列中的第项，而，，从而可知数列的前100项是由数列的前107项去掉数列的前7项后构成的，进而可求得结果

【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

由，，，可得，，

则d=2，q=2，，，，

（2）由（1），

即是数列中的第项，

设数列的前n项和为，数列的前n项和为，

因为，，

所以数列的前100项是由数列的前107项去掉数列的前7项后构成的，

所以，

18．函数，若在点处的切线方程为．

(1)求，的值

(2)求函数的单调区间．

【答案】(1)

(2)单调递增区间是，单调递减区间是，．

【分析】（1）利用函数解析式求切点坐标，利用导数求切线斜率，由切线方程可求，的值；

（2）利用导数求函数单调区间.

【详解】（1），

∴，又，

∴在处的切线方程为，即，

∴，解得．

（2）∵，，

∴，

当或时，；当时，，

故的单调递增区间是，单调递减区间是，．

19．武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为，游客之间选择意愿相互独立.

（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量，求的分布列与数学期望；

（2）（i）若从游客中随机抽取人，记总分恰为分的概率为，求数列的前10项和；

（ⅱ）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为分的概率为，探讨与之间的关系，并求数列的通项公式.

【答案】（1）见解析（2）（i）（ⅱ），

【分析】（1）判断出可能取值为3，4，5，6，分别求出概率，进而求出其数学期望．

（2）（i）由题可得首项为，公比为的等比数列，并求其前10项和．（ⅱ）根据与之间的关系，用待定系数法得，进一步就可求出的通项公式．

【详解】解：（1）可能取值为3，4，5，6.

，，，.

∴的分布列为

∴

（2）（i）总分恰为分的概率为，

∴数列是首项为，公比为的等比数列，

前10项和.

（ⅱ）已调查过的累计得分恰为分的概率为，得不到分的情况只有先得分，再得2

分，概率为，.

所以，即

∴.

∴，

∴.

【点睛】本题是一道数列与概率的综合问题，对于递推式，可通过待定系数法求的通项公式，是一道中等难度的题目．

20．已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；

（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；

（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.

【详解】（Ⅰ）因为，所以，

设切点为，则，即，所以切点为，

由点斜式可得切线方程为：，即.

（Ⅱ）[方法一]：导数法

显然，因为在点处的切线方程为：，

令，得，令，得，

所以，

不妨设时，结果一样，

则，

所以

，

由，得，由，得，

所以在上递减，在上递增，

所以时，取得极小值，

也是最小值为.

[方法二]【最优解】：换元加导数法

  ．

因为为偶函数，不妨设，，

令，则．

令，则面积为，只需求出的最小值．

．

因为，所以令，得．

随着a的变化，的变化情况如下表：

所以．

所以当，即时，．

因为为偶函数，当时，．

综上，当时，的最小值为32．

[方法三]：多元均值不等式法

同方法二，只需求出的最小值．

令，

当且仅当，即时取等号．

所以当，即时，．

因为为偶函数，当时，．

综上，当时，的最小值为32．

[方法四]：两次使用基本不等式法

同方法一得到

,下同方法一.

【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.

21．某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行了问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：，，，…，，统计结果如图所示：

(1)由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分z（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得．若A市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；

(2)该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有10轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为．每一轮抽奖，若中奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动．

①求小王获得900元话费的概率；

②求小王所获话费总额X的数学期望（结果精确到0.01）．

参考数据：若随机变量z服从正态分布，即，则，．

【答案】(1)（人）

(2)① ；②（元）

【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，求出，再利用正态分布求出满意度得分位于区间的概率即可计算作答.

（2）①利用独立事件的概率公式计算作答；②求出X的可能值及各个值对应的概率，再利用期望的定义求解作答.

【详解】（1）依题意，样本平均数为，即，

由，得，

而，

所以2万名5G手机用户中满意度得分位于区间的人数约为（人）．

（2）①小王获得900元话费表明其前9轮连续中奖且第10轮未中奖，所以所求的概率为．

②依题意，X的可能取值有0，100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000，即，，，

当，时，，说明小王前i轮连续中奖且第轮未中奖，此时，

又满足，，

因此，于是，

令，则，

两式相减得，

化简得，则（元），

所以小王所获话费总额X的数学期望为99.90元．

22．已知函数，其中e为自然对数的底数.

(1)求函数的最小值；

(2)求证：.

【答案】(1)0；

(2)证明见解析

【分析】（1）直接求导确定单调性即可求得最小值；

（2）将转化为，构造函数求导，令，通过确定的单调性，进而确定单调性，求出，再构造函数求得即可.

【详解】（1），当时，单调递减；

当时，单调递增，故

（2），即，等价于对于恒成立，

令，则，令，，

则即在单调递增，又因为，，

故存在使，则，化简得，即，

所以当时，单调递减；当时，单调递增；

故，令，

则，所以在上单调递增，所以，

所以，故

，即.

【点睛】本题关键点在于构造函数求导后，令再次求导，确定的单调性后借助隐零点确定单调性，求得，再构造函数求得即可.