2022-2023学年河北省石家庄市河北正中实验中学高二下学期月考三数学试题含答案

2022-2023学年河北省石家庄市河北正中实验中学高二下学期月考三数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出集合，利用集合的运算可判断ABC选项，利用集合的包含关系可判断D选项.

【详解】因为或，，

所以，，AC都错，

或或，B错；

或，故，D对.

故选：D.

2．“关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用充分条件、必要条件的判断即可求得结果.

【详解】由“关于的不等式对恒成立”，可得，

解得，则“”的一个充分不必要条件是.

故选：C.

3．已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据两函数图象的关系知，所求函数为偶函数且时两函数解析式相同，即可得解.

【详解】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同，

当时，所求函数图象与时图象关于轴对称，

即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求，

当时，，，故A正确，C错误.

故选：A.

4．在中，角的对边分别为，若，则（   ）

A． B． C． D．或

【答案】A

【分析】由已知及正弦定理可求，利用大边对大角可知，从而得出结果．

【详解】∵，

∴由正弦定理可得：，

，，.

故选：A．

5．函数，若，，，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先判断函数在上单调递增，再确定，从而可解.

【详解】在上单调递增，又在上单调递增，

函数在上单调递增.

又，

则，即,

故选：A

6．已知函数的定义域为，则函数的定义域（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.

【详解】因为函数的定义域为，对于函数，

则有，解得或.

因此，函数的定义域为.

故选：A.

7．若有4名女生和2名男生去两家企业参加实习活动，两家企业均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案有（    ）种

A．20 B．28 C．32 D．64

【答案】B

【分析】根据分步乘法计数原理，先安排男生，再安排女生，在安排女生时，利用间接法分析运算即可.

【详解】先安排2名男生，保证每个小组都有男生，共有种分配方案；

再安排4名女生，若将每个女生随机安排，共有种分配方案，

若女生都在同一小组，共有种分配方案，

故保证每个小组都有女生，共有种分配方案；

所以共有种分配方案.

故选：B.

8．若，则（    ）

A． B．48 C．28 D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，把按展开，求出的系数作答.

【详解】依题意，按展开的展开式中的系数即为，

于是展开式的通项公式为，

则，

所以.

故选：A

二、多选题

9．记是数列的前n项和，且，则下列说法正确的有（    ）

A．数列是等差数列 B．数列是递减数列

C． D．当 时，取得最大值

【答案】ACD

【分析】由等差数列的定义可判断A；求出可判断B、C；根据的表达式结合二次函数的性质可判断D.

【详解】∵，∴数列是等差数列，故A正确；

，

∵，从而，可知数列不是递减数列，故B错误，C正确；

∵，，∴当 时，取得最大值，故D正确.

故选：ACD.

10．下列说法正确的是（    ）

A．命题“，”的否定是“，”

B．“”是“”的充分不必要条件

C．若x，，，则的最大值为1

D．若x，，，则的最大值为4

【答案】BC

【分析】根据含有量词的命题否定方法来判断A，求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件与不等式的关系进行判断B，利用基本不等式求最值即可判断C、D.

【详解】对于选项A：因为命题“，”是全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，故命题“，”的否定是“，”，错误；

对于选项B：由函数为定义域上的增函数，且，得，

则是的充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件，正确；

对于选项C:因为（当且仅当时，等号成立），

所以，所以，所以，所以，

所以的最大值为1，正确；

对于选项D：x，，，则，当且仅当时，等号成立，错误.

故选：BC

11．下列说法中正确的是（    ）

A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的中位数为6

B．若随机变量，且，则

C．若随机变量，且，则

D．对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上

【答案】BC

【分析】根据数据的中位数的概念和计算方法，可判定A错误；根据二项分布的期望和方差的计算公式，可判定B正确；根据正态分布的对称性，可判定C正确；根据回归直线方程的特征，可判定D错误.

【详解】对于A中，把某射击运动员在一次训练中10次射击成绩由小到大排列：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，这组数据的中位数为7，所以A错误；

对于B中，若随机变量，且，可得，解得，

则，所以B正确；

对于C中，若随机变量，且，

可得，则，

所以C正确；

对于D中，对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，可能没有一个数据点在回归直线上，所以D错误.

故选：BC.

12．对于定义域为D的函数，若存在区间使得同时满足:①在上是单调函数；②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”，则（    ）

A．函数有3个“和谐区间”

B．函数，存在“和谐区间”

C．若定义在上的函数有“和谐区间”，实数t的取值范围为

D．若函数在定义域内有“和谐区间”，则实数m的取值范围为

【答案】ACD

【分析】A选项，由的单调性得到a，b为的两个实根，解出x可能取值，确定3个“和谐区间”，A正确；B选项，只有1个解，故不合题意；C选项，分离常数后得到的单调性，问题转化为函数与的图象交点问题，求出函数的单调性和最值情况，从而得到答案；D选项，由函数单调性，确定，，转化为，换元后得到，由的范围求出m的取值范围.

【详解】A选项，因为均在R上单调递增，

所以函数在R上单调递增，

所以有，即a，b为的两个实根，解得x可能取值为，0，，

即函数的有3个“和谐区间，，，故A正确.

B选项，由于，，只有一解，故不存在“和谐区间”，故B错误；

C选项，在上有“和谐区间”，所以存在区间，使函数的值域为，

函数在上单调递增，

∴a，b为关于x的方程的两个实根，即方程在上有两个不等的实根，

即在上有两个不等的实根，

令与，

问题转化为函数与的图象，在上存在两个不同的交点.

，令，解得，

由对勾函数性质可知：函数在单调递减，在上单调递增，

故，且，，

要想即在上有两个不等的实根，

此时，解得：，故，C正确；

D选项，函数在定义域单调递减，

当的定义域为时，的值域也为，

故①，②，

两式相减可得.，

即，③

将③代入②，，

令，得，

又，故，

∵，所以，

∴，

故实数m的取值范围为，D正确.

故选：ACD.

【点睛】函数新定义问题，命题新颖，要熟练掌握函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，有时常常用导函数求解函数单调性及值域，很好的考察学生们知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.

三、填空题

13．已知函数，，则其值域为       ．

【答案】

【分析】令，将问题转化为求二次函数在区间上的值域问题，结合二次函数单调性，即可求解.

【详解】令，∵，∴，

∴，

又关于对称，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，

时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，

.

故答案为：.

14．若函数在区间单调递增函数，则实数a的取值范围是      .

【答案】

【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.

【详解】由题意，函数是上的单调递增函数，

则满足，解得，

所以实数a的取值范围.

故答案为：

15．已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线经过且与左支交于，两点，点在以为直径的圆上，，则的离心率是      .

【答案】

【分析】根据题意设，，根据直径所对的圆周角为直角和双曲线的定义建立方程，进而求解.

【详解】不妨设，，

因为在以为直径的圆上，所以，即，则，

因为在的左支上，所以，

即，解得，则，

因为，所以，即，故，故.

故答案为：.

16．设，且，则的最小值是          .

【答案】

【分析】令，，将变形整理成，再利用基本不等式即可求解.

【详解】令，，则，，

因为，则有，

所以

当且仅当，即时取等号，则分别等于时，的最小值是.

故答案为：.

四、解答题

17．设等差数列的前项的和为，且，，求：

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前14项和.

【答案】（1）；（2）147.

【解析】（1）本小题运用等差数列的基本量法直接求出，再求通项公式即可；

（2）本小题先判断当时，，再求数列的前14项和.

【详解】解：（1）设等差数列的公差为d，

∵ 即，解得：，

∴；

（2）∵，，

∴

令即，解得：，∴ 当时，，

【点睛】本小题考查等差数列的基本量法，数列的前项和的问题，是中档题

18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求角C；

(2)若，的面积为，求c.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式、特殊角的正切值进行求解即可；

（2）根据三角形面积公式和余弦定理进行求解即可.

【详解】（1）根据正弦定理由

因为，所以，所以由，

因为，所以

（2）因为，的面积为，

所以有，舍去，

即，

所以.

19．如图，在棱长为2的正方体中，线段DB的中点为F，点G在棱CD上，且满足.

(1)若E为棱的中点，求证：；

(2)求直线与所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算性质进行计算证明即可；

（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】（1）如图，以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，.

因为，，

所以.

所以，故.

（2）由（1）中的坐标系及题意可知，，，.

因为，.

所以，

又，，

所以，

故直线与所成角的余弦值为.

20．已知函数.

(1)当时，求的极值；

(2)讨论的单调性.

【答案】(1)的极大值为的极小值为

(2)答案见解析

【分析】（1）时，函数已知，求出极值点代入即可求出函数的极值

（2）求导之后是可以因式分解的二次函数，通过讨论二次函数根的大小，结合二次函数图像判断导函数的正负，从而确定函数的单调性

【详解】（1）当时， ，令得：或，由；或，所以在上为减函数，在和上为增函数，

所以的极大值为的极小值为.

（2）.

由，得与，

（ⅰ）当时，即恒成立，则函数在R上单调递增.

（ⅱ）当时，列表得：

单调递增区间为与单调递减区间为 ；

（ⅲ）当时，列表得：

单调递增区间为与单调递减区间为，

综上所述：（ⅰ）当，函数在R上单调递增.

（ⅱ）当时，单调递增区间为与单调递减区间为；

（ⅲ）当时，单调递增区间为与单调递减区间为.

21．某学校有、两家餐厅，王同学第天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为．

(1)①求王同学第天去餐厅用餐的概率；

②如果王同学第天去餐厅用餐，求他第天在餐厅用餐的概率；

(2)餐厅对就餐环境、菜品种类与品质等方面进行了改造与提升改造提升后，餐厅对就餐满意程度进行了调查，统计了名学生的数据，如下表（单位：人）．

依据小概率值的独立性检验，能否认为学生对于餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联？

附：，其中．

【答案】(1)① ；②

(2)认为学生对于餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联

【分析】（1）①设事件第天去餐厅用餐，事件第天餐厅用餐，其中、，利用全概率公式可求得所求事件的概率；

②利用贝叶斯公式可计算得出所求事件的概率；

（2）计算出的观测值，结合临界表可得出结论.

【详解】（1）解：设事件第天去餐厅用餐，事件第天餐厅用餐，其中，，

①王同学第天去餐厅用餐的概率为：

；

②如果王同学第天去餐厅用餐，那么他第天在餐厅用餐的概率为：

.

（2）解：提出零假设：学生对于餐厅的满意程度与餐厅的改造提升没有关联．

，

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生对于餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联．

22．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，是椭圆上异于左、右顶点的动点，的周长为6，椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若圆与的三边都相切，判断是否存在定点，，使为定值.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在定点，

【分析】（1）结合数量积的坐标表示求及其最小值表达式，由条件列关于的方程，解方程求可得椭圆方程；

（2）设圆的半径为，，由内切圆的性质确定的关系，再结合点到直线的距离公式确定的关系，由此确定点的轨迹方程，结合椭圆定义完成证明.

【详解】（1）周长为，

椭圆的离心率为，则，

所以

所以椭圆的标准方程为；

（2）设圆的半径为，，由（1）不妨设，

则的面积，

所以，，所以，

由，，得直线的方程为，

则点到直线的距离为，

整理，得，

把代入上式，得，

即，

由题意得，，，

所以，则，

把，代入椭圆的方程，得，

所以点在椭圆上，

所以存在定点，，使为定值2.

【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于由条件确定点的轨迹方程，再由椭圆定义证明结论.先通过内切圆和等面积法建立点坐标和半径及点坐标的关系，再由相关点法得出轨迹方程即可.