2022-2023学年陕西师范大学附属中学渭北中学高二下学期5月月考数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西师范大学附属中学渭北中学高二下学期5月月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解不等式，可得集合，由二次函数的值域可得集合，再进行交集运算即可求解.

【详解】由得：，因为， 所以，

由得：，

所以，

故选：D．

2．已知复数，，且为纯虚数，则（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【分析】利用共轭复数及复数乘法运算求出a值，再求出复数模作答.

【详解】复数，，则，

依题意，，解得，即，

所以.

故选：C

3．已知两个非零向量，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据向量的共线的坐标运算，求得，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】因为且，可得，解得或，

又因为为非零向量，所以，

故“”是“”的充分不必要条件．

故选：A.

4．若，且，则（    ）

A． B．-1 C．1 D．2

【答案】D

【分析】利用诱导公式可得，即，再根据商数关系化弦为切，求出，再根据两角差的正切公式即可得解.

【详解】因为，所以，

由，得，

即，

所以，即，解得或（舍），

所以.

故选：D.

5．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由函数图像的对称性及特殊点逐一判断即可得解.

【详解】解：由函数图像关于轴对称可得，函数为偶函数，

又选项C对应的函数为奇函数，则排除选项C，

又，显然选项B不满足题意，即排除选项B，

又，显然选项A不满足题意，即排除选项A，

即的解析式可能为D，

故选：D.

【点睛】本题考查了函数的图像，重点考查了函数的奇偶性，属基础题.

6．设实数，满足约束条件则目标函数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式组，作出如图可行域，作直线：，则是直线的纵截距，结合图形即可求解.

【详解】作出可行域，如图内部（含线段不包含顶点的部分），

作直线：，在直线中，是直线的纵截距，

因此直线向上平移时，增大，由于，因此直线与平行，

所以平移直线，当它与直线重合时，取得最大值，

若直线过点A，，

所以目标函数的值域为.

故选：D.

7．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直分别为直角三角形的斜边，直角边，.若，，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先计算出图形的总面积以及阴影部分的面积，再根据几何概型的概率计算公式计算可得.

【详解】解：因为直角三角形的斜边为，，，

所以，

以为直径的圆面积为，以为直径的圆面积为，以为直径的圆面积为.

所以图形总面积，，所以.

故选：

【点睛】本题考查面积型几何概型的概率计算问题，属于基础题.

8．已知函数，当时，的最小值为．若将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后再将得到的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，由条件可得，再由图像变化可得解析式，即可得到结果.

【详解】因为，，

当时，则一个为最大值，一个为最小值，

且的最小值为，即，所以，

即，将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，则，然后再将得到的图像向右平移个单位长度，则，

所以，即，解得，

即解集为，

故选：D

9．已知抛物线上的点到焦点的距离的最小值为，过点的直线与抛物线只有一个公共点，则焦点到直线的距离为（    ）

A．或或  B．或或  C．或 D．或

【答案】B

【分析】由题可得，然后分类讨论求直线方程，进而即得.

【详解】由题意可知，即，

所以抛物线的方程为，焦点坐标为，

当直线斜率不存在时，，由抛物线的图形可知直线与抛物线只有一个公共点，此时焦点到直线的距离为；

当直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个公共点，此时焦点到直线的距离为；

当直线斜率不为0是，设直线方程，

联立直线方程与抛物线方程可得：，

整理可得，

直线与抛物线只有一个交点，则，

解得，，此时直线方程为，

焦点到直线的距离为：，

综上可得，焦点到直线的距离为或或 .

故选：B.

10．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，四面体ABCD的体积为，BD经过该鞠的中心，且，，则该鞠的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】取AC中点，连接、，易得AC为圆面ABC的直径，平面ABC，进而得到平面ABC，然后根据四面体ABCD的体积为，可求外接球半径并求表面积.

【详解】如图，取AC的中点M，连接BM与球O交于另一点N，连接OM，DN，

易知AC为圆面ABC的直径，平面ABC，

因为O，M分别为BD，BN的中点，所以，

所以平面ABC，

∵，∴，

即，在中，，

∴，∴，∴球O的表面积为．

故选：D．

11．已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】确定函数的大致图象，令，则关于的方程即可写成，结合图象分析二次方程的根的取值范围使其满足方程有6个不同的根，即可得实数的取值范围.

【详解】由题意可知，函数的图象如图所示：

根据函数图像，函数在，上单调递增，在，上单调递减；且时取最大值2，在时取最小值0，是该图像的渐近线.

令，则关于的方程即可写成，

此时关于的方程应该有两个不相等的实数根

设，为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意：

①当，时，此时，则；

②当，时，此时，则；

综上可知，实数的取值范围是.

故选：C.

12．已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用退一作差法求得，求得的表达式，结合二次函数的性质求得的取值范围.

【详解】由，

当时，，

当时，由得，

两式相减并化简得，

也符合上式，所以，

令，

为常数，

所以数列是等差数列，首项，

所以，

对称轴为，

由于对任意的恒成立，

所以，解得，

所以的取值范围是.

故选：A

【点睛】与前项和有关的求通项的问题，可考虑利用“退一作差法”来进行求解，和类似.求解等差数列前项和最值有关的问题，可结合二次函数的性质来进行求解.

二、填空题

13．若数列满足，则          ．

【答案】

【分析】分奇偶项,分别按照等差数列前和公式求和，计算求解即可.

【详解】因为,

所以

故答案为:

14．在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c．若的面积为，则          ．

【答案】

【分析】由三角形面积公式求得，再由余弦定理求得，最后由正弦定理计算可得．

【详解】解：，，的面积为，，解得，

由余弦定理得，，则，

由正弦定理，即，解得.

故答案为：.

15．已知函数对于任意实数都有，且当时，，若实数满足，则的取值范围是      ．

【答案】

【分析】先证明函数在[0,+∞ 上单调递增，在上单调递减，再利用函数的图像和性质解不等式||＜1得解.

【详解】由题得，当x≥0时，，

因为x≥0，所以，

所以函数在[0,+∞ 上单调递增，

因为，所以函数是偶函数，

所以函数在上单调递减，

因为，

所以||＜1，所以-1＜＜1，

所以.

故答案为

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

16．已知，是双曲线的左，右焦点，点M是双曲线C在第一象限上一点，设I，G分别为的内心和重心，若IG与y轴平行，则        ．

【答案】68

【分析】由题意，结合图形，根据内切圆的性质和双曲线的定义可得、，进而求得，则，由重心的定义有，求出，求得，利用平面向量数量积的坐标表示计算即可求解.

【详解】由题意知.

如图，为的内切圆，切点分别为A、B、C，设，

则，由双曲线的定义知，

，即，

又，所以，

得，即.

又的重心G与内心I的连线平行与y轴，即轴于点A，

所以.

因为，所以，

代入双曲线方程，得，解得，即，

又，所以，

所以.

故答案为：68.

三、解答题

17．已知正项等比数列的前项和为，若成等差数列，．

(1)求与；

(2)设，数列的前项和记为，求．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据已知条件可构造关于的方程组，解方程组可得，由等比数列通项和求和公式可求得；

（2）由（1）可得，采用错位相减法可求得.

【详解】（1）成等差数列，；

设正项等比数列的公比为，

则，解得：，

，.

（2）由（1）得：，

，，

，

.

18．牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，T骨牛排，某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取100盒，利用牛排的分类标准得到的数据如下：

(1)用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，再从抽取的10盒牛排中随机抽取4盒，求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率；

(2)若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取3盒，若X表示抽到的菲力牛排的数量，求X的分布列和数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，数学期望为

【分析】（1）先根据分层抽样分别求出T骨牛排和非T骨牛排的和数，再利用古典概型求解即可；

（2）先求出从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的概率，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的分布列及期望公式求解即可.

【详解】（1）用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，

其中T骨牛排有3盒，非T骨牛排有7盒，

再从中随机抽取4盒，设恰好有2盒牛排是T骨牛排为事件A，

则；

（2）这100盒牛排中菲力牛排有20盒，所以菲力牛排的频率为，

设从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的事件为B，

将频率视为概率，用样本估计总体可得，

从这批牛排中随机抽取3盒，抽到的菲力牛排的数量X满足，

，

．

所以X的分布列为

所以．

19．如图，在平面五边形ABCDE中是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是直角梯形，其中．将沿AD折起，使得点E到达点M的位置，且使．

(1)求证：平面平面ABCD；

(2)设点P为棱CM上靠近点C的三等分点，求平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)正弦值为

【分析】（1）取AD的中点N，连接MN，BN．通过证明，，得平面MAD．再根据面面垂直的判定可得平面平面ABCD；

（2）以N为坐标原点，直线NA为x轴、NB为y轴、NM为z轴建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用法向量求出二面角的余弦值，再根据同角公式求出其正弦值.

【详解】（1）如图，取AD的中点N，连接MN，BN．

因为是等边三角形，所以，且，

在直角梯形ABCD中，因为，

所以四边形BCDN是矩形，所以，且，

所以，即，

又，平面MAD．平面MAD．所以平面MAD．

因为平面ABCD，

所以平面平面ABCD．

（2）由（1）知NA，NB，NM两两互相垂直，

以N为坐标原点，直线NA为x轴、NB为y轴、NM为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

根据题意，，

由P是棱CM的靠近点C的三等分点得，

，

设平面PBD的一个法向量为，

则，即，

令，则，故平面BDP的一个法向量为．

而平面MAD的一个法向量为，

设平面PBD与平面MAD所成的二面角的平面角为，

则，

所以，

所以平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值为．

20．已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为2，左顶点为，点是椭圆上一点．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点，直线与直线分别交于点．

①求证：两点的纵坐标之积为定值；

②求面积的最小值．

【答案】(1)

(2)①证明见解析②18

【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得，即可求得椭圆的方程；

（2）①设直线的方程为，联立方程组，得到，进而求得直线的方程得到，，化简，即可求解；

②由三角形的面积公式，结合基本不等式，即可求解.

【详解】（1）由题意，椭圆过点，且，

可得，解得，

所以椭圆的方程为．

（2）①由题意知，可设直线的方程为，

联立方程组，整理得，

设，，可得，，

直线的方程为，

令，可得，同理可得，

所以

．

②由，

当且仅当，或，时等号成立，

所以面积的最小值为．

【点睛】方法点睛：求解圆锥曲线的最值问题的解答策略：

1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；

2、当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围

21．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；

（2）根据题意分析可得对任意实数，都有恒成立，构建，根据恒成立问题结合导数分析运算.

【详解】（1）∵，则，

若时，则，，

即切点坐标为，切线斜率，

∴切线方程为，即.

（2）∵，即，

整理得，

故原题意等价于对任意实数，都有恒成立，

构建，则，

注意到，则，

构建，则在上单调递增，且，

故在内存在唯一的零点，

可得当，则；当，则；

即当，则；当，则；

故在上单调递减，上单调递增，则，

又∵为的零点，则，可得且，

∴，

即在上的最小值为0，

故实数的取值范围.

【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题

(1)分离参数法

第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的最值；

第三步：根据要求得所求范围．

(2)函数思想法

第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的极值；

第三步：构建不等式求解．