2022-2023学年新疆维吾尔自治区塔城地区塔城市塔城市第三中学高二下学期3月月考数学试题含答案

2022-2023学年新疆维吾尔自治区塔城地区塔城市塔城市第三中学高二下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．下列说法正确的是（    ）

A．数列与数列是相同的数列

B．数列0，2，4，6，8，…，可记为，

C．数列的第项为

D．数列既是递增数列又是无穷数列

【答案】C

【分析】对于A利用数列的概念判断；对于B通过的值判断；对于C计算出第项即可判断；对于D通过数列有穷和无穷概念进行判断.

【详解】对于A：数列是有顺序的一列数，故A错误；

对于B：当时，，不符合，故B错误；

对于C：数列的第项为，故C正确；

对于D：数列的最后一项为，是有穷数列，故D错误；

故选：C.

2．是数列、、、、的（    ）

A．第项 B．第项 C．第项 D．第项

【答案】A

【分析】列举出该数列的前项，可得结果.

【详解】由题意可知，该数列为、、、、、、，

故是数列、、、、的第项.

故选：A.

3．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（     ）

A．1，，，，… B．sin ，sin，sin，…

C．－1，－，－，－，… D．1，，，…，

【答案】C

【分析】利用无穷数列和递增数列的定义进行判断即可

【详解】D是有穷数列，A是递减数列，B是摆动数列，C是无穷数列又是递增数列，

故选：C.

4．设数列，则数列的最小项是（    ）

A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项

【答案】B

【分析】根据题意，将数列的通项公式变形可得，结合二次函数的性质分析可得答案．

【详解】根据题意，，

又由，则时，取得最小值，

故选：．

5．已知数列满足，，则该数列的第5项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据递推公式计算可得答案.

【详解】因为，，

所以，，，，

故选：B

6．已知数列满足，，则（    ）

A．5 B．7 C．10 D．15

【答案】B

【分析】由递推关系求解即可.

【详解】解：因为，所以，.

故选：B

7．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（　　）

A．时不等式成立 B．时不等式成立

C．时不等式成立 D．时不等式成立

【答案】B

【分析】利用已知及其数学归纳法的定义即可得出．

【详解】若已假设（，k为偶数）时命题为真，

因为n只能取偶数，

所以还需要证明成立．

故选：B．

8．在数列中，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由等比数列的定义知为等比数列，由得的通项公式.

【详解】∵，即： ，

∴为等比数列，公比，

∴

故选：D.

9．在等比数列中，已知，，则的值为（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】B

【分析】利用等比中项性质列式求解

【详解】等比数列中，.

故选：B.

10．已知数列的通项公式为，则数列是（    ）

A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列

C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列

【答案】A

【分析】由通项公式可知，这是等比数列，然后利用等比数列的定义求出首项和公比即可.

【详解】因为，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.

故选：A

11．设函数在处的导数为2，则（    ）

A．2 B．1 C． D．6

【答案】A

【分析】根据导数的定义即得.

【详解】因为函数在处的导数为2，

所以.

故选：A.

12．已知数列满足，且，那（    ）

A．19 B．31 C．52 D．104

【答案】D

【分析】根据等比数列的定义，结合等比数列的通项公式进行求解即可.

【详解】因为，所以有，因此数列是公比的等比数列，

因为，

所以，

故选：D

二、填空题

13．已知，，则        .

【答案】3

【分析】根据导数的计算公式求出，然后把代入解方程即可．

【详解】.

,．

故答案为：3．

14．已知函数，则           .

【答案】10

【分析】求导代入即可求解.

【详解】由得,所以,

故答案为：10

15．已知，则       ．

【答案】

【分析】根据导数的除法运算直接求解即可.

【详解】.

故答案为:.

16．函数的导函数是           .

【答案】

【分析】根据乘积的导数公式直接求导可得.

【详解】

故答案为：

三、解答题

17．已知等差数列的前n项和，写出它的前3项，并求这个数列的通项公式．

【答案】.

【分析】根据前n项和公式即可得到结果.

【详解】由，

当时，；

当时，；

当时，；

则公差，

则通项公式.

18．已知数列中，且.

(1)求；

(2)求数列{}的前n项和的最大值.

【答案】(1)＝﹣4n+17；

(2)28.

【分析】(1)根据等差数列的定义判断为等差数列即可求其通项公式；

(2)根据等比数列前n项和的性质即可求其最值.

【详解】（1）由﹣4，可知，﹣＝﹣4，

∴数列{}是以13为首项，以﹣4为公差的等差数列，

∴＝13﹣4(n﹣1)＝﹣4n＋17；

（2）由(1)可知，数列{}单调递减，且a4＞0，a5＜0，

∴当n＝4时，{}的前n项和取得最大值＝13＋9＋5＋1＝28.

19．等比数列的各项均为正数，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等比数列的下标性质进行求解即可；

（2）利用错位相减法进行求解即可.

【详解】解：（1）设数列的公比为，

则，由

得：，所以.

由，得到

所以数列的通项公式为.

（2）由条件知，

又

将以上两式相减得

所以.

20．已知等差数列的前项和满足.

(1)求的通项公式；

(2)，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等差数列的前项和公式求出即可求解；（2）利用裂项相消求和.

【详解】（1）设公差为，则，

所以解得，

所以，

（2），所以，

所以.

.

21．等比数列的公比为2，且成等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)运用等差中项求出 ，再根据等比数列的通项公式求出 ；

(2)根据条件求出 的通项公式，再分组求和.

【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，

， ， 解得，

；

（2），

.

；

综上，

22．已知函数的图象经过点．

(1)求曲线在点A处的切线方程．

(2)曲线是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)曲线存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为或．

【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；

（2）设出过坐标原点的切线方程以及切点坐标，利用导数的几何意义以及切点既在切线上也在曲线上列出方程组求解即可.

【详解】（1）依题意可得，则,

∵，∴，

∴曲线在点（1，5）处的切线方程为，

即；

（2）设过原点的切线方程为，则切点为，

则,消去k，整理得，

解得或，

所以曲线存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为或．