2022-2023学年山西省朔州市怀仁市第九中学高中部高二下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年山西省朔州市怀仁市第九中学高中部高二下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．抛物线的焦点到准线的距离是（    ）.

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【分析】将抛物线的方程化为标准方程，根据焦准距的意义，可得答案.

【详解】抛物线化为标准方程为抛物线，

则其焦准距为，即焦点到准线的距离是，

故选：B

2．的展开式中含项的系数为（    ）

A． B．24 C． D．16

【答案】B

【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】的展开式中含的项为，系数为.

故选：B

3．数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．3

【答案】A

【分析】首先根据递推公式，求数列中的项，并得到数列的周期，再求的值.

【详解】，，

，

，

，

数列是以3为周期的周期数列，

，

故选：A.

4．若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可知，且对恒成立，设，则问题转化为在上恒成立，利用导数说明函数的单调性，再分和两种情况讨论，结合函数的取值情况及单调性，分别计算可得.

【详解】由题意可知，，即对恒成立．

设，则问题转化为在上恒成立，

因为，所以当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

又，所以当时，；当时，．

①在上，若恒成立，即，；

②在上，若，则恒成立，即恒成立，

令，，则，所以在上单调递增，

所以，所以，综上所述，实数的取值范围为．

故选：B．

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

5．已知点则与同方向的单位向量为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A.

【解析】向量运算及相关概念.

6．已知向量，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量数量积的坐标表示，结合题意整理可得，再代入二倍角的正切公式运算求解．

【详解】由题意可得：，整理得，即

∴

故选：C．

7．设函数 的定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为,则

A．（1,2） B．（1,2] C．（-2,1） D．[-2,1)

【答案】D

【详解】由得，由得，

故，选D.

【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.

8．如图，、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为

A． B． C． D．3

【答案】C

【详解】根据双曲线的定义，可得| 是等边三角形，即 即 ，又

∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°， 即

解之得

由此可得双曲线C的离心率

故选C．

9．抛物线 的准线方程为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】抛物线的标准方程为： ，

据此可得抛物线 的准线方程为  .

本题选择B选项.

10．已知双曲线的渐近线方程为，则其对应的双曲线方程不可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分别求出选项中双曲线的渐近线即可得到答案.

【详解】对选项A，，，，渐近线方程为，故A正确；

对选项B，，，，渐近线方程为，故B正确；

对选项C，，，，渐近线方程为，故C错误；

对选项D，，，，渐近线方程为，故D正确；

故选：C

11．“”是“直线：与直线：平行”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据两直线平行的判定与性质结合充分条件、必要条件判定即可.

【详解】若直线：与直线：平行，则，可得.

当时，直线：，直线：，两直线重合，不符合题意.

所以“直线：与直线：平行”等价于“”.

所以“”是“直线：与直线：平行”的充要条件.

故选：C

12．直线被椭圆所截得线段的中点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将直线与椭圆联立，消去整理得，然后利用韦达定理求解.

【详解】直线与椭圆联立，得消去整理，得．

设直线与椭圆的交点，中点．

，

∴中点坐标为．

故选：C

【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系属于基础题.

二、填空题

13．函数的图象恒过定点，若定点在直线上，其中，则的最小值为           .

【答案】2

【分析】根据对数函数的性质求出函数过定点坐标，再代入直线方程，即可得到m,n的关系式，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；

【详解】由题意可得定点．又点在直线上，∴，

则，

当且仅当时取等号．所以的最小值为2.

故答案为：2.

14．若命题“：，”为真命题，则实数的取值范围是     .

【答案】

【分析】本道题构造函数，计算的最小值，得到m的范围，即可．

【详解】设，而恒成立，说明，而

，所以，故实数m的取值范围为

【点睛】本道题考查了基本不等式，考查了对勾函数的性质，难度中等．

15．已知椭圆的弦的中点M的坐标为，则的方程为        .

【答案】

【分析】设，利用点差法即可求出直线的斜率，根据所给数据，即可得解.

【详解】设，设直线的斜率为，

有，，

两式相减可得，

所以，

所以，

由，

所以，又直线过，

可得直线方程为，

故答案为：.

16．如果分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上过点的弦，且，则的周长是   

【答案】28

【分析】本题涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，可用定义处理，由定义知①，②，两式相加再结合已知即可求解.

【详解】解：由题意知：，故.

由双曲线的定义知①，②，

①＋②得：，所以，

所以的周长是.

故答案为：28.

【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，一般用定义处理.

三、解答题

17．已知的三个顶点为.

（1）求过点且平行于的直线方程；

（2）求过点且与、距离相等的直线方程.

【答案】(1)；(2).

【分析】（1）先由两点写出直线BC的方程，再根据点斜式写出目标直线的方程；

（2）过点B且与直线AC平行的直线即为所求，注意垂直平分线不过点B，故舍去.

【详解】（1）由、两点的坐标可得，

因为待求直线与直线BC平行，故其斜率为

由点斜式方程可得目标直线方程为

整理得.

（2）由、点的坐标可知，其中点坐标为

又直线AC没有斜率，故其垂直平分线为，此直线不经过点B，故垂直平分线舍去；

则满足题意的直线为与直线AC平行的直线，即.

综上所述，满足题意的直线方程为.

【点睛】本题考查直线方程的求解，属基础题.

18．经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500元.

（1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；

（2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？

【答案】（1），；（2），

【分析】(1)根据题中数据求出，，，得到，再将代入即可得出结果；

(2)根据基本不等式求出最小值，注意等号成立的条件，即可得出结果.

【详解】(1)因为年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费.

由题意可得：，，，

所以存储成本费，

若该化工厂每次订购300吨甲醇，

所以年存储成本费为；

(2)因为存储成本费，，

所以，

当且仅当，即时，取等号；

所以每次需订购吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为.

【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可求解，属于常考题型.

19．已知是定义域为R的奇函数，满足．

（1）证明：；

（2）若，求式子的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）2.

【分析】（1）根据，结合已知条件，即可求证；

（2）根据（1）中所求函数的周期，求得；借助周期性，即可求得结果.

【详解】（1）证明：根据题意，是定义域为R的奇函数，则，

又由满足，

则，则有，

故可得：，即证.

（2）由（1）的结论，，故是周期为的函数.

又由是定义域为R的奇函数，则，

则，

则，

则有

.

【点睛】本题考查函数周期的求解和证明，以及利用函数周期性求函数值，属综合中档题.

20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点P（4，0）且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【详解】试题分析：（1）设椭圆的方程，若焦点明确，设椭圆的标准方程，结合条件用待定系数法求出的值，若不明确，需分焦点在轴和轴上两种情况讨论；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.

试题解析：解：（1）由题意知，

.又双曲线的焦点坐标为，，

椭圆的方程为.

（2）若直线的倾斜角为，则，

当直线的倾斜角不为时，直线可设为，

，由

设，，

，，综上所述：范围为.

【解析】1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合问题.

21．过点，且与椭圆 有相同的焦点的椭圆的标准方程

【答案】

【分析】根据所求椭圆与椭圆 的焦点相同，设它的标准方程为，由和点 在椭圆上求解.

【详解】解：因为所求椭圆与椭圆 的焦点相同，

 所以其焦点在 轴上， 且.

设它的标准方程为.

因为， 且， 故. ①

又点 在椭圆上， 所以，

即 ②

由①②得，

所以所求椭圆的标准方程为.

22．如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，，，，平面平面，为线段上的一点．

(1)证明：平面；

(2)当与平面所成的角的正弦值最大时，求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，过点作的垂线，垂足为，由面面垂直的性质得到平面，从而得到，再由菱形的性质得到，即可得到平面，即可得到，最后结合，即可得证；

（2）连接，由（1）知为与平面所成的角，即可得到点为的中点时与平面所成的角的正弦值最大，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）连接，过点作的垂线，垂足为，

∵平面平面，且交线为，

∴平面，

又∵平面，∴，

又∵四边形为菱形，∴，又∵，平面，

∴平面，

又∵平面，∴，

又∵，，平面，

∴平面．

（2）连接，由（1）知为与平面所成的角，

∴，因为为定值，且，所以当点为的中点时取得最小值，此时取最大值，

如图，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，

易知平面的一个法向量为．

设平面的法向量，

则，即，令得，即，

设平面与平面的夹角为，

则，

所以当与平面所成的角的正弦值最大时，

平面与平面夹角的余弦值为．

23．分别是椭圆的左、右焦点，，M是E上一点，直线MF2与x轴垂直，且.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设A，B，C，D是椭圆E上的四点，AC与BD相交于点F2，且AC⊥BD，求四边形ABCD面积的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.

（2）根据直线的斜率进行分类讨论，求得四边形的面积，结合基本不等式求得四边形的面积的最小值.

【详解】（1）依题意，

由于轴，且，

则，

结合得，

所以椭圆的方程为.

（2）设四边形的面积为.

当直线的斜率不存在时，，

.

当直线的斜率为时，同理可求得.

当直线的斜率存在且不为时，

设直线的方程为，

由消去并化简得，

所以，

所以

，

直线的方程为，

同理可求得.

所以

，

当且仅当时等号成立，且.

综上所述，四边形的面积的最小值为.

【点睛】求解椭圆中四边形面积的最值问题，关键步骤有两个，第一个是求得面积的表达式，这一步求弦长时需要很强的运算能力.第二个是求面积的最值，可考虑利用基本不等式、二次函数的性质、三角换元法来进行求解.

24．已知函数在处取得极值．

(1)求的单调区间；

(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是；

(2)．

【分析】（1）由题意根据求解，再带回检验即可；

（2）求导分析在上的最大值，再根据求解不等式即可.

【详解】（1）∵，，又在处取得极值，

∴，∴，

检验：当时，，，，

令，得，

当x变化时，，的变化情况如表所示．

在处取得极小值成立；

所以的单调递减区间是，单调递增区间是．

（2）由（1）知在单调递减，单调递增，

又，，

则，．

若在上恒成立，则．

即，解得或，

所以实数c的取值范围是．