2022-2023学年四川省眉山市彭山区第一中学高二下学期第二次月考数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省眉山市彭山区第一中学高二下学期第二次月考数学（文）试题

一、单选题

1．若复数（是虚数单位）的共轭复数是，则的虚部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用复数除法求出，根据共轭复数定义写出，然后计算出，得到虚部.

【详解】复数是虚数单位）的共轭复数是，

，，

，

则的虚部是.

故选：D

2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为

A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7

【答案】B

【详解】设事件A为不用现金支付，

则

故选：B.

3．2022年三九天从农历腊月十八开始计算，也就是2023年1月9日至17日，是我国北方地区一年中最冷的时间．下图是北方某市三九天气预报气温图，则下列对这9天判断错误的是（    ）

A．昼夜温差最大为12℃ B．昼夜温差最小为4℃

C．有3天昼夜温差大于10℃ D．有3天昼夜温差小于7℃

【答案】C

【分析】直接看图求出每天的昼夜温差即可判断得解.

【详解】A. 1月11日昼夜温差最大为12℃，所以该选项正确；

B. 1月15日昼夜温差最小为4℃，所以该选项正确；

C. 1月11日、1月16日有2天昼夜温差大于10℃，所以该选项错误；

D. 1月9日、1月14日、1月15日有3天昼夜温差小于7℃，所以该选项正确.

故选：C

4．在区间内任取一个实数，使不等式的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先解不等式求出的范围，再由几何概型求解概率即可.

【详解】由可得，由几何概型可得，所求概率为.

故选：A.

5．设函数，则（    ）

A．在区间递减 B．在区间上递增

C．在点处有极大值 D．在区间上递减

【答案】A

【分析】利用导函数与函数的单调性、极值的关系求解.

【详解】，

令，解得，令，解得，

所以函数在单调递减，单调递增，

所以在区间递减，A正确；

在区间递减，B错误；

在点处有极小值，C错误；

在区间递增，D错误；

故选:A.

6．从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间内的影视作品数量.

【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间内的影视作品数量为.

故选：D.

7．某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名学生的成绩统计有误，学生甲实际得分是80分却误记为60分，学生乙实际得分是70分却误记为90分，更正后的平均分数和方差分别是（     ）

A．70和50 B．70和67 C．75和50 D．75和67

【答案】B

【分析】根据平均数、方差的概念表示出更正前的平均数、方差和更正后的平均数、方差，比较其异同，然后整体代入即可求解．

【详解】设更正前甲，乙，…的成绩依次为a1，a2，…，a50，

则a1+a2+…+a50＝50×70，即60+90+a3+…+a50＝50×70，

（a1﹣70）2+（a2﹣70）2+…+（a50﹣70）2＝50×75，

即102+202+（a3﹣70）2+…+（a50﹣70）2＝50×75．

更正后平均分为＝×（80+70+a3+…+a50）＝70；

方差为s2＝×[（80﹣70）2+（70﹣70）2+（a3﹣70）2+…+（a50﹣70）2]

＝×[100+（a3﹣70）2+…+（a50﹣70）2]

＝×[100+50×75﹣102﹣202]＝67．

故选B．

【点睛】本题考查平均数与方差的概念与应用问题，是基础题．

8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的（ ）

A．0 B．2 C．4 D．14

【答案】B

【详解】由a=14，b=18，a＜b，

则b变为18﹣14=4，

由a＞b，则a变为14﹣4=10，

由a＞b，则a变为10﹣4=6，

由a＞b，则a变为6﹣4=2，

由a＜b，则b变为4﹣2=2，

由a=b=2，

则输出的a=2．

故选B．

9．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；

解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.

【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，

所以，曲线在点处的切线方程为，即，

由题意可知，点在直线上，可得，

令，则.

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，，

由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，

当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.

【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.

10．从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用排列组合知识求出对应的方法种数，利用古典概型的概率公式直接求解.

【详解】从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有种；

要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，

所以数字为1，2，3时，有种；数字为1，3，5时，有种；

数字为2，3，4时，有种；数字为3，4，5时，有种；共24种.

所以该三位数能被3整除的概率为.

故选：D

11．已知，，，则下列不等关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由，可得，即可判断大小关系.

【详解】由，可得.

则，故；

，故.

综上，.

故选：B.

12．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．

【详解】∵，即，

（1）当时，，

当时，，

故当时，在上恒成立；

若在上恒成立，即在上恒成立，

令，则，

当函数单增，当函数单减，

故，所以．当时，在上恒成立；

综上可知，的取值范围是，

故选C．

【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．

二、填空题

13．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中A种型号产品有18件，那么此样本的容量=      .

【答案】81

【分析】先利用分层抽样的定义求出样本中B、C型号的产品的件数，从而可得结果.

【详解】因为A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，且样本中A种型号产品有18件，所以样本中B、C型号的产品分别由27与36件，样本的容量，故答案为81.

【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，属于中基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.

14．已知复数满足，则                 

【答案】25

【分析】根据复数的除法运算以及乘法运算化简复数，即可由模长公式求解.

【详解】由得，

所以，

故答案为：25

15．关于圆周率的近似值，数学发展史上出现过很多有创意的求法，其中可以通过随机数实验来估计的近似值.为此，李老师组织名同学进行数学实验教学，要求每位同学随机写下一个实数对，其中，，经统计数字、与可以构成钝角三角形三边的实数对为个，由此估计的近似值是       （用分数表示）.

【答案】

【分析】设表示“实数对满足且能与构成钝角三角形”，先计算发生的频率，再利用几何概型的概率的计算方法可求的概率，从而可得的近似值.

【详解】实数对落在区域的频率为，

又设表示“实数对满足且能与构成钝角三角形”，

则中对应的基本事件如图阴影部分所示：

其面积为，故，所以，填.

【点睛】几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等．

16．已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是      ．

【答案】

【分析】求导得到函数在的单调区间和极大值，画出函数图像，将零点转化为交点，根据图像得到答案.

【详解】当时，，，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减.

在时的极大值为，当时，

画出函数图像，如图所示：

函数有三个零点，即有三个交点，故

故答案为：.

三、解答题

17．某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过立方米的部分按4元/立方米收费，超出立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

（1）如果为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，至少定为多少？

（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当时，估计该市居民该月的人均水费．

【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.5元.

【详解】试题分析：（1）根据水量的频率分布直方图知月用水量不超过立方米的居民占，所以至少定为；（2）直接求每个数据用该组区间的右端点值与各组频率的乘积之和即可.

试题解析：（1）由用水量的频率分布直方图知，

该市居民该月用水量在区间内的频率依次为．

所以该月用水量不超过立方米的居民占，用水量不超过立方米的居民占．依题意，至少定为

（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：

根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：

（元）．

【解析】1、频率分布直方图的应用；2、根据频率分布直方图求平均值.

18．某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表：

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）.

(1)用表中字母列举出所有可能的结果.

(2)设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发生的概率.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）由列举法即可求解，

（2）根据古典概型的概率公式即可求解.

【详解】（1）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为，共15种

（2）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为，共6种. 因此，

事件发生的概率

19．语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.经市场调查，某种新型智能音箱的广告费支出x（万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：

（1）求y关于x的线性回归方程（数据精确到0.01）；

（2）利用（1）中的回归方程，预测广告费支出10万元时的销售额.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

【答案】（1）（2）89.7（万元）.

【解析】（1）计算出、的值，代入公式求得、，即可得解；

（2）把代入线性回归方程计算出即可得解.

【详解】（1），，

，

.

y关于x的回归直线方程为.

（2）当时，，

当广告费支出10万元时，销售额大约为89.7万元.

【点睛】本题考查了线性回归方程的求解与应用，考查了计算能力，属于中档题.

20．已知函数，其中，若的图象在点处的切线方程为．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数在区间上的最值．

【答案】(1)

(2)最大值为 ，最小值为.

【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义结合给定切线求解作答.

（2）利用（1）的函数解析式，利用函数在区间上的单调性，即可求解作答.

【详解】（1）依题意，，切点在切线上，则，

，

而的图象在点处的切线斜率为，，解得得，

所以函数的解析式为.

（2）由（1）知，，由得或，

当时，或，有，，有，

因此函数在上单调递增，在上单调递减，又，，，，

所以在上的最大值为 ，最小值为.

21．已知，函数．

(1)若和的最小值相等，求的值；

(2)若方程恰有一个实根，求的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用导数求出，的最小值，令其相等，可得答案；

（2）方程恰有一个实根，相当于恰有一个零点.利用导数及零点存在性定理，分三种情况下，

的零点情况即可.

【详解】（1）因，则.

.

则在上单调递减，在上单调递增，

故.

因，则.

.

则在上单调递减，在上单调递增，

故.

令

.则若和的最小值相等，.

（2）由，可得，

即，令，.

则方程恰有一个实根，相当于恰有一个零点.

则.

或（舍去）.

令，则.

得在上单调递减，在上单调递增.

则.

令，则，

得在上单调递减，又，则当时，，

时，.

则当时，，

，此时无零点，不合题意；

当时，，

此时有唯一零点1，则满足条件；

当时，，

，又，.

则，

得，.

又令，，

得在上单调递增，又，.则.

.令.

则，令，.

得在上单调递增，则，

得在上单调递增，则.

又，则.则.

得，.则当时，有2个零点，不合题意.

综上，方程恰有一个实根时，.

【点睛】关键点点睛：本题涉及利用导数求最值及用导数及零点存在性定理研究函数的零点，难度较大.

（1）适当的变形后，可将多余的a消去，后可解出相关方程；

（2）零点问题，常涉及单调性与零点存在性定理，先利用单调性判断零点的大致个数，再利用零点存在性定理确定零点所在范围.

22．已知函数，其中e是自然对数的底数.

（1）若，证明：；

（2）若时，都有，求实数a的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）当时，，利用导数求出函数的单调区间并求出最小值，即可证明；

（2）令，由时，都有，可得在上恒成立，利用导数判断在的单调性，分别讨论和两种情况，即可得到 的取值范围.

【详解】（1）由题意，当时，，

所以，当时，；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以在时取得极小值，也是最小值.

所以.

（2）令，，

由时，都有，所以在上恒成立.

由，令，

则在上恒成立.

所以在上单调递增，又，

①当时，，

所以在上单调递增，

所以，即，满足题意.

②当时，因为在上单调递增，

所以，

存在，使得当时，，在上单调递减，

所以当时，，这与在上恒成立矛盾.

综上所述，，即实数a的取值范围.

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值和不等式恒成立问题，考查学生分类讨论的思想和转化能力，属于较难题.