2022-2023学年四川省射洪中学高二下学期5月月考数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省射洪中学高二下学期5月月考数学（文）试题

一、单选题

1．命题p：，，则是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.

【详解】原命题时全称量词命题，

其否定是存在量词命题，

注意到是否定结论，不是否定条件，所以D选项正确.

故选：D

2．设，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.

详解：

，

则，故选c.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

3．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线​​下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（    ）

A．​ B．​

C．​ D．​

【答案】B

【分析】首先根据题意得到，再解方程组即可.

【详解】设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，

则焦点到渐近线的距离，

所以，即双曲线方程为：.

故选：B

4．已知函数 ，则“ ”是“ 在 上单调递增”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．故选A.

5．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由，，，可推测，以上式子累加，结合等差数列的求和公式可得答案．

【详解】，，，，，，，，

等式两边同时累加得，即，

所以第个图形中小正方形的个数是．

故选：C

6．已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据椭圆方程，先得出其焦点坐标以及左右顶点坐标，由题中条件，求出，，得出，即可求出双曲线的渐近线方程.

【详解】因为椭圆的焦点为为顶点，左顶点为，右顶点为，

又双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，所以，，则，

即双曲线的方程为，由得，

即双曲线的渐近线方程为.

故选：A.

【点睛】本题主要考查求双曲线的渐近线方程，考查椭圆的焦点坐标与顶点坐标，属于基础题型.

7．执行如图的程序框图，则输出的的值为

A．9 B．19 C．33 D．51

【答案】C

【详解】从题设中提供的算法流程图可知：当时，，此时；故，则，则，运算程序结束，此时输出，应选答案C．

8．下表是关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)的统计表

由上表可得线性回归方程，若规定：维修费用不超过10万元，一旦大于10万元时，该设备必须报废.据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】D

【分析】求出样本中心点，将样本中心点代入回归直线方程求出，再令，解不等式即可求解.

【详解】由已知表格，得，

，

因为回归直线恒过样本点的中心，所以，

解得，所以回归直线的方程为，

由，得，解得，

由于，所以据此模型预报，该设备使用年限的最大值为

故选：

9．已知一长方体纸箱（有盖），底面为边长为的正方形，高为，表面积为12，当该纸箱的体积最大时，其底面边长为（    ）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】B

【分析】根据长方体的表面积列方程，由此化简长方体的体积，利用导数求得体积最大时对应的底面边长.

【详解】依题意，，

由解得，

所以长方体的体积，

，

所以在区间上单调递增；

在区间上单调递减.

所以当时，长方体的体积取得最大值.

故选：B

10．已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程.

【详解】设，的中点，所以，

又，所以，即，

而，，所以，又，

∴，即椭圆方程为：.

故选：D.

【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.

11．抛物线上的点P到直线距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设抛物线上一点为，，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质，即可求解最值.

【详解】设抛物线上一点为，，

点，到直线的距离，

当时，即当，时，抛物线上一点到直线的距离最短，为，

故选：C

12．已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令，构造，要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根，则，解得或，结合的图象，并分，两个情况分类讨论，可求出的值.

【详解】令，构造，求导得，当时，；当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且，

若，即，则，则，且，

故，

若，即，由于，故，故不符合题意，舍去.

故选A.

【点睛】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.

二、填空题

13．复数满足（其中是虚数单位），则复数的虚部为      ．

【答案】

【分析】根据复数的除法运算化简，即可由共轭和虚部的概念求解.

【详解】由得，

所以，虚部为，

故答案为：

14．在极坐标系下，点到直线的距离为      ．

【答案】

【分析】将极坐标以及极坐标方程均化为直角坐标，即可由点到直线的距离公式求解.

【详解】点的直角坐标，直线的直角坐标方程为，

所以到的距离为，

故答案为：

15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的渐近线方程为      ．

【答案】

【分析】根据垂直关系以及双曲线的对称性可得四边形为矩形，即可结合双曲线的定义求解，进而可求.

【详解】由可得，

由于关于原点对称，,关于原点对称，

所以四边形为矩形，故，

由于又，

所以，因此，

故，进而可得，

所以渐近线方程为：

故答案为：

16．已知函数在区间上有两个极值，则实数的取值范围是          ．

【答案】

【分析】求得，根据题意转化为在上有两个不等的实数根，转化为和的图象有两个交点，求得，求得函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】，

由题意知在上有两个不相等的实根，

将其变形为，设，则.

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

的极大值为.

画出函数的大致图象如图，

易知当时，；当时，，

，即.

故答案为：.

三、解答题

17．已知．

(1)若为真命题，为假命题，求实数x的取值范围；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）利用题给条件列出关于实数x的不等式组，解之即可求得实数x的取值范围；

（2）利用题给条件列出关于实数m的不等式组，解之即可求得实数m的取值范围.

【详解】（1）当时，：，

由，可得，即：．

因为为真命题，为假命题，故与一真一假，

若真假，则，该不等式组无解；

若假真，则，得或．

综上所述，实数的取值范围为或

（2）由题意：，，

因为是的充分不必要条件，故，

故（等号不同时成立），得，

故实数的取值范围为

18．已知抛物线上横坐标的点到其焦点的距离为，在轴上截距为2的直线与抛物线交于M，N两点，O为坐标原点．

(1)求抛物线方程和准线方程；

(2)若，求直线的方程．

【答案】(1)抛物线方程为，准线方程为

(2)

【分析】（1）利用抛物线上一点到其焦点的距离为，根据焦半径公式求出，得到抛物线的标准方程和准线．

（2）联立直线与抛物线方程，通过韦达定理求出直线方程，然后由，即可求解．

【详解】（1）题意可得，解得，

故抛物线方程为；故准线方程为

（2）设，，，，由题意可知直线有斜率且不为0，故设其方程为，

联立方程中，消去得，，

则，，

，

又由，

化简得

故直线方程为，

19．已知在点处切线斜率为．

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数在区间上的最值．

【答案】(1)增区间为；减区间为

(2)最大值，最小值

【分析】（1）由求得，利用导数的知识求得函数的单调区间.

（2）根据（1）中求得的的单调区间求得函数在区间上的最值.

【详解】（1），

所以，

所以在区间上，单调递增；

在区间上，单调递减.

所以的增区间为；减区间为.

（2）由（1）得的增区间为；减区间为，

且，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以在区间上的最大值为，

由于，

所以在区间上的最小值为.

20．为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中的浓度（单位：），整理数据得到下表：

若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题．

(1)估计事件“该市一天的空气质量好，且的浓度不超过150”的概率；

(2)完成下面的2×2列联表，

(3)根据（2）中的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该市一天的空气质量与当天的浓度有关？

附：

，其中．

【答案】(1)

(2)答案详见解析

(3)该市一天的空气质量与当天的浓度有关

【分析】（1）根据古典概型的知识求得正确答案.

（2）根据已知条件补全列联表.

（3）计算的值，由此作出判断.

【详解】（1）“该市一天的空气质量好，且的浓度不超过150”的天数有天，

所以事件“该市一天的空气质量好，且的浓度不超过150”的概率为.

（2）根据数据补全列联表如下：

（3），

所以该市一天的空气质量与当天的浓度有关.

21．已知椭圆M：的一个焦点为，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线与椭圆M交于C，D两点．

(1)当直线的斜率为1时，求线段CD的长；

(2)记与的面积分别为和，求的最大值．

【答案】(1)

(2)有最大值．

【分析】（1）利用已知条件求出，然后求解，得到椭圆方程．由弦长公式即可求解.

（2）设出直线方程，利用直线与椭圆联立，利用韦达定理弦长公式表示三角形的面积，通过基本不等式求解最值即可．

【详解】（1）为椭圆的焦点，，

又，，

椭圆的方程为；

设直线方程为，

和椭圆方程联立消掉，得，

计算知，

方程有两实根，且，

所以

（2）当直线无斜率时，此时直线方程为，则两点关于轴对称，所以，则，

当直线斜存在时，依题意，知，设直线方程为，

和椭圆方程联立消掉，得则，

显然，方程有两实根，且，

由于两点在轴的上下两侧，所以异号，

此时

，

将上式变形，得，

由于，当且仅当，即时等号成立，

当时，有最大值．

【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

22．已知函数．

（1）讨论的单调性﹔

（2）若存在，求的取值范围．

【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）．

【分析】(1)对函数求导，再按和分别讨论导函数值正负而得解；

(2)构造函数，讨论时在的值的正负，时再分段讨论最小值情况即可得解.

【详解】(1)函数的定义域为(0，+∞)，，

当时，，则在上递增，

当时﹐由得，

由，得，由，得，

于是有在上递增，在上递减；

由，得，

，当时，，满足题意，

当时，令，，在上递增，则不合题意，

当时，由，得，由，得，

于是有在上递减，在上递增，，

则时，，

综上，的取值范围为．

【点睛】结论点睛：对于能成立问题，(1)函数f(x)定义区间为D，，a≥f(x)成立，则有a≥f(x)min；(2)函数f(x)定义区间为D，，a≤f(x)成立，则有a≤f(x)max.