2022-2023学年四川省南充市嘉陵第一中学高二下学期6月月考数学（理）试题含答案

这是一份2022-2023学年四川省南充市嘉陵第一中学高二下学期6月月考数学（理）试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省南充市嘉陵第一中学高二下学期6月月考数学（理）试题 一、单选题1．已知，则在复平面内复数对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】由复数的除法运算，和共轭复数的概念求得，由复数的几何意义可得结论．【详解】由题意，，对应点坐标为，在第一象限，故选：A．2．将上所有点经过伸缩变换：后得到的曲线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由变换：变形得到，再代入，化简即可.【详解】由得，代入得，化简得，即.故选：D3．设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据渐近线方程求出a与b的关系即可.【详解】双曲线 的渐近线方程为： ，又 ；故选：A.4．已知函数的导函数为，且满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】在等式求导，再令，可得出关于的等式，解之即可.【详解】在等式两边求导得，所以，，解得.故选：C.5．已知椭圆过点且与双曲线有相同焦点，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可得，，联立方程可求得，然后代入公式，即可求得本题答案.【详解】因为椭圆与双曲线有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为，则①，又椭圆过点，所以②，结合①，②得，，所以，故选：C6．关于的方程，有下列四个命题：甲：是方程的一个根；乙：是方程的一个根；丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则假命题是（    ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】确定甲或乙为假命题，丙丁为真命题，假设甲为真命题，得到矛盾，得到答案.【详解】根据题意：甲乙丙中有矛盾，其中有一个假命题；甲乙丁中有矛盾，其中有一个假命题；故甲或乙为假命题，丙丁为真命题.假设甲为真命题，是方程的一个根，方程两根之和为2，则另外一个根为，与丁矛盾，假设不成立，故甲为假命题.假设乙为真命题，是方程的一个根，方程两根之和为2，则另外一个根为，满足条件.综上所述：甲为假命题.故选：A.7．已知函数，则的大致图象为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用导数判定单调性结合特殊区间即可得出选项.【详解】，令，所以在和上单调递增，又当时，，.故选：C8．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，研究其单调性，进而可以比较a，b，c的大小.【详解】令，，所以时，，单调递增，时，，单调递减，，，，因为，所以.故选：D.9．已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（    ）A．3 B．4 C． D．6【答案】B【分析】先判断直线与抛物线的位置关系，过点作于点，于点，连接，根据抛物线的定义，得到，推出，结合图形，可得，，共线时，最小，进而可得出结果.【详解】由消去得，因为，所以方程无解，即直线与抛物线无交点；过点作于点，于点，记抛物线的焦点为，连接，因为点到直线的距离为,为抛物线的准线，根据抛物的定义可得，，则到直线和的距离之和为，若，，三点不共线，则有，当，，三点共线，且位于之间时，，则，又，所以，即所求距离和的最小值为.故选：.10．动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P的轨迹方程.【详解】圆N：的圆心为，半径为，且设动圆的半径为，则，即.即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为，虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上，故动圆圆心P的轨迹方程是故选：A11．已知点O为坐标原点，点F是椭圆的左焦点，点，分别为C的左，右顶点，点P为椭圆C上一点，且轴，过点A的直线l交线段PF于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE上靠近O点的三等分点，则椭圆C的离心率（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题设条件，画出图形，设OE上靠近O点的三等分点为N，利用平行关系建立比例式，即可求出椭圆离心率作答.【详解】如图，设OE上靠近O点的三等分点为N，椭圆的半焦距为c，轴，则，在中，，在中，由，得，而，则，即，解得，又，于是，所以椭圆C的离心率.故选：D【点睛】方法点睛：椭圆离心率可借助几何意义求解，题目的条件体现出明显的几何特征和意义，利用几何性质建立关系求解即可.12．已知函数，若，则的最大值为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】分析函数的单调性，设，可得出，构造函数，利用导数求出函数的最大值，即可得解.【详解】因为，则函数在上单调递减，在上单调递增，不妨设，有，可得，有，令，有，令，可得，令，可得，可得函数的增区间为，减区间为，可得，故的最大值为.故选：D 二、填空题13．设为虚数单位，复数的实部与虚部的和为12，则           .【答案】2【分析】根据复数的运算确定实部与虚部即可解决.【详解】由题知，复数，因为实部与虚部的和为12，所以，解得，故答案为：2.14．过点的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，若，则直线的斜率           .【答案】【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及，可求答案.【详解】设，直线与抛物线联立得，即；，因为，所以，所以，代入可得即，，所以故答案为：15．已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则         ．【答案】/【分析】先根据和在公共点处有相同的切线得出在处两函数的导数相等,再由在上,列方程组求解即可.【详解】因为，所以，，因为在公共点处有相同的切线，所以即，所以故答案为：16．若不等式恒成立，则实数的最小值为          .【答案】【分析】利用在上单调递增，将不等式恒成立，转化为恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值得的取值范围，再得的最小值.【详解】令，则，所以在上单调递增，由恒成立，得恒成立，得恒成立，即恒成立，因为在上单调递增，所以恒成立，即恒成立，令，则，由，得；由，得，所以在上为增函数，在上为减函数，所以，所以，所以的最小值为.故答案为：. 三、解答题17．已知抛物线上一点到焦点F的距离为4．(1)求实数p的值；(2)若过点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据抛物线的几何性质求出p即可；（2）设直线l的方程，联立直线l和抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的几何性质即可求解.【详解】（1）由抛物线的几何性质知：P到焦点的距离等于P到准线的距离， ，解得：；（2）由（1）知抛物线，则焦点坐标为F，显然直线l斜率不为0，设直线l为：，，联立直线与抛物线方程：，得：，则，，则所以 ，解得，所以直线l为：或；综上， ，直线l为：或.18．已知函数在处有极值.(1)求实数的值；(2)求函数在上的最值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据题意列出方程，求得的值，可得答案.（2）求出函数的极值点，求得函数的极值以及区间端点处的函数值，比较可得答案.【详解】（1），，解得，则，若，则；若，则或,即函数在处有极大值且极大值为，符合题意，故：（2）由（1）知，，，若，则；若，则或,在上单调递增，在上单调递减,又，.19．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆和圆的极坐标方程分别是和．(1)求圆和圆的公共弦所在直线的直角坐标方程；(2)若射线与圆的交点为P，与圆的交点为Q，求的值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据公式可得两圆的直角坐标方程，进而即得；（2）将代入两个圆的极坐标方程得到P，Q两点的极径，进而得到答案.【详解】（1）圆，即，则，圆，即，则，两式相减得到两圆公共弦所在直线的直角坐标方程为：．（2）将代入圆和圆的极坐标方程得：，，所以．20．如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，.(1)求证：平面；(2)若E为PC的中点，求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先证，，由此即可证得平面；（2）建立空间直角坐标系，求出,平面的一个法向量为，然后利用公式，即可求得本题答案.【详解】（1）作，垂足为，易证，四边形为正方形.所以，.又，因为，所以.因为平面，平面，所以.   又，平面，平面，所以平面.         （2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.   则，，.设平面的法向量为，由，得，令，可得平面的一个法向量为.           设与平面所成角为，则.21．已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，离心率，点E在椭圆C上，的面积的最大值为．(1)求C的方程；(2)设C的上、下顶点分别为A，B，点M是C上异于A，B的任意一点，直线MA，MB分别与x轴交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：为定值．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；（2）设，根据题意求P，Q两点的坐标，进而可求，结合运算整理即可得结果.【详解】（1）设C的半焦距为，由题意可得，解得，所以C的方程为．（2）由（1）可得，，设椭圆上任意一点，所以直线AM的方程为，令，得，即同理可得 ，所以，∵在椭圆上，则，整理得，∴（为定值）.22．已知函数．(1)若，求函数的图像在处的切线方程；(2)若，是函数的两个极值点，求的取值范围，并证明：．【答案】(1)(2)，证明见解析 【分析】（1）先求出切点，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程；（2）由有两个极值点，则在有两个不相等的实数根，得出的取值范围，再由根与系数的关系得出，，代入，得出，结合即可证明结论．【详解】（1）当时，，，所以，，所以函数的图像在处的切线方程为，即．（2）因为，所以，由题意知是方程在内的两个不同的实数解，令，又，且函数图像的对称轴为直线，所以只需， 解得，即实数的取值范围为，由是方程的两根，得，，故，又，所以．