2022-2023学年内蒙古呼伦贝尔市额尔古纳第一中学高二下学期第一次月考数学（文）试题含答案

2022-2023学年内蒙古呼伦贝尔市额尔古纳第一中学高二下学期第一次月考数学（文）试题

一、单选题

1．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的运算法则计算即可.

【详解】因为，所以，即，则．

故选：D

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用含有一个量词的命题的否定求解.

【详解】解：因为命题“”是全称量词命题，

所以其否定是存在量词命题，即，

故选：B

3．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解不等式化简集合A，B，再利用并集的定义求解作答.

【详解】依题意，，，所以.

故选：C

4．在等比数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等比数列的定义与性质计算即可.

【详解】因为，，所以公比，所以．

故选：B

5．若函数的最大值为4，则函数的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由正弦函数的值域和的最大值求得，再由余弦型函数的周期公式求的最小正周期.

【详解】由，函数的最大值为4，则，

函数的最小正周期为.

故选：D

6．已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为（    ）

A．和 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据图像，在和上单调递增，在上单调递减，得到极大值点.

【详解】根据图像，在和上，单调递增；

在上，单调递减，故的极大值点为.

故选：C

7．退休后富养自己，不是让自己无事可做，而是遵循内心去做自己想做的事情，不论是锻炼身体，还是其他兴趣爱好，以及帮扶子女，都要将日子过得有仪式感．某人即将退休，现对自己退休前后的工资分配做了详细的规划，各类费用的占比如下面的条形图和扇形图所示．

下列说法中一定正确的是（    ）

A．若他退休后每月的储蓄金额等于退休前每月的储蓄金额，则他退休后每月的工资和退休前每月的工资相等

B．若他退休后每月旅行的费用是退休前的3倍，则他退休后每月的工资和退休前每月的工资相等

C．若他退休后每月的工资是退休前的，则他退休后每月的其他费用与退休前每月的其他费用相等

D．他退休前后每月的衣食住费用相等

【答案】B

【分析】根据条形图和扇形图对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】设他退休前每月的工资为，退休后每月的工资为，

对于A，若，则，所以A错误；

对于B，若，则，所以B正确；

对于C，若，则退休后其他费用为，所以C错误；

对于D，因为他退休前后每月的工资不一定相等，所以D错误．

故选：B

8．从3名男同学和3名女同学中任选4人参加社区服务，则选中的男同学不比女同学多的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】用列举法写出所有的情况，找出符合条件的情况，然后根据古典概型公式代入计算概率即可.

【详解】记3名男同学分别为，记3名女同学分别为，

任选4人共有，，，

，，，，

，，，，

，，，，

共种不同的情况，

而选中的男同学不比女同学多的有种不同的情况，

所以选中的男同学不比女同学多的概率为．

故选：B

9．若函数在上为增函数，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】对函数求导，根据题意可得对恒成立，列出不等式组，解之即可求解.

【详解】依题意得对恒成立，

即对恒成立．

因为y＝ax＋a＋1的图象为直线，

所以，解得．

故选：B.

10．法国数学家加斯帕·蒙日发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用特殊法，找过右顶点的切线和过上顶点的切线，得交点在蒙日圆上，从而可求解.

【详解】直线与椭圆分别相切，显然直线与直线垂直，且交点为，

由题意点在圆上，所以，所以，

故椭圆的离心率．

故选：A.

11．执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的为（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】C

【分析】模拟执行程序框图，直到不满足条件结束循环即可得解.

【详解】执行程序框图：,

，满足，

，满足，

，满足，

，满足，

，满足，

，满足，

，满足，

，满足，

，满足，

，满足，

，不满足，

输出.

故选：C.

12．已知双曲线的左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率是（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据双曲线定义及正三角形，可得，利用双曲线定义可求解，从而求出离心率.

【详解】由题知双曲线的实半轴长，虚半轴长为，设双曲线的焦距为.

如图，直线与双曲线右支相交于两点，设，则，

由为等边三角形，得，可得，

又由双曲线的性质知，故，

所以，.

所以，所以，；

故选：D.

二、填空题

13．已知“”是“”的充分非必要条件，则实数a的取值范围是       ．

【答案】

【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可．

【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，

所以实数a的取值范围是，

故答案为：

14．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为      cm.

【答案】

【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意得到点的坐标，代入求出参数的值，即可得解.

【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，依题意可得的坐标为，

设抛物线的标准方程为，则，解得.

故该抛物线的焦点到准线的距离为cm.

故答案为：

15．设的内角的对边分别为，若，，，则            ．

【答案】

【分析】先根据同角三角函数关系求正弦值，再应用正弦定理即可.

【详解】因为，所以，因为，

所以，

因为，所以．

故答案为：

16．已知函数，则在上的最大值为        ．

【答案】

【分析】对函数求导判断出单调性，比较极大值与端点值的大小，可得出在上的最大值.

【详解】，

令，得或．

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增．

因为，所以．

故答案为：.

三、解答题

17．已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且．

(1)求抛物线的方程；

(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据抛物线的定义求解；

（2）设点代入抛物线方程，然后利用点差法求解直线的斜率，然后根据点斜式即可解得直线的方程；

【详解】（1）因为，

所以，

故抛物线的方程为．

（2）  

易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，

则

两式相减得，整理得．

因为的中点为，所以，

所以直线的方程为，即.

18．观察下列不等式的规律：

，

，

，

…

请你通过上式猜测第个不等式，并用分析法加以证明．

【答案】第个不等式为，证明见解析

【分析】用分析法证明即可.

【详解】由上式可猜测出第个不等式为，

要证明，

只需证，

因为，所以，

两边平方化简得，

两边再平方，得，即，

而显然成立，

所以．

19．已知函数．

(1)若曲线在点处的切线方程为，求；

(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程，解得即可；

（2）依题意可得恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围.

【详解】（1）因为，所以，

因为曲线在点处的切线方程为，

所以，即，解得.

（2）因为，又函数在上单调递增，

所以恒成立，

即在上恒成立，

令，，则，所以当时，

当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取得极小值即最小值，即，

所以，即实数的取值范围为.

20．某校提前放寒假且安排学生居家上网课，为了学生在家是否用手机上网课的情况，现从本校学生中随机抽取了200名学生进行调查，根据样本的调查结果可以得到不完整的列联表，且女生与用手机上网课的人数均占样本总数的．

(1)请补充完整上面的列联表；

(2)试根据调查数据判断是否有的把握认为用手机上网课与性别有关联．

附：，其中．

【答案】(1)答案见解析

(2)有的把握认为用手机上网课与性别有关联．

【分析】（1）根据求得女生的人数和用手机上网课的人数，得出的列联表；

（2）由（1）中的列联表，求得的值，结合附表，即可得到结论.

【详解】（1）解：由题意得，被调查的总人数为200，女生的人数为，

用手机上网课的人数为，

可得 的列联表如下：

（2）解：根据表中的数据，经计算得到，

所以有的把握认为用手机上网课与性别有关联．

21．已知函数．

(1)设a＝0．

①求曲线在点处的切线方程．

②试问有极大值还是极小值？并说明理由．

(2)若在上恰有两个零点，求a的取值范围．

【答案】(1)①y＝－3x＋1；②有极大值，没有极小值，理由见解析

(2)．

【分析】（1）①由导数的几何意义计算即可；②利用导函数判定函数的极值即可；

（2）法一、分离参数得，构造函数判定其单调性及极（最）值，即可得出结果；法二、半分离参数，将问题转化为，两函数在上有两个交点，利用导数的几何意义，结合图象分析即可.

【详解】（1）因为a＝0，所以，．

①由及，

得曲线在点处的切线方程为：y－（－2）＝－3（x－1），

即y＝－3x＋1．

②令，得；令，得．

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极大值，没有极小值．

（2）法一、

由，得，

则．设函数，则．

令函数，易知在上单调递减，且，

所以当时，，当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，

则．由，，得，

故a的取值范围是．

法二、

由，得，

则．设函数，则．

设直线与曲线切于点，则，

整理得．令，易知其为增函数，且，所以a＝1．

直线y＝a（x＋1）过定点，当该直线经过点时，．

数形结合可知，当且仅当时，直线y＝a（x＋1）与函数的图象恰有两个交点，即在上恰有两个零点，

故a的取值范围是．

【点睛】本题考察导数与函数的综合，属于压轴题.第二问含参函数在定区间的零点问题的处理方式常有：分离参数法，将问题转化为参数与一个函数在定区间的交点问题；半分离参数，将问题转化为一个简单的含参函数与另一个简单的函数的交点问题.

22．已知椭圆的离心率是，是椭圆C上一点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点的直线l与椭圆C交于A，B（异于点P）两点，直线PA，PB的斜率分别是，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)是，

【分析】（1）由已知椭圆的离心率是，又过点，可得，直接解得，，即可得到椭圆的标准方程；

（2）由直线过点，可设直线方程为，，，联立方程组，由韦达定理可得，，又，得，，再代入化简即可求解.

【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c，

由题意可得，解得，，

故椭圆C的标准方程为：.

（2）

由题意可知直线l的斜率不为0，设直线，，，

联立，整理得，

则，

，，

因为，所以，，

所以

.

故为定值，该定值为.