2022-2023学年云南省曲靖市会泽县实验高级中学校高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年云南省曲靖市会泽县实验高级中学校高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合 ，为整数集，则  

A．  B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据集合运算的定义计算即可.

【详解】由已知得，则 ；

故选：D．

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由复数的除法运算、共轭复数的运算求解即可.

【详解】因为，

所以.

故选：D.

3．已知向量，若，则（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】A

【分析】根据向量平行列方程，由此求得，进而求得.

【详解】，则，得.

故选：A

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知，利用三角函数的诱导公式计算求解.

【详解】由，有，得，

可得，所以.故A，C，D错误.

故选：B.

5．已知等比数列的前项和为，公比，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由首项和公比表示化简可得答案.

【详解】由等比数列的性质可得，

化简可得，解得或（舍去），所以.

故选：C.

6．“”是“函数的最小值大于4”的（    ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可．

【详解】解：若，则的最小值为；

若的最小值大于4，则，且，则，

故选：C．

7．已知为双曲线的右焦点，为双曲线的一条渐近线，到直线的距离为，过且垂直于轴的直线交双曲线于两点，若长为10，则的离心率为（    ）

A．2 B． C．4 D．6

【答案】B

【分析】根据已知条件求得，由此求得双曲线的离心率.

【详解】双曲线的一条渐近线方程为，

所以焦点到渐近线的距离为.

由令得，

所以，所以，

所以，

所以离心率.

故选：B

8．已知是上的奇函数，且满足，当时，，则等于（    ）

A． B．2 C． D．98

【答案】A

【分析】先由奇函数结合求得函数周期为4，再由结合解析式求解即可.

【详解】因为是上的奇函数，则，，则，

函数周期为4，又，则.

故选：A.

二、多选题

9．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论错误的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】ABC

【分析】根据直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系以及面面垂直的判定定理进行判断.

【详解】对于，若，则与平行､相交或，故错误；

对于，若，则与相交或平行，故错误；

对于，若，则与平行或异面，故错误；

对于，若，则由面面垂直的判定定理得，故正确.

故选：.

10．将函数图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则的值可能为(    )

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据图象平移求出平移后函数解析式，根据正弦型函数的对称性即可求出的值．

【详解】平移后得到函数解析式为，

∵g(x)图象关于原点对称，即g(x)是奇函数，

∴，

∴，∴．

当k＝0时，φ＝；当k＝1，φ＝．

故选：BD．

11．如图，，，，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则下述正确的是（    ）．

A．曲线与轴围成的面积等于

B．曲线上有5个整点（横纵坐标均为整数的点）

C．所在圆的方程为：

D．与的公切线方程为：

【答案】BCD

【分析】由题意，作图，根据图形组合，可得A的正误；根据图中的交点，可得B的正误；根据图中明确圆心与半径，可得C的正误；结合图象所做切线，设出直线方程，利用切线性质，可得D的正误.

【详解】由题意，连接，过点作轴于，轴于，如图所示：

A选项：由图可得面积，故A错误，

B选项：曲线上有，，，，5个整点，故B正确，

C选项：所在圆圆心为，半径为1，故圆的方程为：，故C正确，

D选项：设与的公切线方程为：，根据图像知，则，，

解得，，即，故D正确．

故选：BCD．

12．已知函数 ，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的值可能是（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】BC

【分析】理解题意就是函数 的导函数存在两个不同的零点，讨论导函数的图像即可.

【详解】∵曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，

∴ 有两个不同的解，

即得 有两个不同的解，

即的图象与 的图象有两个不同的交点，

，

∴当时， ， 单调递减；

时， ， 单调递增，

∴时，y取得最小值 ，

又当时，，

函数图象如下：

∴当 时，的图象与 的图象有两个不同的交点，

结合选项可得实数a的值可能是 ， ；

故选：BC．

三、填空题

13．若服从正态分布，且，则的值为      .

【答案】8

【分析】由正态分布知和关于对称.

【详解】由题意知，解得.

故答案为：8.

14．某学校举办班主任经验交流会，共有五名老师参加演讲，在安排出场顺序时，甲、乙两人需要排在一起，这样出场顺序一共有      种.（用数字作答）

【答案】48

【分析】根据相邻问题捆绑法即可求解.

【详解】将甲乙两个人看作是一个整体，与另外三个人全排列，即，

故答案为：48

15．已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上．若，，，，则球O的体积为      .

【答案】

【分析】结合直三棱柱的性质得其外接球球心的位置，计算出半径即可.

【详解】

由题意可得该三棱柱为长方体截去一半而成，故其外接球球心为长方体的体对角线的交点，如图所示，补全该长方体，球心为O，设球半径为，

则，，.

故答案为：

16．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为          ．

【答案】

【分析】作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，结合求得，进而求出，即可求得抛物线方程.

【详解】

如图，作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，，故，

在直角三角形中，因为，，所以，从而得，

设准线与x轴交于，则，所以，因此抛物线方程为.

故答案为：.

四、解答题

17．设数列是公差为的等差数列，已知，

(1)求数列的通项公式；

(2)若，且的前n项和为，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出公差，进而求解；

（2）结合（1）的结论得到，利用裂项相消法即可求解.

【详解】（1）因为数列是公差为的等差数列，且，

所以，则或.

又，，∴.

（2）由（1）可得，，

∴

18．的内角所对的边分别为.已知，且.

（1）求的面积；

（2）若，求的周长.

【答案】(1);;(2).

【详解】试题分析：

(1)由正弦定理角化边可得，然后利用面积公式可得的面积.

(2)由题意结合余弦定理可得，则的周长为.

试题解析：

（1）由，得，∴，

∵，∴，故的面积.

（2）由余弦定理得：，∴，

∴，∴，∴，

即的周长为.

19．如图，在四棱锥中，平面，，.

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【分析】（1）由平面，得，由，得，由，得，从而平面，由此能证明．

（2）在平面作于，连结，作于，连结，由平面，得，由，得平面，从而平面平面，进而平面，是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．

【详解】(1)由平面，得，

由，得，

∵，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴.

(2)在平面作于，连结，作于，连结，

由平面，得，

又，∴平面，

又平面，得平面平面，

结合，得平面，

∴是直线与平面所成角，

在四边形中，可得，

在中，可得，

在中，可得，

在中，，

∴直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】本题考查线线垂直的证明、线面角的正弦值的求法、空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，考查转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力．

20．某公司计划对A产品进行定价，前期针对A产品的售价以及相应的市场份额进行调研，所得数据如下表（1）所示.根据前期的销售情况，公司征求了所有员工对产品定价的看法，所得数据如表（2）所示

表（一）

表（2）

(1)根据表（1）数据建立A产品所占市场份额y与定价x之间的回归直线方程（回归直线方程的斜率和截距均保留两位有效数字）；

(2)根据表（2）中的数据，依据的独立性检验，能否认为产品定价的高低与员工的年龄具有相关性？

(3)若按照年龄进行分层抽样，从表（2）中认为定价应该超过3000元的员工中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记40岁以下员工的人数为X，求X的分布列以及数学期望.

参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

参考数据：

【答案】(1);

(2)有99%的把握认为产品定价与员工年龄有关;

(3)

【分析】（1）直接进行数据分析，套公式求出回归方程；（2）套公式计算，对着参数下结论；（3）利用古典概型的概率公式直接计算.

【详解】（1）由题意可得：，.

所以，

.

所以.

即回归直线方程为.

（2）由题意进行数据分析可得：

.

所以有99%的把握认为产品定价与员工年龄有关；

（3）进行分层抽样，年龄在40岁以上的有人，年龄在40岁以上的有人.

从这5人中随机抽取3人，恰有1人年龄在40岁以上的概率为

.

即从这5人中随机抽取3人，恰有1人年龄在40岁以上的概率为.

21．设椭圆的左焦点为F，上顶点为B，离心率为，O是坐标原点，且．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线与椭圆C在第一象限内的交点为P，，直线BF与直线l的交点为Q，求的面积．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由得到，结合离心率为及解出，即可求得椭圆C的方程；

（2）先求出直线BF方程，再由及P在椭圆上求出P点坐标，进而求得直线方程，联立求得点Q坐标，再由求解即可.

【详解】（1）由题意得：，则，解得，则椭圆C的方程为：；

（2）

由（1）得，则直线BF方程，又可得P在线段OB垂直平分线上，则，

又P在椭圆上，解得，则，直线，联立和线BF可得，

解得，则，则.

22．已知函数.

（1）若在处取得极值，求的值；

（2）求函数在上的最大值.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）求导.由已知得，解得.再验证，可得答案.

（2）由已知得，求导得单调性.分，，三种情况分别求函数在上的最大值.

【详解】（1）因为，所以函数的定义域为.

所以.

因为在处取得极值，即，解得.

当时，在上，在上，此时是函数的极小值点，所以.

（2）因为，所以，.

因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减.

①当时，在上单调递增，所以；

②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，

所以；

③当，即时，在上单调递减，所以.

综上所述，当时，函数在上的最大值是；

当时，函数在上的最大值是；

当时，函数在上的最大值是.

【点睛】本题考查运用导函数研究函数的极值，函数的单调性，以及函数的最值，关键在于分析导函数取得正负的区间，属于较难题.