2022-2023学年云南省元谋县第一中学高二下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年云南省元谋县第一中学高二下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（　　）

A．  B．

C． D．

【答案】B

【详解】根据题意，将集合B化简，然后结合集合的交集与并集运算，即可得到结果.

【解答】因为集合，集合，

所以，故AC均错误；

，故B正确，D错误．

故选：B．

2．已知复数，，且为纯虚数，则（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【分析】利用共轭复数及复数乘法运算求出a值，再求出复数模作答.

【详解】复数，，则，

依题意，，解得，即，

所以.

故选：C

3．从4名高一学生和5名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（    ）

A．50 B．70 C．80 D．140

【答案】C

【分析】根据题设条件利用组合知识并借助排除法即可作答.

【详解】由于选取的3人无顺序性，求不同选法种数的问题是组合问题，

又3 人中至少有1名高二学生，其对立事件是没有高二学生，

所求不同选法种数，先从9人中任选3人有种选法，没有高二学生的选法种数是，

所以不同选法种数为

故选：C

4．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】如图所示，由题得，利用抛物线焦半径公式即得解.

【详解】如图所示，由题得，抛物线的准线方程为.

过点A作AM垂直于准线于点M，过点B作BN垂直于准线于点N，

由抛物线定义可知，，

∴.

故选：C

5．若，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数，通过求导分析其单调性即可得到答案

【详解】解：，设，则时，，故在上单调递减，则，即，所以．

故选：A.

6．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由图象分析得，再代入点平移后即可得解析式，即可求得答案.

【详解】由题意可知，，

由图象知，，解得，所以；

代入增区间上的零点后可得：，

所以，

所以，因为，所以，即，

所以，

故选：B.

7．如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，，，则线段的长度为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用空间向量的数量积求模即可.

【详解】由图形易得，

所以，

即.

故选：A

8．已知函数在上单调递增，且在区间上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数在上单调递增，利用函数导数性质求出的取值范围，在由在区间上既有最大值又有最小值求出的取值范围，然后求交集即可.

【详解】1.因为，则，

若在上单调递增，则在上恒成立，

即恒成立，则，解得；

2.因为，则，

①当时，对任意恒成立，所以在上单调递增，

此时只有最大值，没有最小值不满足题意；

②当时，对任意恒成立，所以在上单调递减，

此时只有最小值，没有最大值不满足题意；

③当时，令，解得；令，解得；

则在单调递增，在单调递减，所以为最小值，

若在上既有最大值，又有最小值，

则且，解得：；

综上所述：．

故选：B.

二、多选题

9．已知．则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】A选项令求解判断；B选项利用的展开式的通项公式求解判断；CD选项利用赋值法令，求解判断.

【详解】解：由，令得，故A正确；

由的展开式的通项公式，得，故B错误；

令，得①，再由，得，故C错误；

令，得②，①②再除以2得，故D正确；

故选：AD

10．设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A＝“从甲袋中任取1球是红球”，记事件B＝“从乙袋中任取2球全是白球”，则（    ）

A．事件A与事件B相互独立 B．

C． D．

【答案】CD

【分析】由古典概型概率计算公式，以及条件概率公式分项求解判断即可.

【详解】现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球可知：

从甲袋中任取1球对乙袋中任取2球有影响，事件A与事件B不是相互独立关系，故A错误；

从甲袋中任取1球是红球的概率为：，从甲袋中任取1球是白球的概率为：，

所以乙袋中任取2球全是白球的概率为：

，故B错误；

，所以，故C正确；

，故D正确.

故选：CD

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若为直角三角形，则（    ）

A．

B．双曲线的离心率

C．双曲线的焦距为

D．的面积为

【答案】BD

【分析】画图分析，由双曲线的相关性质计算判断即可.

【详解】如图所示：

若为直角三角形，由双曲线的对称性可知：

，且.

设，则由双曲线的定义得：，.

所以在直角三角形中，由勾股定理得：.

解得：，所以，

所以的面积为：.故D正确；

，所以，故C不正确；

由可知，，，

所以，故A不正确；

，故B正确.

故选：BD.

12．已知函数，，则（    ）

A．1是函数的极值点 B．当时，函数取得最小值

C．当时，函数存在2个零点 D．当时，函数存在2个零点

【答案】AD

【分析】求出函数的导数，根据导数的符号判断函数的单调性，从而可判断AB的正误，根据零点存在定理和最值的符号可判断CD的正误.

【详解】，令可得，

当时，；当时，，

故为的极大值点，故A正确.

又在上为增函数，在上为减函数，

故当时，函数取得最大值，故B错误.

当时，，

又，

而，故且，

令，则，

故在上为减函数，故，

由零点存在定理及的单调性可得有两个不同的零点，故D正确.

而当时，当时，恒成立，故在最多有一个零点，

故C错误.

故选：AD

【点睛】方法点睛：导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明，注意需选择特殊点的函数值，使得其函数值的符号符合预期的性质，选择特殊点的依据有2个方面：（1）与极值点有明确的大小关系；（2）特殊点的函数值较易.与零点有关的不等式问题，可依据零点的性质及函数的单调性构建新函数来证明.

三、填空题

13．已知平面向量的夹角为，则       

【答案】

【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算作答.

【详解】因为向量的夹角为，则，

所以.

故答案为：

14．已知正数满足，则的最小值为           .

【答案】18

【分析】对等式进行变形，再根据基本不等式进行求解即可.

【详解】因为，则，又，是正数，

所以，

当取得等号，即且时取等号，

所以的最小值为，

故答案为：.

15．已知两随机变量X，Y满足，若，则          ．

【答案】

【分析】先由，得均值，方差，然后由得，再根据公式求解即可．

【详解】解：由题意，知随机变量服从二项分布，，，

则均值，方差，

又，

，

，

．

故答案为：．

16．袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．现从该袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则E(X)=         ．

【答案】/

【分析】根据题意结合古典概型求得，进而求X的分布列和期望.

【详解】设袋中有个黑球，则白球有，

由题意可得：，解得或（舍去），

故X的可能取值有，则有：

，

可得X的分布列为：

故.

故答案为：.

四、解答题

17．在锐角中，角所对的边分别为，若．

（1）求角B；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）结合两角和的余弦公式化简整理即可求出结果；

（2）结合正弦定理将转化为，结合两角和的正弦公式以及辅助角公式化简整理，再利用正弦函数的图象与性质即可求出结果.

【详解】（1），

，

 ，

， ， ， ；

（2）由（1）和正弦定理得，

，

，

，

，

可得，

．

18．已知数列的首项为2，且满足（且），．

(1)求的通项公式；

(2)设，求的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）因式分解可知为等比数列，然后可解；

（2）利用对数运算裂项可解.

【详解】（1）由得，

因为，所以，所以，即，

又，所以是以2为首项和公比的等比数列，所以．

（2）由得，

19．为了解某市高三学生身高情况，对全市高三学生进行了测量，经分析，全市高三学生身高（单位：）服从正态分布，已知，.

（1）现从该市高三学生中随机抽取一名学生，求该学生身高在区间的概率；

（2）现从该市高三学生中随机抽取三名学生，记抽到的三名学生身高在区间的人数为，求随机变量的分布列和均值.

【答案】（1）（2）详见解析

【分析】（1）根据正态分布曲线的对称性和条件先求出，可求然后得值.

（2）先求出，从而得到服从二项分布，得出分布列和期望.

【详解】（1）由全市高三学生身高服从，，

得.

因为，

所以.

故从该市高三学生中随机抽取一名学生，该学生身高在区间的概率为.

（2）因为

，

服从二项分布，

所以，

，

，

.

所以的分布列为

所以.

【点睛】本题考查利用正态分布求概率和二项分布问题，将实际问题转化为二项分布问题时本题的难点，属于中档题.

20．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为矩形，平面平面ABE，，，，F为棱CE的中点，P为棱AB上一点（不含端点）．

(1)求证：平面ACE；

(2)若平面PCE和平面ACE所成锐二面角的余弦值为，求AP的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，可证BC⊥平面ABE，根据线面垂直的性质定理、判定定理，可证AE⊥平面BCE，再利用线面垂直性质定理、判定定理，即可得证

（2）如图建系，求得各点坐标，设，可得的坐标，分别求得平面CPE的法向量为，平面ACE的法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案.

【详解】（1）∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，平面平面，

∴BC⊥平面ABE，

又∵平面ABE，∴BC⊥AE．

在中，根据勾股定理可得AE⊥BE，又，

∴AE⊥平面BCE，平面BCE，

∴AE⊥BF．

在中，，F为CE的中点，

∴BF⊥CE，又∵，

∴BF⊥平面ACE．

（2）以E为坐标原点，分别以EB，EA所在直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，．

设，，

，．

设平面CPE的法向量为，且，

则由,得，令，从而．

∵BF⊥平面ACE，∴为平面ACE的一个法向量．

由题意，

∴或（舍去），

∴．

21．已知椭圆C：的离心率，点，为椭圆C的左、右焦点且经过点的最短弦长为3．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于不同两点A，B，与直线交于点P，若，且点Q满足，求的最小值．

【答案】(1)

(2)5

【分析】（1）由通径性质、离心率和椭圆参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程；

（2）讨论直线斜率，设，，，为，注意情况，联立椭圆方程应用韦达定理求，，结合、坐标表示得到，进而有求，再求坐标，应用两点距离公式得到关于的表达式求最值，注意取值条件.

【详解】（1）由题意，，解得，，所以椭圆的方程为．

（2）由（1）得，若直线的斜率为0，则为与直线无交点，不满足条件．

设直线：，若，则则不满足，所以．

设，，，

由得：，，．

因为，即，则，，

所以，解得，则，即，

直线：，联立，解得，

∴，当且仅当或时等号成立

∴的最小值为5．

22．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数在上有最小值，求的取值范围；

(3)如果存在，使得当时，恒有成立，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求解作答.

（2）利用导数分类讨论函数在区间内的最值情况作答.

（3）变形不等式，构造函数，利用导数探讨恒成立的k的范围作答.

【详解】（1）当时，，求导得：，则，而，

所以曲线在点处的切线方程为.

（2），，函数，求导得：，显然恒有，

则当时，，函数在上单调递增，无最小值，不符合题意；

当时，由，得，当时，，当时，，

因此函数在上单调递减，在上单调递增，即当时，函数取得最小值，

所以函数在上有最小值，的取值范围是.

（3），

因为存在，使得当时，恒有成立，

则有存在，使得当时，，

令，即有，恒成立，

求导得，令，，

因此函数，即函数在上单调递增，而，

当，即时，，函数在上单调递增，

，成立，从而，

当时，，，则存在，使得，

当时，，函数在上单调递减，当时，，不符合题意，

所以的取值范围是.

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.