浙江省杭州市六县九校2022-2023学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析）

杭州“六县九校”联盟2022学年第一学期期中联考

高二年级数学学科试题

选择题部分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若直线的倾斜角是，则直线的斜率为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】分析：根据倾斜角和直线斜率的关系求解即可.

详解：由题可得：直线的斜率为tanα=tan

故选D.

点睛：考查直线斜率的计算，属于基础题.

2. 某小区有500人自愿接种新冠疫苗，其中49~59岁的有140人，18~20岁的有40人，其余为符合接种条件的其他年龄段的居民．在一项接种疫苗的追踪调查中，要用分层抽样的方法从该小区18~20岁的接种疫苗的人群中抽取4人，则样本容量为（    ）

A. 14 B. 18 C. 32 D. 50

【答案】D

【解析】

【分析】根据分层抽样的概念求解.

【详解】设样本容量为，由题意得，解得.

故选：D.

3. 已知，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量平行、垂直的坐标表示判断即可.

【详解】设，即，则，此方程组无解，故不平行，故A错误；

设，即，则，此方程组无解，故不平行，故B错误；

，则，故C正确；

，则不垂直，故D错误.

故选：C.

4. 直线经过第一、三、四象限，则（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】数形结合根据斜率与截距列不等式求解即可.

【详解】直线经过第一、三、四象限，如图所示，

则，且，则．

故选：B．

5. 如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为和，方差分别为和，则（    ）

A. ， B. ， C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】

根据图形分析数据的整体水平和分散程度.

【详解】观察题图可知，实线中的数据都大于或等于虚线中的数据，所以小王成绩的平均数大于小张成绩的平均数，即；

显然实线中的数据波动都大于或等于虚线中的数据波动，所以小王成绩的方差大于小张成绩的方差，即.

故选：C.

【点睛】此题考查根据数据特征辨析平均数和方差，关键在于准确分析图形反映的数据特征而并非计算.

6. 直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点，异面直线CE与所成角的余弦值是（    ）

A.  B.  C. - D.

【答案】D

【解析】

【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．

【详解】直三棱柱中，，，为的中点．

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，则，0，，，2，，，0，，，0，，

，2，，，0，，

设异面直线与所成角为，

则．

异面直线与所成角的余弦值为．

故选：．

【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

7. 如图，在平行六面体中，．点在上，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于的表达式.

【详解】在平行六面体中，

则，

.

故选：D.

8. 2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物爱好者的喜爱，“冰墩墩”和“雪容融”将中国文化符号和冰雪运动完美融合，承载了新时代中国的形象和梦想.若某个吉祥物爱好者从装有3个“冰墩墩”和3个“雪容融”的6个盲盒的袋子中任取2个盲盒，则恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】列举基本事件，利用古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】记3个“冰墩墩”分别为a、b、c,3个“雪容融”分别为1、2、3；

从6个盲盒的袋子中任取2个盲盒有：ab,ac,a1,a2,a3,bc,b1,b2,b3,c1,c2,c3,12,13,23共15种情况；其中恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”包含a1,a2,a3, b1,b2,b3,c1,c2,c3共9种，

所以概率为：.

故选：C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 给出下列命题，其中正确的是（    ）

A. 任意向量，，满足

B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是

C. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底

D. 若为正四面体，G为的重心，则

【答案】CD

【解析】

【分析】根据相等向量的概念即可判断选项A；

根据空间向量的坐标系中，点关于坐标平面对称点的特征即可判断选项B；

根据空间向量的基底的概念即可判断选项C；

根据空间向量的线性运算和重心的定义即可判断选项D.

【详解】A：因为与是一个标量，设，，

若要，则需要向量方向相同，但不一定相同，

所以不一定成立，故A错误；

B：点关于坐标平面的对称点为，故B错误；

C：因为是空间的一个基底，所以不共面，

假设共面，则存在实数使得，

即，所以，方程组无解，

所以不共面，所以也是空间的一个基底，故C正确；

D：，

则，又为的重心，

所以，故，故D正确.

故选：CD

10. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（    ）

A. 该试验样本空间共有个样本点 B.

C. 与为互斥事件 D. 与为相互独立事件

【答案】ABD

【解析】

【分析】由题可得样本空间及事件样本点，结合互斥事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得.

【详解】对于A：试验的样本空间为：正，正，正，反，反，正，反，反，共个样本点，故A正确

对于B：由题可知正，正，正，反，正，反，反，反，

显然事件，事件都含有“正，反这一结果，故，故B正确；

对于C：事件，事件能同时发生，因此事件不互斥，故C不正确；

对于D：，，，所以，故D正确．

故选：ABD.

11. 某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（    ）

A. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时

B. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为8小时

C. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时

D. 这1000名高中学生每天的平均学习时间为小时的人数有100人

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A：利用频率分布直方图的数据，按照平均数的定义进行计算，即可判断；对于B：根据众数的定义进行判断；对于C：利用百分位数的定义进行计算即可判断；对于D：利用频率分布直方图的数据计算即可判断.

【详解】对于A： 由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的平均值为

小时，

由此可以估计该市高中学生平均学习时间的平均值为8.6小时，故A正确；

对于B：由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，

由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，故B错误；

对于C：由频率分布直方图可以得到，，，

则抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的分位数在内，设其为k，

则有：，解得，

即抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时，

由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时，故C正确；

对于D：从频率分布直方图可以得到，这1000名高中学生每天的平均学习时间为小时的人数有人，故D错误.

故选：AC.

12. 如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A到，连接，，且，平面与平面的交线为l，则下列结论中正确的是（    ）

A 平面平面 B.

C. ВС与平面所成角的余弦值为 D. 二面角的余弦值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】A.利用面面垂直的判定定理判断；B.利用线面平面的判定定理和性质定理判断；C、D.利用空间向量夹角进行求解判断即可.

【详解】在菱形ABCD中，E为边AB的中点，所以，因为，

所以ED⊥DC，因为A′D⊥DC， ，所以平面A′DE，

因为，所以平面A′DE，因为平面A′BE，

所以平面A′DE⊥平面A′BE ，故A正确；

因为，平面A′BE，平面A′BE ，所以平面A′BE，又平面A′BE与平面A′CD的交线为l，所以CD∥l ，故B正确；

由A知，平面A′DE，则A′E，又菱形ABCD边长为2，∠BAD＝60°，E为边AB中点，所以A′E，又BE∩DE=E，所以A′E平面BED,，以E为原点，分别以EB，ED,E A′为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系：

则，

所以，

由上可知：平面A′DE，

设平面的一个法向量为：，

则，

所以有，因此选项C不正确；

显然平面的一个法向量为：，

设平面的一个法向量为：

则有则，即，所以

所以，所以选项D正确，

故选：ABD

非选择题部分

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知直线，若，则的值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据两直线垂直列方程求解即可.

【详解】因为，所以，解得.

故答案为：.

14. 甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响．甲乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率为__________．（结果用分数表示）

【答案】

【解析】

【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率加法公式求恰好有1人命中的概率.

【详解】记“甲投篮命中”事件，“乙投篮命中”为事件,

则，，，，

因为甲和乙投篮是否命中相互没有影响，所以与互为独立事件，

那么，恰好有1人命中的概率.

故答案为：.

15. 已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为__________．

【答案】2

【解析】

【分析】利用空间中的点到直线的距离公式求解即可．

【详解】设，，则，

则点P到直线的距离．

故答案为：2．

16. 在棱长为1的正方体中，已知点P是正方形内部（不含边界）的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值和异面直线与所成角的余弦值相等，则线段长度的最小值是___________．

【答案】

【解析】

【分析】以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设直线与平面所成角为和异面直线与所成角为，利用向量的夹角公式，结合二次函数的最值求法即可求解．

【详解】解：如图，以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

设，由，，，

，，，

设直线与平面所成角为和异面直线与所成角为，

可得，

，，

由，可得，

则，

当时，线段长度的最小值为．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在一个盒子里有3个球，红球、黄球、绿球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，然后再随机取出一个球．

（1）写出试验样本空间；

（2）假设事件“两次取出的球颜色不同”，求事件的概率

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据样本空间的概念求解；

（2）利用古典概型公式求解.

【小问1详解】

该试验的样本空间可表示为.

【小问2详解】

，

，，∴.

18. 已知直线，直线过点，__________．在①直线的斜率是直线的斜率的2倍，②直线不过原点且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题．

（1）求的一般式方程；

（2）若与在轴上的截距相等，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）选择①：根据点斜式求解即可；选择②：设直线的截距式求解即可；

（2）先求得直线在轴上的截距为，故直线过点，代入，求解即可.

【小问1详解】

选择①：由题意可设直线的方程为，

因为直线的斜率是直线的斜率的2倍，所以，

所以直线的方程为，即．           

选择②：由题意可设直线的方程为，，

因为直线过点，所以，解得．

所以直线的方程为，即．

【小问2详解】

由（1）可知直线的方程为，令，可得，

所以直线在轴上的截距为，所以直线在轴上的截距为．

故直线过点，代入，得，解得．

19. 某高中为了解全校高一学生的身高，随机抽取40个学生，将学生的身高分成4组：)，，进行统计，画出如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）求高一学生身高的平均数和中位数的估计值.

【答案】（1）0.045；（2）165.5；165.

【解析】

【分析】（1）在频率分布直方图中，根据所有小矩形的面积之和等于1，即可求得的值；

（2）根据在频率分布直方图中平均数的计算公式即可求得平均数，设中位数，则左右两边面积相等，列出方程，解方程即可得解.

【详解】（1）由图可知三组的频率分别为，所以身高在内的频率，

所以；

（2）平均数，.

设中位数由

解得，

所以中位数为165.

20. 如图，空间四边形中，，，，点分别在上，且，．

（1）以为一组基底表示向量；

（2）求的长度.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用空间向量运算的几何表示及空间向量基本定理求解；

（2）利用空间向量数量积的运算性质，由展开计算即可.

【小问1详解】

，

．

  【小问2详解】

，

所以，

所以

，

所以.

21. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．

（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；

（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润100万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润120万元．求该企业获得利润超过100万元的概率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设事件A表示“甲组研发新产品A研发成功”，事件B表示“乙组研发新产品B研发成功”，进而根据对立事件的概率求解即可；

（2）由题知的可能取值为0，100，120，220，进而根据独立事件的概率公式求解即可.

【小问1详解】

设事件A表示“甲组研发新产品A研发成功”，事件B表示“乙组研发新产品B研发成功”，

则，，

所以至少有一种新产品研发成功的概率：.

【小问2详解】

若新产品A研发成功，预计企业可获利润100万元，

若新产品B研发成功，预计企业可获利润120万元，

该企业可获利润的可能取值为0，100，120，220，

，

，

故利润超过100万元的概率为.

22. 在三棱柱中，侧面正方形的中心为点平面，且，点满足．

（1）若，求证平面；

（2）求点到平面的距离；

（3）若平面与平面的夹角的正弦值为，求的值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）或

【解析】

【分析】（1）时，点是的中点，从而，利用线面平行的判定定理证明即可；

点到平面的距离等于点到平面的距离，以为原点，的方向分别为轴正方向，建立的空间直角坐标系，求出平面的法向量，进一步计算即可；

分别求出平面与平面的法向量，利用两个法向量的夹角余弦值的绝对值等于两个平面夹角的正弦值建立方程，解出即可.

【小问1详解】

因为点是的中点，

又是的中点

∴，面，面，

∴面．

【小问2详解】

在三棱柱中，面面，

所以点到平面的距离等于点到平面的距离．

又因为正方形，所以，且平面，

以为原点，方向分别为轴正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意知，

则，

设平面的法向量为，则，

令，可得法向量为，也即是平面的法向量，

又，

所以到平面的距离

【小问3详解】

因为，所以，

则，

设面的法向量为，

则令，

可得法向量为，

所以，

因为平面与平面所成角的正弦值为，

所以，

可得，