2022-2023学年黑龙江省双鸭山市饶河县高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省双鸭山市饶河县高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用诱导公式化简可得出所求代数式的值.

【详解】.

故选：C.

2．在空间直角坐标系中，，则的值为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．-1

【答案】A

【分析】利用空间向量垂直的坐标运算即可求出结果.

【详解】因为，又，所以，解得，

故选：A.

3．已知复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】计算，确定虚部得到答案.

【详解】，故虚部为.

故选：C

4．已知椭圆的方程为，且离心率为，则下列选项中不满足条件的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，结合椭圆离心率的定义，求出m，n的关系判断作答.

【详解】椭圆的方程为，则该椭圆的长短半轴长分别为，

离心率，解得，

对于A，，A符合；

对于B，，B符合；

对于C，，C不符合；

对于D，，D符合.

故选：C

5．设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得．

【详解】根据题意，且，则，

由正态曲线得，所以．

故选：C．

6．根据如下样本数据得到回归直线方程，其中，则时y的估计值是（    ）

A．73.5 B．64.5 C．61.5 D．57.5

【答案】A

【分析】根据回归方程经过样本中心点和回归方程对数据的估计即可求解.

【详解】因为回归直线方程必过，

由题中表格数据得，

则，

故，

则当时，，

故选：A．

7．由数字组成的各位上没有重复数字的五位数中，从小到大排列第88个数为（    ）

A．42031 B．42103 C．42130 D．42301

【答案】C

【分析】利用排列数公式分类求得由数字组成的各位上没有重复数字的五位数的各种情况，进而得到从小到大排列第88个数为.

【详解】由数字组成的各位上没有重复数字的五位数中，

1在万位的有（个）；2在万位的有（个）；

3在万位的有（个）；4在万位的有（个）；

则从小到大排列第88个数为4在万位的五位数.

4在万位0在千位的有（个）；4在万位1在千位的有（个）；

4在万位2在千位的有（个），

则从小到大排列第88个数为4在万位2在千位的五位数.

4在万位2在千位的五位数从小到大排列依次为：

则从小到大排列第88个数为

故选：C

8．已知数列满足，且，则数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由等比数列的定义判断出数列为等比数列，再使用分组求和法求解即可.

【详解】∵数列满足，且，

∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴，

∴数列的前项和为，

.

故选：B.

二、多选题

9．若，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】对求导，令即可求出的值可判断A，B；将的值代入可得，再令可求出值可判断C，D.

【详解】由可得：，

令，则，

解得：，故B正确，A不正确；

所以，令，则，

故C正确，D不正确

故选：BC.

10．“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合.“苏州码子”0~9的写法依次为○､丨､刂､川､ㄨ､､〦､〧､〨､攵.某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着的“○”代表距离始发车站的里程为0公里，刻着“〦○”代表距离始发车站的里程为60公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“川攵”，在B点处里程碑上刻着“〨ㄨ”，则（    ）

A．从始发车站到A点的所有里程碑个数为14

B．从A点到B点的所有里程碑个数为16

C．从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为987

D．从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为984

【答案】ABD

【分析】由题意可知A点处里程碑刻着数字，B点处里程碑刻着数字84，里程碑上的数字成等差数列，公差为3，根据等差数列的通项和求和公式，即可判断正误.

【详解】由题意知，A点处里程碑刻着数字，B点处里程碑刻着数字84，里程碑上的数字成等差数列，公差为3，

则从始发车站到A点的所有里程碑个数为，A选项正确；

从A点到点的所有里程碑个数为，B选项正确；

从A点到点的所有里程碑上的数字之和为，D选项正确，则C选项错误；

故选：ABD.

11．如图所示，一个平面图形的直观图为，其中，则下列说法中正确的是（    ）

A．该平面图形是一个平行四边形但不是正方形

B．该平面图形的面积是8

C．该平面图形绕着直线旋转半周形成的几何体的体积是

D．以该平面图形为底，高为3的直棱柱的体对角线长为

【答案】BC

【分析】对于AB选项，由直观图得出平面图形，即可判定；对于CD根据几何体的体积公式和对角线计算即可.

【详解】如图所示将直观图还原为平面图形，由题意可得，AC=4=BD，故该平面图形为正方形.即A错误；面积，即B正确；

将平面图形绕直线AC旋转半周得几何体为两个圆锥，底面半径均为2，

故体积，即C正确；

以该平面图形为底，高为3的直棱柱其实为长方体，体对角线长为，即D错误.

故选：BC

12．已知直线与圆：相交于A，B两点，则（    ）

A．直线过定点

B．若的面积取得最大值，则

C．的最小值为

D．线段的中点在定圆上

【答案】ACD

【分析】由直线系方程求得直线恒过定点判断A，利用三角形面积最大时，可得圆心到直线距离，即可求解m，判断B，利用数量积运算律及定义求出数量积最小值判断C，联立直线与圆的方程求出中点坐标，消参法求解点的轨迹方程判断D.

【详解】直线即直线，

联立，解得，，所以直线过定点，故A正确；

因为，所以的面积取得最大值时，

利用勾股关系得到直线的距离为，

所以，解得或，故B错误；

，

要使取到最小值，只需取最大，

在中，，

所以取最大时，弦长AB最短，

当直线AB与原点和点直线垂直时，弦长AB最短，

因为原点C到点的距离为，

此时，，

所以，故C正确；

联立，得，

设，，则，

从而，

设的中点坐标为，则，消去，

可得，所以线段的中点在定圆上，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．展开式中的系数为      .

【答案】135

【分析】根据二项式展开式的通项公式，令，解出r即可求解.

【详解】展开式的通项公式为，

令，解得，

所以含的项的系数为.

故答案为：135.

14．已知是奇函数，则实数          ．

【答案】2

【分析】利用奇函数的定义代入函数式，化简即可求出所要的值.

【详解】由题意得，所以，解得．

15．如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，设该双曲线的方程为，右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为          ．

【答案】/

【分析】设，则，由双曲线的定义可得，由题意可知四边形为矩形，在中，由勾股定理解得，在中，由勾股定理可求得离心率.

【详解】如图所示，设双曲线的左焦点为点，连接，设，则，

由双曲线的定义可得，

由于，则,又，则四边形为矩形，

在中，由勾股定理得，即，

解得，

在中，由勾股定理得，即，

．

故答案为：.

16．已知函数，若在定义域上单调递增，则实数的取值范围是        ．

【答案】

【分析】对函数求导，根据函数在上单调递增列不等式，分离常数后，构造函数，利用导数求得的最小值，进而求得的取值范围.

【详解】解：依题意，当时，恒成立，即恒成立，

所以，在上恒成立，

构造函数，则，由得，由得

所以函数在区间上递减，在区间上递增，

所以，函数在处取得极小值也即是最小值，故，

所以，，即实数的取值范围是

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数.

(1)求的最小正周期及单调递增区间；

(2)求在区间上的值域.

【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间是

(2)

【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式化简函数即可求解；

（2）由的取值范围求出的范围，再借助正弦函数性质即可求解.

【详解】（1）因为

，

即

函数的最小正周期，

由，解得，

即在上单调递增，

所以，函数的最小正周期为，单调递增区间是.

（2）因为，则，所以，

所以，

所以在区间上的值域为.

18．设是等差数列，其前n项和为，是各项都为正数的等比数列，其前n项和为，且，，.

(1)求，的通项公式；

(2)求的最小值.

【答案】(1)；；

(2).

【分析】（1）利用等差数列，等比数列的基本量计算即得；

（2）由题可得，进而可得当时，递增，即得.

【详解】（1）设的公差为d，数列的公比为，

则，

解得，

∴，

由，

解得，（舍去），

∴；

（2）由题可知，，

∴，

当时，，当时，，当时，，

当时，，

所以当时，递增，即，

∴的最小值为.

19． 2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣．

（1）完成下面的列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？

（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差．附表：

参考公式：

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【详解】（1）根据已知数据得到如下列联表：

根据列联表中的数据，得到，

，

所以能在犯错误的概率不超过0.1的前提下可以认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.

（2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是，将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生，对冰球有兴趣的概率是，

由题意知，从而X的分布列为：

， .

20．如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面的夹角余弦值；

(3)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明，，由线线垂直证明线面垂直，即得证；

（2）由（1）为平面的一个法向量，求解平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解；

（3）由（1）为平面的一个法向量，利用点面距离的向量公式即得解

【详解】（1）证明：以为原点，､､所在直线分别为､､轴建立空间直角坐标系，如图

则，，，，

取的中点，作交于点

因为

所以，又，

所以，

所以，四边形为平行四边形，

又，

所以，由

所以，故，

∵，，，

∴，，

即，，

∵，平面，平面，

∴平面；

（2）由（1）可知为平面的一个法向量，

设平面的法向量为，而，，

则，令，可得，

设平面与平面CSD的夹角为，

∴，

即平面ASD与平面CSD的夹角的余弦值为；

（3），平面的法向量为，

设点到平面的距离为，

∴，

即点到平面的距离为.

21．在椭圆C：，，过点与的直线的斜率为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设F为椭圆C的右焦点，P为直线上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于M，N两点，当取最大值时，求直线MN的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由已知条件解出、，可得椭圆C的标准方程．

（2）设点，则直线FP的斜率为，表示出直线MN的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理和基本不等式求取最大值的条件，解得直线MN的方程．

【详解】（1）过点与的直线的斜率为，所以，即，

又，即，解得，．

所以椭圆C的标准方程是．

（2）如图所示，

由题知，设点，则直线FP的斜率为．

当时，直线MN的斜率，直线MN的方程是；

当时，直线MN的方程是，也符合的形式，

将直线MN的方程代入椭圆方程得，且，

设，，则，，

所以

．

又，令，则，

当且仅当，即时等号成立，由，解得，

即当时取最大值时，此时直线MN的方程为或．

【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

22．设函数．

(1)当时，求的单调区间；

(2)若有两个极值点，

①求a的取值范围；

②证明：．

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为

(2)①②证明见解析

【分析】（1）利用导函数与单调性的关系求解；

（2）①根据方程的根与函数的图象的关系，利用导数讨论单调性最值即可数形结合求解；

②根据可得，再将要证不等式双变量转化为单变量问题证明求解.

【详解】（1）当时，，

故，  

所以，

当时，；当时，，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）①，依据题意可知有两个不等实数根，

即有两个不等实数根．                

由，得，

所以有两个不等实数根可转化为

函数和的图象有两个不同的交点，

令，则，

由，解得；由，解得；

所以在单调递增，在单调递减，

所以．

又当时，，当时，，

因为与的图象有两个不同的交点，所以．          

②由①可知有两个不等实数根，

联立可得，

所以不等式等价于

．

令，则，且等价于．

所以只要不等式在时成立即可．                

设函数，则，

设，则，

故在单调递增，得，

所以在单调递减，得．

综上，原不等式成立．

【点睛】关键点点睛：本题的第二问的第②小问解决的关键在于将双变量问题转化为单变量问题，从可得，代入即可得，

令，进而证明单变量不等式即可.