2022-2023学年福建省仙游县枫亭中学高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年福建省仙游县枫亭中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知向量则的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据空间向量的坐标运算求解.

【详解】由题可得，

故选:B.

2．，，若//，则（    ）

A．0 B． C．4 D．2

【答案】B

【分析】根据向量共线的条件进行求解

【详解】由//，则，使得，即，解得.

故选：B

3．在空间直角坐标系中，，则的值为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．-1

【答案】A

【分析】利用空间向量垂直的坐标运算即可求出结果.

【详解】因为，又，所以，解得，

故选：A.

4．与向量共线的单位向量可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】计算出，从而得到与向量共线的单位向量.

【详解】因为，所以与向量共线的单位向量可以是或.

故选：D

5．已知，，则（   ）

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算作答.

【详解】因为，，所以.

故选：C

6．如图，随机事件A，B互斥，记分别为事件A，B的对立事件，那么（　　）

A．A∪B是必然事件

B．∪是必然事件

C．与一定互斥

D．与一定不互斥

【答案】B

【分析】用集合的思想看事件的Venn图即可的解.

【详解】由Venn图可知A，B互斥，即为不可能事件，∪是必然事件，

故选：B.

7．出租车司机老王从饭店到火车站途中经过六个交通岗，已知各交通岗信号灯相互独立.假设老王在各交通岗遇到红灯的概率都是，则他遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.

【详解】因为司机老王在第一、二个交通岗未遇到红灯，

在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的，且遇到红灯的概率都是，

所以未遇到红灯的概率都是，

所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为.

故选：B

8．在5道题中有3道数学题和2道物理题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到数学题条件下，第二次抽到数学题的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】法一：分析出第一次抽到数学题条件下，剩余试题的特征，从而求出概率；法二：设出事件，利用条件概率公式进行求解.

【详解】法一：因为第一次抽到数学题条件下，还剩下4道试题，有2道数学题和2道物理题，因此第二次抽到数学题的概率是；

法二：设第二次抽到数学题为事件，第一次抽到数学题为事件，

则，，

则.

故选：B

二、多选题

9．若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】ACD

【分析】利用空间向量基底的定义，逐一判断各选项中的3个向量是否共面作答.

【详解】构成空间的一个基底，

对于A，因为，因此向量，，共面，A不能；

对于B，向量与不共线，又向量不能用和表示，

即向量，，不共面，B能；

对于C，因为，因此，，共面，C不能；

对于D，因为，因此，，共面，D不能.

故选：ACD

10．已知向量，，则下列结论正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】利用向量线性关系、数量积、模长的坐标运算判断各项正误.

【详解】由题设，，A错误；

，B正确；

，C正确；

，D错误.

故选：BC

11．已知点，，在平面内，则下列向量为的法向量的是（     ）．

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】由题先得到平面内的两个相交向量的坐标，再通过法向量的定义得到中x、y、z的关系式，选取与选项中相同的x，即可得到答案．

【详解】由题得：，，

设平面的法向量为，

则有 ，

故平面的一个法向量可以为，.

故选：BC．

12．甲、乙两人进行1次投篮，已知他们命中的概率分别为和，且他们是否命中相互独立，则（    ）

A．恰好有1人命中的概率为 B．恰好有1人命中的概率为

C．至少有1人命中的概率为 D．至少有1人命中的概率为

【答案】AC

【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.

【详解】由题可知，恰有1人命中的概率为，A正确，B不正确．

2人均未命中的概率为，故至少有1人命中的概率为，C正确，D不正确．

故选：AC

三、填空题

13．已知，，，则与的夹角  .

【答案】/

【分析】利用数量积计算向量夹角余弦，进而求得夹角.

【详解】，由的范围为，

所以.

故答案为：.

14．已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为        ．

【答案】

【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标表示直接写出作答.

【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则有.

所以向量用坐标形式表示为.

故答案为：

15．在一段时间内，甲去博物馆的概率为0.8，乙去博物馆的概率为0.7，且甲乙两人各自行动.则在这段时间内，甲乙两人至少有一人去博物馆的概率是          .

【答案】

【分析】利用相互独立事件同时发生的概率乘法运算求解.

【详解】甲乙两人都不去博物馆的概率是，

所以甲乙两人至少有一人去博物馆的概率是，

故答案为: .

16．点A(－1，2，－3)，B(0，2，－2) 的中点坐标为        .

【答案】

【分析】直接利用中点坐标公式求解即可

【详解】因为，，

所以中点坐标为，即

故答案为：

四、解答题

17．已知向量，．求．

【答案】

【分析】根据空间向量的数量积公式即可求得结果.

【详解】由向量，，

可得.

18．如图，在空间直角坐标系中有长方体求点B到直线的距离.

【答案】

【分析】利用空间向量的坐标运算求点到直线的距离.

【详解】

设则，

∴

∴点B到直线的距离

19．已知向量，，且．

(1)求c的值；

(2)若与互相垂直，求实数k的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出，根据向量模长公式列出方程，求出；

（2）分与两种情况，根据向量垂直列出方程，求出实数k的值.

【详解】（1），

所以，解得：；

（2）当时，

，

，

因为与互相垂直，

所以，解得：，

当时，，

因为与互相垂直，

所以，解得：，

综上：.

20．如图，在正四棱柱中，，M是棱上任意一点．

(1)求证：；

(2)若M是棱的中点，求异面直线AM与BC所成角的余弦值．

【答案】(1)证明过程见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；

（2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值.

【详解】（1）证明：以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

因为，

所以，，

，

，

所以；

（2）M是棱的中点，故，

则，

设异面直线AM与BC所成角的大小为，

则，

故异面直线AM与BC所成角的余弦值为.

21．甲、乙两人分别对，两个目标各射击一次，若目标被击中两次则被击毁，每次射击互不影响.已知甲击中，的概率均为，乙击中，的概率分别为，.

(1)求A被击毁的概率；

(2)求恰有1个目标被击毁的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出甲、乙两人均要击中目标的概率，即为A被击毁的概率；（2）求出A被击毁，B不被击毁的概率，再求出B被击毁，A不被击毁的概率，相加后得到恰有1个目标被击毁的概率.

【详解】（1）A被击毁则甲、乙两人均要击中目标，故概率为，

（2）B被击毁的概率为，

则A被击毁，B不被击毁的概率为，

B被击毁，A不被击毁的概率为，

则恰有1个目标被击毁的概率为

22．如图，已知单位正方体，E，F分别是棱和的中点，试求AF与平面所成角的正弦值．

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与所成角的余弦值，利用AF与平面所成角与平面的法向量与所成角互余，即可求出AF与平面所成角的正弦值.

【详解】以为原点,分别以、、为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系，

则，，,,,

即，,,

设平面的法向量为，则，

令，则，，即，

设与所成的角为，则

，

则与平面所成角,即,

故与平面所成角的正弦值为．