2022-2023学年湖北省仙桃市田家炳实验高级中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年湖北省仙桃市田家炳实验高级中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．在等差数列中，，则的值是（    ）

A．24 B．32 C．48 D．96

【答案】C

【分析】利用等差中项的性质求得，再由即可得结果.

【详解】由题设，，则，

所以.

故选：C

2．已知函数，则（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【分析】利用导数的定义和求导公式进行求解.

【详解】由题意，

因为，所以，即；

故选：B.

3．下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由随机变量分布列中概率之和为1列出方程即可求出a.

【详解】由，

解得.

故选：C.

4．某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（    ）.

A．42 B．56 C．30 D．72

【答案】B

【分析】利用倍缩法，先将8个节目排好，由于原来6个节目顺序不变，则要除以原有的6个节目对应的不同排法，即可得解.

【详解】解：增加2个互动节目后，一共有8个节目，这8个节目的不同排法有种，

而原有的6个节目对应的不同排法共有种，

所以不同的排法有（种）.

故选：B.

5．已知在数列中，，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】推导出数列的周期，利用数列的周期性可求得的值.

【详解】因为，则，

，故.

故选：A.

6．现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（    ）

A．150种 B．180种 C．240种 D．120种

【答案】B

【分析】分步完成涂色，先涂，再涂，然后涂，．

【详解】分步涂色，第一步对涂色有5种方法，第二步对涂色有4种方法，第三步对涂色有3种方法，第四步对涂色有3种方法，

∴总的方法数为．

故选：B．

【点睛】本题考查分步乘法原理，解题关键是确定完成涂色这件事的方法：分类还是分步．

7．从分别标有的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则在抽取第1张为偶数的前提条件下，抽到第2张卡片上的数也为偶数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设事件为第1张为偶数，事件为第2张为偶数，则，，根据条件概率公式得到答案.

【详解】设事件为第1张为偶数，事件为第2张为偶数，

则，，故.

故选：A

8．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依题意可得，进而可得在上恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.

【详解】等价于．

令函数，则，故是增函数．

等价于，即．

令函数，则．

当时，，单调递增：当时，，单调递减．

.

故实数a的取值范围为．

故选：C.

二、多选题

9．下列变量中，是离散型随机变量的是（    ）．

A．某机场明年5月1日运送乘客的数量

B．某办公室一天中接到电话的次数

C．某地警方明年5月1日到10月1日期间查处酒驾司机的人数

D．一瓶净含量为的果汁的容量

【答案】ABC

【分析】根据离散型随机变量的概念依次分析各选项即可得答案.

【详解】解：某机场明年5月1日运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，而且可以一一列出，是离散型随机变量，故A正确；

某办公室一天中接到电话的次数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，而且可以一一列出，是离散型随机变量，故B正确；

某地警方明年5月1日到10月1日期间查处酒驾司机的人数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，而且可以一一列出，是离散型随机变量，故C正确；

果汁的容量在498mL～502mL之间波动，虽然是随机变量，但不能一一列出，不是离散型随机变量，故D错误．

故选：ABC．

10．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ）

A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种

B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种

C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种

D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种

【答案】ABC

【分析】求得社区A必须有同学选择的方法数判断选项A；求得同学甲必须选择社区A的方法数判断选项B；求得三名同学选择的社区各不相同的安排方法数判断选项C；求得甲、乙两名同学必须在同一个社区的安排方法数判断选项D.

【详解】安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，

选项A：如果社区A必须有同学选择，

则不同的安排方法有（种）.判断正确；

选项B：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种）.判断正确；

选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，

则不同的安排方法共有（种）.判断正确；

选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，

再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，

则不同的安排方法共有（种）.判断错误.

故选：ABC

11．设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．的最大值为 D．

【答案】AC

【分析】通过分析得，根据，则得，结合，可得，再逐步分析，即可判断各选项.

【详解】对A，若，因为，所以，，则与矛盾，

若，因为，所以，，则，与矛盾，

所以，故A正确；

对B，，，，即，

因为，则，所以，故B错误；

对C，由，故C正确；

对D，，故D错误．

故选：AC.

12．下面比较大小正确的有（     ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据题意可构造函数，利用导数判断该函数的单调性，运用函数的单调性即可求解.

【详解】根据题意可构造函数，则，

由于函数在上单调递增，且，

从而，当时，，则函数在上单调递增，

当时，，则函数在上单调递减，

又，，

所以，，，

即，，，，

故，选项A错；

，选项B正确；

，选项C正确；

，选项D错.

故选：BC.

三、填空题

13．写出一个具有下列性质①②的数列的通项公式      ，①；②单调递增．

【答案】n.（答案不唯一）

【分析】先猜想数列是一个等差数列，进而根据性质①得到首项与公差的关系，然后根据性质②得到答案.

【详解】假设数列为等差数列，设其公差为d，由性质①可得： ，再根据②可知，显然满足题意.

故答案为：n.（答案不唯一）

14．的展开式中按的升幂排列的第三项为          ．

【答案】

【分析】根据二项式定理展开式的通项公式即可求解.

【详解】题意即展开式中的项为按的升幂排列的第三项为．

故答案为：.

15．已知事件A，B，且，，则等于      

【答案】

【分析】利用全概率公式即可求解.

【详解】因为，所以.

由全概率公式：.

故答案为：

16．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为      ．

【答案】

【分析】分析可知在上恒成立，利用参变量分离法可得出在上恒成立，即可求得实数的取值范围.

【详解】因为，则，

因为在上单调递减，所以在上恒成立，

即在上恒成立，所以，，即实数的取值范围为．

故答案为：．

四、解答题

17．袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记求的分布列和期望与方差．

【答案】答案见解析

【分析】由服从两点分布写出分布列计算期望和方差即可求解.

【详解】由题设知服从两点分布，且，．

所以的分布列为

.

18．设.

(1)求的值；

(2)求除以9的余数；

【答案】(1)

(2)7

【分析】(1)在已知二项展开式中，分别令和，然后作和得答案;

(2)化为，再根据，即，展开后即可求除以9的余数.

【详解】（1）令，得

令，得

，

两式作和得:，则

.

（2）由

除以9的余数为7.

19．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数在上的最大值和最小值.

【答案】(1)递增区间为，；递减区间为

(2)最大值为59，最小值为-49

【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，得到单调区间；

（2）求出极值和端点值，比较后确定最值.

【详解】（1）的定义域为R，且，

令得，令得，

所以函数在上的最大值为59，最小值为 -49.

20．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分、、．现从这三个地区任抽取一个人．

(1)求此人感染此病的概率；（结果保留三位小数）

(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．（结果保留三位小数）．

【答案】(1)0.198

(2)0.337

【分析】（1）由全概率公式求解

（2）由贝叶斯公式求解

【详解】（1）设事件表示“来自第i个地区，”；事件B表示“感染此病”．

所以，，，

所以，，．

；

（2）．

21．已知数列是公差为2的等差数列，.是公比大于0的等比数列，，.

(1)求数列和的通项公式；

(2)若数列满足，求的前项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由等差数列的求和公式解方程可得首项，进而得到；由等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到；

（2）由等比数列的求和公式，结合数列的错位相减法求和，可得所求和.

【详解】（1）数列是公差为2的等差数列,

,

得，

，

是公比大于0的等比数列，，设公比为，

，解得(负值舍去)，

；

（2）由（1）得，

①，

②，

①-②得

，

22．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；

【答案】(1)答案见解析；

(2)或.

【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论求解即可；

（2）分别讨论，由的单调性及零点存在定理判断零点即可.

【详解】（1），

时，恒成立，在上是增函数；

时，时，是减函数，时，是增函数，

综上， 时，在上是增函数，时，在上是减函数， 在上是增函数.

（2）当时，由 (1)得在上是增函数，不符合题意；

当时，由(1)得.

①当时，，只有一个零点，不符合题意；

②当时，，故在有一个零点，

又在上是增函数，

设，，，

∴在单调递增，，

∴在单调递增，，

设，由知，当，，单调递减；当，，单调递增，

∴，即，

故在有一个零点，故函数有两个零点；

③当时，，故有一个零点，

又在上是减函数，，由②得，

故在有一个零点，故函数有两个零点,

综上，的取值范围是或.

【点睛】方法点睛：1. 零点个数可根据函数单调性及零点存在定理判断；

2. 对于含参函数，难点在于找到合适的自变量满足零点存在定理，本题中可根据函数形式，构造函数说明时，及；时，及.