2022-2023学年广东省阳江市第三中学高二下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年广东省阳江市第三中学高二下学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省阳江市第三中学高二下学期期中数学试题 一、单选题1．已知数列是等差数列，且，则（    ）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根据等差数列的下标和性质即可求得答案.【详解】由于数列是等差数列，故，故选：B2．函数的单调递减区间是(　　)A． B．C． D．【答案】B【分析】由导数与单调性的关系求解，【详解】，则，由得，故的单调递减区间是，故选：B3．若数列的前n项和，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据递推公式和首项可求出结果.【详解】因为，，所以，则，，则.故选：C4．曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为（    ）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】求出原函数的导函数，得到曲线在点处的切线方程，取y=0求得x值即可.【详解】由，得，则曲线在点处的切线斜率为，∴曲线在点处的切线方程为，取，可得．∴曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为-1．故选：C．5．为了纪念我国成功举办北京冬奥会，中国邮政发行《北京举办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”，现将一套5枚邮票任取3枚，要求取出的邮票既含会徽邮票又含吉祥物邮票，则不同的取法种数为（    ）A．8 B．10 C．16 D．18【答案】A【分析】分类讨论3枚邮票的组成情况，根据分布乘法计数原理和分类加法计数原理运算求解.【详解】由题意可知：会徽邮票有2枚，吉祥物邮票有2枚，“志愿者标志”有1枚，若任取3枚，取出的邮票既含会徽邮票又含吉祥物邮票，则有：若会徽邮票有2枚，吉祥物邮票有1枚，共有种；若会徽邮票有1枚，吉祥物邮票有2枚，共有种；若会徽邮票有1枚，吉祥物邮票有1枚，“志愿者标志”有1枚，共有种；故共有种.故选：A.6．函数的图像大致是（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】D【分析】根据题意，得到函数的函数值的正负，可排除A、C项；求得，得出函数的单调区间，可排除B项，即可求解.【详解】由函数，令，即，解得或，所以当或时，；当时，，可排除A、C项；又由，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，则可排除B项，选项D符合题意.故选：D.7．在的展开式中，的系数为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过二项展开式的通项公式直接求特定项系数.【详解】的通项为，令，即，，故选：D.8．若函数在上只有一个零点，则常数的取值范围是（   ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意可得：原题意等价于与有且仅有一个交点，利用导数判断的单调性和极值，数形结合求常数的取值范围.【详解】令，则，构建，原题意等价于与有且仅有一个交点，因为，令，解得或；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得在处取到极大值，在处取到极小值，且当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，  结合的图象可知：若与有且仅有一个交点，则或，所以常数的取值范围是.故选：D. 二、多选题9．(多选)数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则（    ）A．a1＝1 B．d＝－C．a2＋a12＝10 D．S10＝40【答案】ACD【分析】根据所给条件，代入等差数列的通项公式和求和公式，直接计算即可得解.【详解】设数列{an}的公差为d，则由已知得S7＝，即21＝，解得a1＝1.又a7＝a1＋6d，所以d＝.所以S10＝10a1＋d＝10＋＝40.由{an}为等差数列，知a2＋a12＝2a7＝10.故选：ACD10．下列结论正确的是（    ）A．B．C．D．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为72【答案】BCD【分析】根据排列数和组合数的计算公式判断ABC，利用插空法判断D.【详解】对于A，因为，故A错误；对于B，，，故B正确；对于C，由组合数的性质可得，故C正确；对于D，采用插空法，将“礼智”插入“仁义信”的4个空中，则一共有种，故D正确，故选：BCD11．已知函数在处取得极值，则下列说法正确的是（    ）A． B．C．一定有两个极值点 D．的单调递增区间是【答案】BC【分析】根据和可求得，代回解析式验证是否为极值点可知，满足题意，由此可得AB正误；根据极值点定义可知C正确；验证可知在不满足单调递增定义，知D错误.【详解】，且在处取得极值，，解得：或；当，时，，则当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，是的极小值点，满足题意；当，时，，在上单调递增，不合题意；综上所述：，；对于AB，，A错误，B正确；对于C，和分别为的极大值点和极小值点，C正确；对于D，当，时，，，，，即不满足在单调递增，的单调递增区间应为和，D错误.故选：BC.12．已知数列满足，，则（    ）A．是递减数列 B．C． D．【答案】BD【分析】根据数列单调性的判断方法，累加法，累乘法以及裂项求和法，结合已知条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：，又当时，与矛盾，故，即，故该数列递增数列，A错误；对B：，根据A知：，即，，故B正确；对C：，由可得，故（当或时取得等号），故，C错误；对D：由可得，即，故，又，故，故，D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题考查数列的单调性，累加法，累乘法以及裂项求和法，处理问题的关键是能够根据常见的地推关系，选择适当的方法求解，属困难题. 三、填空题13．计算          .【答案】765【分析】根据排列数、组合数公式运算求解.【详解】由题意可得：.故答案为：765.14．由线在处的切线方程是          .【答案】【分析】首先求导得，求出切点为，切线斜率为，则得到切线方程.【详解】时,,则切点为,,故切线斜率，所以切线方程:，化简得.故答案为：.15．用这10个数字，可以组成       个没有重复数字的三位数.【答案】648【分析】先考虑百位，然后考虑十位和个位，由此计算出正确答案.【详解】先考虑百位，有种方法；然后考虑十位和个位，有种方法；故没有重复数字的三位数有个.故答案为：16．若方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是          .【答案】【分析】问题转化为函数的图像与直线有 2 个交点，利用导数研究函数单调性，作出函数图像，数形结合求实数的取值范围.【详解】方程化为 ，令则问题转化为的图像与直线有 2 个交点，因为，当 时，单调递减，当 时，，单调递增， 所以函数最小值为，且当正向无限趋近于时， 的取值无限趋近于正无穷大； 当无限趋近于正无穷大时， 的取值无限趋近于正无穷大；    故方程有两个不等的实数根时，.故答案为： 四、解答题17．已知在等差数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；（2）根据等差数列和等比数列的前项和公式进行求解即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，由；（2）18．求下列函数的导数（1）   （2）   （3）【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用导数的运算法则和计算公式,逐一计算可得答案.【详解】解：（1），则（2）（3）【点睛】本题考查了导数的计算公式,意在考查学生对于公式的记忆和理解,以及运算能力.19．已知数列 中 ，，.(1)求证：是等比数列；(2)若数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由题意得，结合等比数列定义证明数列是等比数列；（2）由（1）可求即，利用错位相减法求和即可.【详解】（1）因为，所以，又，，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列（2）由(1)知 ，因为，所以，所以 ， ，两式相减，得 ，所以 20．已知函数在处取得极小值-2.(1)求实数的值；(2)若，都有成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）根据已知条件可得，求解即可.（2）问题等价于，利用导数法求得的最大值和最小值，从而可以求解.【详解】（1），因为函数在处取得极小值-2，所以，即，解得．经检验，当，时，在处取到极小值，所以，.（2）由（1）可知，，则令，解得或，而，所以当，时，单调递增；当时，单调递减.又所以当时，.若，都有成立，只需，所以.故实数的取值范围为.21．某校举办元旦晩会，现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序.（结果用数字作答）(1)如果4首歌曲相邻，那么有多少种不同的出场顺序?(2)如果3个舞蹈不相邻，那么有多少种不同的出场顺序?(3)如果歌曲甲不在第一个出场，舞蹈乙不在最后一个出场，那么有多少种不同的出场顺序?【答案】(1)(2)(3) 【分析】(1)捆绑法：先将4首歌曲捆绑，然后与3个舞蹈排序，有（种）不同的出场顺序.（2）插空法：先将4首歌曲排好，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中，（种）不同的出场顺序.（3）有条件限制类排列：可用排除法，7个节目全排列，有种情况，其中歌曲甲在第一个出场时，有种情况，舞蹈乙在最后一个出场时，有种情况，其中都包含了歌曲甲在第一个出场且舞蹈乙在最后一个出场的情况，有种情况，故共有（种）不同的出场顺序.【详解】（1）先将4首歌曲捆绑，有种情况，再将捆绑好的4首歌曲与3个舞蹈排序，有种情况，所以有（种）不同的出场顺序.（2）先将4首歌曲排好，有种情况，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中，有种情况，所以有（种）不同的出场顺序.（3）方法一：7个节目全排列，有种情况，其中歌曲甲在第一个出场时，有种情况，舞蹈乙在最后一个出场时，有种情况，其中都包含了歌曲甲在第一个出场且舞蹈乙在最后一个出场的情况，有种情况，故共有（种）不同的出场顺序.方法二：歌曲甲在最后一个出场时，其他节目可全排，有种情况；歌曲甲不在最后一个出场时，可从余下的5个位置任选一个，有种情况，而舞蹈乙可排在除去最后一个位置后剩下的5个位置中，有种情况，其余节目全排列，有种情况，共有（种）不同的出场顺序.22．已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)当时，证明．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）利用导数，分类讨论当、时函数的单调性即可求解；（2）由（1）知，原不等式等价于，设，利用导数求出即可求解.【详解】（1）函数的定义域为，． 若，则当时，，故在上单调递减；若，则当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，当时，在处取得最小值，所以等价于，即．设，则．当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得极小值且为最小值，最小值为． 所以当时，．从而当时，，即．